Coordonatele Gullstrand-Painlevé

Cadrul istoric

Metricele Painlevé-Gullstrand (PG) au fost propuse independent de Paul Painlevé în 1921 ^[1] și Allvar Gullstrand ^[2] în 1922 ca soluție a ecuațiilor Einstein ale relativității generale pentru un sistem sferic simetric. Abia în 1933 nu a fost recunoscut de lucrarea Lemaître ^[3] că aceste soluții au fost pur și simplu transformări coordonate ale soluției clasice Schwarzschild. Atât Painlevé, cât și Gulstrand au folosit această soluție pentru a susține că teoria lui Einstein a fost incompletă prin faptul că a dat mai multe soluții pentru câmpul gravitațional al unui corp sferic și, de asemenea, a furnizat fizică diferită (au susținut că lungimea unei tije ar putea fi în intervalul tangențial direcții uneori mai lungi și alteori mai scurte decât în cele radiale). „Trucul” propunerii lui Painlevé era că nu mai rămânea ancorată la o formă pătratică completă (și statică), ci în schimb permitea un produs spațiu-timp transversal, făcând ca forma metrică să nu mai fie statică, ci staționară și direcția să nu mai fie simetrică, ci orientată preferențial. .

Într-un al doilea articol și mai lung (14 noiembrie 1921), ^[4] Painlevé explică modul în care și-a obținut soluția: rezolvând direct ecuațiile lui Einstein pentru o formă generică sferică simetrică a metricei. Rezultatul, ecuația (4) a lucrării sale, a depins de două valori arbitrare ale coordonatei r, care au dat o infinitate dublă de soluții. Știm că acestea reprezintă pur și simplu variabilele coordonatelor spațiale și temporale.

Painlevé i-a scris lui Einstein să-și prezinte soluția și l-a invitat pe Einstein la Paris pentru o dezbatere. Einstein a răspuns printr-o scrisoare (7 decembrie) ^{[5] prin care și-a} cerut scuze pentru că nu a putut veni imediat și a explicat de ce nu a fost convins de teza lui Pailevé cu critici și soluții care au subliniat că doar coordonatele nu au sens. În cele din urmă, Einstein a plecat la Paris la începutul lunii aprilie și pe 5 a aceleiași luni, într-o dezbatere la "Collège de France" ^[6] ^[7] cu Painlevé, Becquerel, Brillouin, Cartan De Donder, Hadamard, Langevin și Nordaman pe „potențialele infinite” Einstein, perplex de termenul necadratic al elementului liniar, a respins soluția lui Painlevé. Aceasta a constituit condamnarea la moarte (mult timp) a tezei lui Painlevé, ^[8] în principal la p. 34 pentru dezbaterea de la orizont și penultimul paragraf care l-a condus, în cele din urmă, pe Einstein să declare dezbaterea lipsită de sens!

Derivare

Derivarea coordonatelor GP necesită definirea sistemelor următoarelor și înțelegerea modului în care datele măsurate pentru evenimentele din sistem ar trebui interpretate în celălalt.

Convenție: unitățile pentru variabile sunt toate geometrice. Timpul și masa sunt măsurate în metri, viteza luminii în spațiul gol are o valoare de 1, și constanta gravitațională, metrica este exprimată cu semnul + ---.

Coordonatele Schwarzschild

Un observator Schwarzschild este un observator îndepărtat (adnotator). El nu face măsurători directe ale evenimentelor care au loc în diferite locuri și este în schimb departe de Gaura Neagră și de evenimente. Observatorii apropiați sunt trimiși să ia măsurători și să le raporteze. Adnotatorul colectează și compară rezultatele diferitelor locuri, iar numărul acestor relații este tradus în date coordonate Schwarzschild, care oferă un mijloc sistematic de evaluare și descriere a evenimentelor la nivel global. În consecință, fizicianul poate compara și interpreta datele în mod inteligent și poate extrage informații importante din acestea; soluția Schwarzschild a metricei sale folosind coordonatele sale este dată de

d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {\ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right)}} - r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {\ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right)}} - r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}

unde este

t , r , θ , φ sunt coordonatele Schwarzschild ,

M este masa găurii negre.

