Podaria

În geometrie, podaria unei curbe în raport cu un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ polul menționat este locul geometric format de proiecțiile lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pe liniile tangente curbei; aceste proiecții sunt, de asemenea, picioarele normalelor la liniile drepte tangente care trec prin polul însuși (de unde și termenul podaria). Curba originală se mai numește și antipodară .

Ecuația podariei

Sunt date ecuațiile parametrice ale curbei $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ :

\left\{{\begin{matrix}x&=&f(t)\\y&=&g(t),\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & f (t) \\ y & = & g (t), \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & f (t) \\ y & = & g (t), \ end {matrix}} \ right.}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt două funcții diferențiate pe un interval $I\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle I \ in \ mathbb {R}}$ . Tangenta lui $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ în punctul său $\left(f(t),g(t)\right)$ ${\ displaystyle \ left (f (t), g (t) \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (f (t), g (t) \ right)}$ are ecuație

y-g(t)={\frac {g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}}\left(x-f(t)\right).

{\ displaystyle yg (t) = {\ frac {g ^ {\ prime} (t)} {f ^ {\ prime} (t)}} \ left (xf (t) \ right).}

{\ displaystyle y-g (t) = {\ frac {g ^ {\ prime} (t)} {f ^ {\ prime} (t)}} \ left (x-f (t) \ right).}

Proiecția de $P\left(x_{0},y_{0}\right)$ ${\ displaystyle P \ left (x_ {0}, y_ {0} \ right)}$ ${\ displaystyle P \ left (x_ {0}, y_ {0} \ right)}$ pe tangentă se află pe linia perpendiculară pe aceasta și care trece prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ :

y-y_{0}=-{\frac {f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}}\left(x-x_{0}\right).

{\ displaystyle y-y_ {0} = - {\ frac {f ^ {\ prime} (t)} {g ^ {\ prime} (t)}} \ left (x-x_ {0} \ right). }

{\ displaystyle y-y_ {0} = - {\ frac {f ^ {\ prime} (t)} {g ^ {\ prime} (t)}} \ left (x-x_ {0} \ right). }

Intersectând aceste două linii obținem punctul generic al podariei, care are următoarele ecuații parametrice:

\left\{{\begin{matrix}x&=&{\frac {x_{0}f^{\prime 2}(t)+(y_{0}-g(t))f^{\prime }(t)g^{\prime }(t)+f(t)g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t)+g^{\prime 2}(t)}}\\y&=&{\frac {g(t)f^{\prime 2}(t)+(x_{0}-f(t))g^{\prime }(t)f^{\prime }(t)+y_{0}g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t)+g^{\prime 2}(t)}},\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & {\ frac {x_ {0} f ^ {\ prime 2} (t) + (y_ {0} -g (t)) f ^ { \ prime} (t) g ^ {\ prime} (t) + f (t) g ^ {\ prime 2} (t)} {f ^ {\ prime 2} (t) + g ^ {\ prime 2} (t)}} \\ y & = & {\ frac {g (t) f ^ {\ prime 2} (t) + (x_ {0} -f (t)) g ^ {\ prime} (t) f ^ {\ prime} (t) + y_ {0} g ^ {\ prime 2} (t)} {f ^ {\ prime 2} (t) + g ^ {\ prime 2} (t)}}, \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & {\ frac {x_ {0} f ^ {\ prime 2} (t) + (y_ {0} -g (t)) f ^ { \ prime} (t) g ^ {\ prime} (t) + f (t) g ^ {\ prime 2} (t)} {f ^ {\ prime 2} (t) + g ^ {\ prime 2} (t)}} \\ y & = & {\ frac {g (t) f ^ {\ prime 2} (t) + (x_ {0} -f (t)) g ^ {\ prime} (t) f ^ {\ prime} (t) + y_ {0} g ^ {\ prime 2} (t)} {f ^ {\ prime 2} (t) + g ^ {\ prime 2} (t)}}, \ end {matrix}} \ right.}

Cazuri speciale

Folosind ecuația descrisă mai sus, pot fi calculate câteva cazuri semnificative de podarie.

