Constanta Landau-Ramanujan

Constanta Landau-Ramanujan
Simbol	K.
Valoare	0.764223653589220662990698731 ... (secvența A064533 a OEIS )
Originea numelui	Edmund Landau și Srinivasa Ramanujan
Fracție continuă	[0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, ...] (secvența A125776 a OEIS)
Camp	numere reale

În matematică , constanta K Landau-Ramanujan este o constantă care apare în teoria numerelor . K reprezintă constanta de proporționalitate între numărul de numere întregi pozitive mai mic decât x care sunt suma a două pătrate perfecte și

{\frac {x}{\sqrt {\ln(x)}}}

{\ displaystyle {\ frac {x} {\ sqrt {\ ln (x)}}}}

{\ frac {x} {{\ sqrt {\ ln (x)}}}}

pentru x care tinde spre infinit; cu alte cuvinte, dacă N ( x ) este numărul de numere întregi pozitive mai mic decât x suma a două pătrate perfecte, atunci

K=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}=0,76422365358922066299069873125...

{\ displaystyle K = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {N (x) {\ sqrt {\ ln (x)}}} {x}} = 0.76422365358922066299069873125 ...}

K = \ lim _ {{x \ to \ infty}} {\ frac {N (x) {\ sqrt {\ ln (x)}}} {x}} = 0.76422365358922066299069873125 ...

Acesta ia numele lui Edmund Landau, care a dovedit-o în 1908, în timp ce ia numele de Srinivasa Ramanujan pentru că el a fost cel care a enunțat-o în 1906, dar nu a putut să o demonstreze. Convergența limitei la constanta K este totuși foarte lentă:

X	$N(x)$ ${\ displaystyle N (x)}$ $N (x)$	$N(x){\frac {\sqrt {\ln(x)}}{x}}$ ${\ displaystyle N (x) {\ frac {\ sqrt {\ ln (x)}} {x}}}$ $N (x) {\ frac {{\ sqrt {\ ln (x)}}} {x}}$
10	7	1,0622
10 ²	43	0,922765
10 ³	330	0,867326
10 ⁴	2749	0,834281
10 ⁵	24028	0,815287
10 ⁶	216341	0,804123

O formulă, găsită de Flajolet și Vardi în 1996, care converge mai repede la K este

K={\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1-{\frac {1}{2^{2^{n}}}}\right){\frac {\zeta (2^{n})}{\beta (2^{n})}}\right]^{\frac {1}{2^{n+1}}}

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [\ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ { 2 ^ {n}}}} \ right) {\ frac {\ zeta (2 ^ {n})} {\ beta (2 ^ {n})}} \ right] ^ {\ frac {1} {2 ^ {n + 1}}}}

K = {\ frac {1} {{\ sqrt {2}}}} \ prod _ {{n = 1}} ^ {\ infty} \ left [\ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {{2 ^ {n}}}}} \ right) {\ frac {\ zeta (2 ^ {n})} {\ beta (2 ^ {n})}} \ right] ^ {{{\ frac { 1} {2 ^ {{n + 1}}}}}}

unde este $\zeta (n)$ ${\ displaystyle \ zeta (n)}$ $\ zeta (n)$ este funcția zeta Riemann și $\beta (n)$ ${\ displaystyle \ beta (n)}$ $\ beta (n)$ este funcția beta Dirichlet .