Coordonatele GP

Definim o coordonată a unui nou timp

t_{r}=t-f(r)

{\ displaystyle t_ {r} = tf (r)}

{\ displaystyle t_ {r} = t-f (r)}

pentru o funcție arbitrară f (r) . Înlocuind cu metrica Schwarzschild obținem

d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt_{r}^{2}+2\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,f'dt_{r}dr-\left({\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,{f'}^{2}\right)dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt_ {r} ^ {2} +2 \ left (1 - {\ frac { 2M} {r}} \ right) \, dt_ {r} dr- \ left ({\ frac {1} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} - \ left (1- { \ frac {2M} {r}} \ right) \, {f '} ^ {2} \ right) dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt_ {r} ^ {2} +2 \ left (1 - {\ frac { 2M} {r}} \ right) \, dt_ {r} dr- \ left ({\ frac {1} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} - \ left (1- { \ frac {2M} {r}} \ right) \, {f '} ^ {2} \ right) dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}

Unde $f'={\frac {df(r)}{dr}}$ ${\ displaystyle f '= {\ frac {df (r)} {dr}}}$ ${\ displaystyle f '= {\ frac {df (r)} {dr}}}$ . Dacă alegem acum un f (r) astfel încât termenul să se înmulțească $dr^{2}$ ${\ displaystyle dr ^ {2}}$ ${\ displaystyle dr ^ {2}}$ este 1, primim

f'=-{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}

{\ displaystyle f '= - {\ frac {1} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}}

{\ displaystyle f '= - {\ frac {1} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}}

iar metrica devine

d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt_{r}^{2}-2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}dt_{r}dr-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt_ {r} ^ {2} -2 {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} dt_ {r} dr-dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt_ {r} ^ {2} -2 {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} dt_ {r} dr-dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}

Metrica spațială (adică metrica de pe o suprafață în care $t_{r}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ $t_r$ este constant) este pur și simplu planul în coordonatele polare sferice. Această metrică este regulată de-a lungul orizontului, unde r = 2M dat fiind că, în ciuda valorii timpului merge la zero, termenul ultradiagonal este în orice caz diferit de zero și asigură faptul că metrica este încă inversabilă (determinantul este $-r^{4}\sin(\theta )^{2}$ ${\ displaystyle -r ^ {4} \ sin (\ theta) ^ {2}}$ ${\ displaystyle -r ^ {4} \ sin (\ theta) ^ {2}}$ ).

Funcția f (r) este dată de

f(r)=-\int {\frac {\sqrt {\frac {2M}{r}}}{1-{\frac {2M}{r}}}}dr=2M\left(-2y+\ln \left({\frac {y+1}{y-1}}\right)\right)

{\ displaystyle f (r) = - \ int {\ frac {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} dr = 2M \ left (- 2y + \ ln \ left ({\ frac {y + 1} {y-1}} \ right) \ right)}

{\ displaystyle f (r) = - \ int {\ frac {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} dr = 2M \ left (- 2y + \ ln \ left ({\ frac {y + 1} {y-1}} \ right) \ right)}

unde este $y={\sqrt {\frac {r}{2M}}}$ ${\ displaystyle y = {\ sqrt {\ frac {r} {2M}}}}$ ${\ displaystyle y = {\ sqrt {\ frac {r} {2M}}}}$ . Funcția f (r) este clar singulară la r = 2M compatibilă cu faptul că această singularitate trebuie eliminată în metrica Schwarzschild.

Motocicletă cu cădere liberă

Definim în cădere liberă un obiect care cade radial de la infinit spre gaura neagră începând într-o stare stabilă; în coordonatele lui S., viteza acestei căderi este dată de

{\frac {dr}{dt}}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = - \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}. \, }

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = - \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}. \, }

viteza tinde la 0 pe măsură ce r se apropie de raza Schwarzschild. Pentru adnotator căderea pare să încetinească atunci când se apropie de orizont și se oprește la atingere; orice observator din afara orizontului vede obiectul decelerat, schimbarea spre roșu crește la infinit și nu vede niciodată acel obiect traversând orizontul. Cu toate acestea, acestea nu sunt observații fizice directe: adnotatorul traduce datele raportate de diferiți observatori în valori ale lui S. și calculează viteza. Rezultatul este doar o percepție aparentă.

