Epigrafic (matematică)

O funcție este convexă dacă regiunea de deasupra graficului său (în verde) este un set convex . Această regiune este epigrafica funcției.

În analiza matematică , epigraficul unei funcții

f:A\to \mathbb {R}

{\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R}}

definit pe un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este setul de puncte care sunt deasupra sau pe graficul funcției :

{\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in A,\,\mu \in \mathbb {R} ,\mu \geq \ f(x)\}\subseteq A\times \mathbb {R}

{\ displaystyle {\ mbox {epi}} f = \ {(x, \ mu) \ ,: \, x \ în A, \, \ mu \ in \ mathbb {R}, \ mu \ geq \ f (x ) \} \ subseteq A \ times \ mathbb {R}}

{\ displaystyle {\ mbox {epi}} f = \ {(x, \ mu) \ ,: \, x \ în A, \, \ mu \ in \ mathbb {R}, \ mu \ geq \ f (x ) \} \ subseteq A \ times \ mathbb {R}}

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subset de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , epigraficul este un subset de $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ .

Proprietate

Convexitate

În ipoteza:

A=\mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle A = \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle A = \ mathbb {R} ^ {n}}

O funcție este convexă dacă și numai dacă epigraficul ei este un set convex . Se spune că un set A este convex dacă segmentele care au puncte finale în A sunt toate subseturi ale acestuia

Funcții liniare

Epigraficul unei funcții afine reale

g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}

este o jumătate de spațiu de $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$ .

Semi-continuitate

O funcție este semicontinuă mai jos dacă și numai dacă epigraficul său este închis .