Podaria circumferinței

Exemple de podaria circumferinței cu poli în diferite poziții

Podaria unei circumferințe este melcul lui Pascal .

Pentru a demonstra acest lucru, considerăm un cerc care trece prin originea razei 1 și centru în punct $(1,0)$ ${\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ , a ecuațiilor parametrice:

\left\{{\begin{matrix}x&=&1+\cos t\\y&=&\sin t.\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & 1+ \ cos t \\ y & = & \ sin t. \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & 1+ \ cos t \\ y & = & \ sin t. \ end {matrix}} \ right.}

Ne putem limita la luarea în considerare a polilor $P(a,0)$ ${\ displaystyle P (a, 0)}$ ${\ displaystyle P (a, 0)}$ , plasat pe axa absciselor , cu $a\leq 1$ ${\ displaystyle a \ leq 1}$ ${\ displaystyle a \ leq 1}$ . Ecuațiile podariei sunt apoi:

\left\{{\begin{matrix}x&=&\cos t(1+\cos t)+a\sin ^{2}t=a+\cos t+(1-a)\cos ^{2}t\\y&=&\sin t(1+\cos t)-a\sin t\cos t=\sin t+(1-a)\sin t\cos t.\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & \ cos t (1+ \ cos t) + a \ sin ^ {2} t = a + \ cos t + (1-a) \ cos ^ {2} t \\ y & = & \ sin t (1+ \ cos t) -a \ sin t \ cos t = \ sin t + (1-a) \ sin t \ cos t. \ End {matrix }} \ dreapta.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & \ cos t (1+ \ cos t) + a \ sin ^ {2} t = a + \ cos t + (1-a) \ cos ^ {2} t \\ y & = & \ sin t (1+ \ cos t) -a \ sin t \ cos t = \ sin t + (1-a) \ sin t \ cos t. \ End {matrix }} \ dreapta.}

Cazurile posibile sunt:

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este centrul circumferinței: podaria este circumferința însăși;
$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este în interiorul circumferinței: podaria este fără noduri; dacă P este mai puțin de jumătate din raza de centru, podaria cuprinde o regiune convexă, altfel o regiune concavă;
$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este pe circumferință: podaria este un cardioid ;
$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este extern circumferinței: podaria este o curbă împletită.

Podaria pildei

Exemple de podarie a parabolei cu poli în diferite poziții

Să luăm în considerare parabola ecuației $y=x^{2}$ ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$ $y = x ^ 2$ ; ecuațiile sale parametrice sunt $x=t$ ${\ displaystyle x = t}$ ${\ displaystyle x = t}$ Și $y=t^{2}$ ${\ displaystyle y = t ^ {2}}$ ${\ displaystyle y = t ^ {2}}$ ; din formula generală obținem ecuațiile podariei pentru un pol $P(0,a)$ ${\ displaystyle P (0, a)}$ ${\ displaystyle P (0, a)}$ culcat pe axa parabolei:

\left\{{\begin{matrix}x&=&{\frac {2t(a+t^{2})}{1+4t^{2}}}\\y&=&{\frac {t^{2}(4a-1)}{1+4t^{2}}}.\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & {\ frac {2t (a + t ^ {2})} {1 + 4t ^ {2}}} \\ y & = & {\ frac {t ^ {2} (4a-1)} {1 + 4t ^ {2}}}. \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & {\ frac {2t (a + t ^ {2})} {1 + 4t ^ {2}}} \\ y & = & {\ frac {t ^ {2} (4a-1)} {1 + 4t ^ {2}}}. \ end {matrix}} \ right.}

Unele podaria notabile sunt:

$a=1/4$ ${\ displaystyle a = 1/4}$ ${\ displaystyle a = 1/4}$ : polul coincide cu focarul parabolei; podaria este axa absciselor;
$a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ : polul coincide cu vârful parabolei; podaria este un cissoid al lui Diocles ;
$a=-3/4$ ${\ displaystyle a = -3 / 4}$ ${\ displaystyle a = -3 / 4}$ : polul este simetric al focarului față de directrix; podaria este trisectresa lui Mac Laurin .