În coordonatele Schwarzschild, viteza este dată de

{\frac {dr}{dt_{r}}}=\beta =-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = \ beta = - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}. \,}

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = \ beta = - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}. \,}

Viteza de cădere liberă este invers proporțională cu rădăcina pătrată a razei. În locuri îndepărtate de gaura neagră, este extrem de mică; pe măsură ce vă apropiați de ea crește și la orizont devine 1. Nu există discontinuitate sau singularitate pe ea.
În orizont, $r<2M\,\!$ ${\ displaystyle r <2M \, \!}$ ${\ displaystyle r <2M \, \!}$ viteza crește la apropierea de singularitate și devine infinită atunci când este atinsă; după cum vom vedea, adevărata viteză este întotdeauna mai mică decât cea a luminii. Este posibil ca rezultatele să nu fie corect prezise în jurul singularității datorită faptului că soluția poate fi destul de diferită atunci când se ia în considerare mecanica cuantică .
În ciuda problemei cu o singularitate, este încă posibil să se calculeze timpul de cădere liberă de la orizont până la centrul găurii negre prin integrarea ecuației mișcării:

\int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}\right)^{-1}\,dr.\,

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T_ {r}} \, dt = - \ int _ {2M} ^ {0} \ left ({\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ right ) ^ {- 1} \, dr. \,}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T_ {r}} \, dt = - \ int _ {2M} ^ {0} \ left ({\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ right ) ^ {- 1} \, dr. \,}

Rezultatul este

T_{r}={\frac {4}{3}}M.\,

{\ displaystyle T_ {r} = {\ frac {4} {3}} M. \,}

{\ displaystyle T_ {r} = {\ frac {4} {3}} M. \,}

Folosind acest rezultat pentru viteza căderii putem găsi, de asemenea, timpul corect al aceluiași t de -a lungul traiectoriei:

d\tau ^{2}=dt_{r}^{2}\left[1-{\frac {2M}{r}}+2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}^{2}\right]=dt_{r}^{2}

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = dt_ {r} ^ {2} \ left [1 - {\ frac {2M} {r}} + 2 {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} ^ {2} \ right] = dt_ {r} ^ {2}}

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = dt_ {r} ^ {2} \ left [1 - {\ frac {2M} {r}} + 2 {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} ^ {2} \ right] = dt_ {r} ^ {2}}

Adică, timpul de-a lungul căii căderii sau trecerea timpului $t_{r}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ $t_r$ este exact timpul exact de-a lungul traiectoriei. Coordonatele GP ar putea fi definite pe baza acestui lucru în loc să necesite ca suprafața spațială să fie plană.

Un set conectat de coordonate este cel al lui Lemaître, în care se presupune că coordonatele „radiale” sunt constante de-a lungul căii căderii; deoarece r se schimbă pe măsură ce decurge căderea, această valoare depinde de timp, în timp ce GP-ul este independent de el.

Metrica obținută dacă presupunem că funcția f (r) este negativă față de cea aleasă mai sus se numește sistemul de coordonate GP; ceea ce se schimbă este doar faptul că termenul central schimbă semnul. Metrica este regulată pentru particulele care părăsesc gaura neagră îndreptându-se cu o viteză de evacuare suficientă (la infinit viteza lor tinde la 0); în coordonatele clasice, astfel de particule nu pot fi descrise pentru r <2m deoarece au o valoare zero a ${\frac {dr}{dt_{r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}}}$ la r = 2M . Acest lucru arată că gaura neagră Schwarzschild are două orizonturi, unul pentru trecut și unul pentru viitor (unde particulele cad pe măsură ce intră în gaura neagră) în timp ce versiunea negativă alternativă este regulată de-a lungul orizontului trecutului (de unde particulele ies a găurii negre).

Coordonatele Kruskal-Szekeres sunt regulate în ambele orizonturi ca urmare a construirii unei metrici foarte dependente de timp.

Viteza luminii

Presupunem mișcare radială. Pentru lumină, $d\tau =0\,\!$ ${\ displaystyle d \ tau = 0 \, \!}$ ${\ displaystyle d \ tau = 0 \, \!}$ . În consecință,

0=\left(dr+\left(1+{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \right)\,dt_{r}\right)\left(dr-\left(1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \right)\,dt_{r}\right),\,

{\ displaystyle 0 = \ left (dr + \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ \ right) \, dt_ {r} \ right) \ left (dr- \ left ( 1 - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ \ right) \, dt_ {r} \ right), \,}

{\ displaystyle 0 = \ left (dr + \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ \ right) \, dt_ {r} \ right) \ left (dr- \ left ( 1 - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ \ right) \, dt_ {r} \ right), \,}

{\frac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = \ pm 1 - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}. \,}

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = \ pm 1 - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}. \,}

La distanțe considerabile de gaura neagră, $r\to \infty \,\!$ ${\ displaystyle r \ to \ infty \, \!}$ ${\ displaystyle r \ to \ infty \, \!}$ , ${\frac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1\,\!$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = \ pm 1 \, \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = \ pm 1 \, \!}$ . Viteza luminii este 1, ca în relativitatea specială .
La orizontul evenimentelor , $r=2M\,\!$ ${\ displaystyle r = 2M \, \!}$ ${\ displaystyle r = 2M \, \!}$ , viteza fotonilor direcționați radial în afara centrului găurii negre este ${\frac {dr}{dt_{r}}}=0\,\!$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = 0 \, \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = 0 \, \!}$ . Nu pot ieși din orizont și se blochează acolo; Deoarece lumina se mișcă mai repede decât orice altă materie, un obiect cu masă poate cădea numai în interior. Orice se întâmplă în orizont este ascuns lumii exterioare.
În gaura neagră, r <2M, observatorul care cade liber măsoară faptul că lumina se deplasează spre centru cu o viteză mai mare de 2. Acest lucru este plauzibil: chiar și în relativitatea specială, viteza corectă a unui obiect în mișcare este $\quad {\frac {dr_{ff}}{d\tau }}={\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\geq 1\,\!$ ${\ displaystyle \ quad {\ frac {dr_ {ff}} {d \ tau}} = {\ frac {v} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \ geq 1 \, \!}$ ${\ displaystyle \ quad {\ frac {dr_ {ff}} {d \ tau}} = {\ frac {v} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \ geq 1 \, \!}$ . Există două considerații importante de făcut:
Niciun obiect nu are o valoare mai mare decât lumina în același cadru de referință: principiul cauzalității este păstrat. Viteza căderii este de fapt mai mică decât lumina: ${\frac {\left({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\right)_{\text{raindrop}}}{\left({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\right)_{\text{light}}}}={\frac {\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}}}<1\,\!$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left ({\ dfrac {dr} {dt_ {r}}} \ right) _ {\ text {raindrop}}} {\ left ({\ dfrac {dr} {dt_ {r} }} \ right) _ {\ text {light}}}} = {\ frac {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} {1 + {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} }} <1 \, \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left ({\ dfrac {dr} {dt_ {r}}} \ right) _ {\ text {raindrop}}} {\ left ({\ dfrac {dr} {dt_ {r} }} \ right) _ {\ text {light}}}} = {\ frac {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} {1 + {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} }} <1 \, \!}$ .

Timpul luat de un foton care face parte din orizontul îndreptat spre centrul găurii negre poate fi obținut prin integrarea ecuației pentru viteza luminii, $\int$ $0$ $T.$ $r$ $d$ $t$ $=$ $-$ $\int$ $2$ $M.$ $0$ $($ $2$ $M.$ $r$ $+$ $1$ $)$ $-$ $1$ $d$ $r$ $.$ {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T_ {r}} \, dt = - \ int _ {2M} ^ {0} \ left ({\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} + 1 \ right) ^ {- 1} \, dr. \, \!} ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T_ {r}} \, dt = - \ int _ {2M} ^ {0} \ left ({\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} + 1 \ right) ^ {- 1} \, dr. \, \!}$ Rezultatul este $T.$ $r$ $=$ $4$ $M.$ $ln$ $2$ $-$ $2$ $M.$ $\approx$ $0,77$ $M.$ $.$ {\ displaystyle T_ {r} = 4M \ ln 2-2M \ approx 0.77M. \, \!} ${\ displaystyle T_ {r} = 4M \ ln 2-2M \ approx 0.77M. \, \!}$
- Timpul acestei călătorii pentru o gaură neagră stelară de 3 mase solare este de aproximativ 11 microsecunde.
- Ignorând efectele rotației , pentru Sagetatorul A * , gaura neagră supermasivă din centrul galaxiei Calea Lactee de 3,7 milioane de mase solare, timpul este de aproximativ 14 secunde.
- Pentru gaura neagră supermasivă de 3 miliarde de mase solare (cea mai mare cunoscută) din centrul Messier 87 , o gigantică galaxie eliptică din clusterul Fecioară, timpul este de aproximativ 3 ore pentru foton și 5 ore pentru obiectul în cădere liberă.
Timpul maxim de supraviețuire în interiorul unei găuri negre pentru un obiect cu masă, obținut prin calcularea limitei pentru viteza de tendință la 0 pe orizontul evenimentelor în raport cu coordonatele Schwarzschild (adică așa cum este văzut de un observator extern) este $\pi M$ ${\ displaystyle \ pi M}$ ${\ displaystyle \ pi M}$ ; a atins această limită, orice accelerație din interiorul găurii negre scade doar timpul căderii

Vederea universului pentru un observator în cădere liberă

Cum ar arăta universul unui observator în cădere liberă spre centrul găurii negre? ^[9] Vizualul poate fi descris prin următoarele ecuații:

\cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}={\frac {dr_{r}}{dt_{r}}}={\frac {{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}+\cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}},\,

{\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r} = {\ frac {dr_ {r}} {dt_ {r}}} = {\ frac {{\ sqrt {\ dfrac {2M} {r }}} + \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s}} {1 + {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} \ \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s }}}, \,}

{\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r} = {\ frac {dr_ {r}} {dt_ {r}}} = {\ frac {{\ sqrt {\ dfrac {2M} {r }}} + \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s}} {1 + {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} \ \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s }}}, \,}

\cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}={\frac {dr_{s}}{dt_{s}}}=\pm {\sqrt {1-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\frac {{\mathit {I}}^{2}}{r^{2}}}}},\,\!

{\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s} = {\ frac {dr_ {s}} {dt_ {s}}} = \ pm {\ sqrt {1- \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) {\ frac {{\ mathit {I}} ^ {2}} {r ^ {2}}}}}, \, \!}

{\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s} = {\ frac {dr_ {s}} {dt_ {s}}} = \ pm {\ sqrt {1- \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) {\ frac {{\ mathit {I}} ^ {2}} {r ^ {2}}}}}, \, \!}

\phi ={\mathit {I}}\int _{r_{0}}^{\infty }{\frac {dr}{r^{2}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}},\,\!

{\ displaystyle \ phi = {\ mathit {I}} \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty} {\ frac {dr} {r ^ {2} \ \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s}}}, \, \!}

{\ displaystyle \ phi = {\ mathit {I}} \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty} {\ frac {dr} {r ^ {2} \ \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s}}}, \, \!}

unde este

{\boldsymbol {\Phi }}_{r},\ {\boldsymbol {\Phi }}_{s}\,\!

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r}, \ {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s} \, \!}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r}, \ {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s} \, \!}

sunt unghiurile de vizualizare ale observatorului care cade și ale observatorului extern în raport cu direcția radial spre exterior.

\ \phi \,\!

{\ displaystyle \ \ phi \, \!}

{\ displaystyle \ \ phi \, \!}

este unghiul dintre steaua îndepărtată și direcția radial afară.

{\mathit {I}}\,\!

{\ displaystyle {\ mathit {I}} \, \!}

{\ displaystyle {\ mathit {I}} \, \!}

este parametrul de impact. Fiecare rază de lumină poate fi urmărită înapoi la o sursă corespunzătoare situată la infinit; parametrul de impact este distanța dintre sursa la infinit și raza paralelă cu aceasta care este direcționată spre centrul găurii negre.

Datorită simetriei sferice, traiectoria luminii trece întotdeauna pe un plan care trece prin centrul sferei. puteți simplifica metrica presupunând $\theta ={\frac {\pi }{2}}\,\!$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} \, \!}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} \, \!}$ . Parametrul de impact ${\mathit {I}}\,\!$ ${\ displaystyle {\ mathit {I}} \, \!}$ ${\ displaystyle {\ mathit {I}} \, \!}$ poate fi calculată cunoscând coordonata r pentru observatorul care cade $r_{0}\,\!$ ${\ displaystyle r_ {0} \, \!}$ ${\ displaystyle r_ {0} \, \!}$ și văzând colțul $\ {\boldsymbol {\Phi }}_{r0}\,\!$ ${\ displaystyle \ {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r0} \, \!}$ ${\ displaystyle \ {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r0} \, \!}$ . De aici și unghiul real $\ \phi \,\!$ ${\ displaystyle \ \ phi \, \!}$ ${\ displaystyle \ \ phi \, \!}$ a stelei îndepărtate se determină prin integrarea numerică $dr\,\!$ ${\ displaystyle dr \, \!}$ ${\ displaystyle dr \, \!}$ din $r_{0}\,\!$ ${\ displaystyle r_ {0} \, \!}$ ${\ displaystyle r_ {0} \, \!}$ la o valoare care tinde la infinit. În dreapta vedeți o reprezentare a rezultatului.

La r / M = 500, gaura neagră este încă departe. Ocupă un unghi de doar ~ 1 grad pe cer. Stelele nu sunt distorsionate de prezența sa, cu excepția celor din spatele ei. Pentru lentila gravitațională, lumina acestor stele este deplasată cu 5 grade spre gaura neagră. Între aceste stele și este o bandă circulară de imagini secundare ale acestora; aceste duplicate sunt utile pentru identificarea găurilor negre.
La r / M = 30, gaura neagră a devenit mult mai mare, ocupând un diametru de ~ 15 grade pe cer; banda secundară a imaginii a crescut cu 10 grade. Acum este, de asemenea, posibil să vedeți imagini terțiare în bandă, care sunt produse de razele de lumină care au încercuit deja gaura neagră; imaginile primare sunt mai larg distribuite pe cer. Modul de distribuție este similar cu cel anterior.
La r / M = 2, adică orizontul de evenimente gaura neagră ocupă o porțiune substanțială a cerului, aproximativ 42 de grade; banda de imagini secundare și terțiare, în loc să se ridice, a scăzut la aproximativ 5 grade. Efectul de aberație este acum dominat; viteza observatorului a atins cea a luminii. Distribuția imaginilor primare se schimbă drastic: acestea se îndreaptă spre limitele benzii și extremele acesteia sunt pline de stele. Pentru efectul Doppler , imaginile primare ale stelelor care au fost plasate inițial în spatele observatorului sunt acum puternic deplasate spre roșu, în timp ce cele din fața sa sunt deplasate spre albastru și par foarte luminoase.
La r / M = 0,001, curba unghiului stelelor îndepărtate cu unghiul de vizualizare formează un unghi drept față de unghiul de vizualizare de 90 de grade. Majoritatea stelelor sunt concentrate într-un inel îngust de 90 de grade din direcția interioară a găurii negre; între acel inel și direcția interioară se află uriașa gaură neagră. Pe partea opusă, doar câteva stele strălucesc slab.
Când observatorul atinge singularitatea , $r\rightarrow 0\,\!$ ${\ displaystyle r \ rightarrow 0 \, \!}$ ${\ displaystyle r \ rightarrow 0 \, \!}$ , și $\cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}\rightarrow {\sqrt {\frac {r}{2M}}}\,\!$ ${\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r} \ rightarrow {\ sqrt {\ frac {r} {2M}}} \, \!}$ ${\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r} \ rightarrow {\ sqrt {\ frac {r} {2M}}} \, \!}$ . Aproape toate stelele și imaginile lor cauzate de orbite multiple de lumină în jurul găurii negre sunt concentrate într-un punct mic în unghiul de vedere de 90 °; observatorul vede un inel luminos magnific de stele strălucind pe cerul întunecat.
Astfel de observații sunt valabile numai dacă obiectul este în cădere liberă; dacă un astronaut ar duce nava la viteza maximă posibilă pentru a scăpa de la orizont, situația observată în singularitate ar avea loc pe ea.

Notă

^ Paul Painlevé, La mécanique classique et la théorie de la relativité , CR Acad. Sci. (Paris) 173, 677–680 (1921) .
^ Allvar Gullstrand, Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie , Arkiv. Mat. Astron. Fys. 16 (8), 1–15 (1922).
^ G. Lemaitre, Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A53, 1933, pp. 51–85, Bibcode : 1933ASSB ... 53 ... 51 .
^ "The gravitation dans la mécanique de Newton et dans la mécanique d'Einstein" CR Acad. Sci. (Paris) 173, 873-886 (1921) .
^ Diana Buchwald et al (eds), The Collected papers of Albert Einstein , Princeton University Press, 2009, pp. 368 -370.
^ Jean Eisenstaedt, The Early Interpretation of the Schwarzschild solution , în Don Howqard, John Stachel (ed.), Einstein and the History of General Relativity , Birkhauser (Berlin), 1987, pp. 222–223.
^ Jean Eisenstaedt, Histoire et Singularités de la Solution de Schwarzschild (1915–1923) , în Archive for History of Exact Sciences , vol. 27, 1982, pp. 157–198.
^ "EINSTEIN IN PARIS, Einstein prezintă și discută teoria sa, de Charles Nordmann", Einstein prezintă și discută teoria sa
^ Tony Rothman, Richard Matzner, Bill Unruh, Grand Illusions: Altre conversații la marginea spațiului timp , în Frontiers of Modern Physics , Dover Publications (New York), 1985, pp. 49–81.

linkuri externe

Modelul râului găurilor negre , la arxiv.org .
Videoclipul doctorului Andrew JS Hamilton „Inside Black Holes” , pe online.itp.ucsb.edu .
Simularea orbitei găurilor negre în coordonatele GP. , pe brannenworks.com .
Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation , WH Freeman and Company, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 .

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate

[1] Paul Painlevé, La mécanique classique et la théorie de la relativité , CR Acad. Sci. (Paris) 173, 677–680 (1921) .

[2] Allvar Gullstrand, Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie , Arkiv. Mat. Astron. Fys. 16 (8), 1–15 (1922).

[3] G. Lemaitre, Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A53, 1933, pp. 51–85, Bibcode : 1933ASSB ... 53 ... 51 .

[4] "The gravitation dans la mécanique de Newton et dans la mécanique d'Einstein" CR Acad. Sci. (Paris) 173, 873-886 (1921) .

[5] Diana Buchwald et al (eds), The Collected papers of Albert Einstein , Princeton University Press, 2009, pp. 368 -370.

[6] Jean Eisenstaedt, The Early Interpretation of the Schwarzschild solution , în Don Howqard, John Stachel (ed.), Einstein and the History of General Relativity , Birkhauser (Berlin), 1987, pp. 222–223.

[7] Jean Eisenstaedt, Histoire et Singularités de la Solution de Schwarzschild (1915–1923) , în Archive for History of Exact Sciences , vol. 27, 1982, pp. 157–198.

[8] "EINSTEIN IN PARIS, Einstein prezintă și discută teoria sa, de Charles Nordmann", Einstein prezintă și discută teoria sa

[9] Tony Rothman, Richard Matzner, Bill Unruh, Grand Illusions: Altre conversații la marginea spațiului timp , în Frontiers of Modern Physics , Dover Publications (New York), 1985, pp. 49–81.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5] prin care și-a

[6]

[7]

[8]

[9]