Ecuația biharmonică

În matematică , ecuația biharmonică este o ecuație diferențială parțială de ordinul patru folosită frecvent în mecanica continuumului . O soluție a ecuației biharmonice se numește funcția biharmonică ; fiecare funcție biharmonică este o funcție armonică , dar inversul nu este adevărat.

Ecuația

Ecuația biharmonică are forma:

\nabla ^{4}\varphi =0

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = 0}

sau:

\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} \ varphi = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} \ varphi = 0}

sau, de asemenea:

\Delta ^{2}\varphi =0

{\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ varphi = 0}

{\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ varphi = 0}

unde este $\nabla ^{4}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {4}}$ este a patra putere a operatorului nabla , adică pătratul Laplacianului $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ (indicat și cu $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ ). Un astfel de operator diferențial se mai numește și operator bilaplacian sau operator biharmonic . Într-o altă notație poate fi scris în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dimensiune ca:

\nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ partial _ {i} \ partial _ {i} \ partial _ {j} \ partial _ {j} \ varphi}

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ partial _ {i} \ partial _ {i} \ partial _ {j} \ partial _ {j} \ varphi}

De exemplu, în cazul tridimensional și în coordonatele carteziene :

{\partial ^{4}\varphi  \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi  \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi  \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi  \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi  \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi  \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0

{\ displaystyle {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial x ^ {4}} + {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial y ^ {4}} + {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial z ^ {4}} + 2 {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}} + 2 {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial y ^ {2} \ partial z ^ {2}} + 2 {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial x ^ {2} \ partial z ^ {2}} = 0}

{\ displaystyle {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial x ^ {4}} + {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial y ^ {4}} + {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial z ^ {4}} + 2 {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}} + 2 {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial y ^ {2} \ partial z ^ {2}} + 2 {\ partial ^ {4} \ varphi \ over \ partial x ^ {2} \ partial z ^ {2}} = 0}

Un alt exemplu în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dimensiunea se găsește având în vedere:

\nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ left ({1 \ over r} \ right) = {3 (15-8n + n ^ {2}) \ over r ^ {5}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ left ({1 \ over r} \ right) = {3 (15-8n + n ^ {2}) \ over r ^ {5}}}

unde este:

r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}}

Numai pentru valori $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$ Și $n=5$ ${\ displaystyle n = 5}$ $n = 5$ devine ecuația biharmonică.

Ecuație în două dimensiuni

În coordonatele polare bidimensionale, ecuația biharmonică ia forma:

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left ({\ frac { 1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial r}} \ right) \ right) \ right) + right \ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2} \ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {4}}} - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {\ partial ^ {3} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2} \ partial r}} + {\ frac {4} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left ({\ frac { 1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial r}} \ right) \ right) \ right) + right \ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2} \ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {4}}} - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {\ partial ^ {3} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2} \ partial r}} + {\ frac {4} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}

și se poate rezolva separând variabilele , obținând soluția lui Michell .

Soluția generală în două dimensiuni este:

xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)

{\ displaystyle xv (x, y) -yu (x, y) + w (x, y)}

{\ displaystyle xv (x, y) -yu (x, y) + w (x, y)}

unde este $u(x,y)$ ${\ displaystyle u (x, y)}$ $u (x, y)$ , $v(x,y)$ ${\ displaystyle v (x, y)}$ $v (x, y)$ Și $w(x,y)$ ${\ displaystyle w (x, y)}$ $w (x, y)$ sunt funcții armonice și $v(x,y)$ ${\ displaystyle v (x, y)}$ $v (x, y)$ este conjugatul armonic al $u(x,y)$ ${\ displaystyle u (x, y)}$ $u (x, y)$ .

Forma generală pentru o funcție biharmonică cu două variabile poate fi, de asemenea, scrisă ca:

\operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))

{\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ bar {z}} f (z) + g (z))}

{\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ bar {z}} f (z) + g (z))}

unde este $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ Și $g(z)$ ${\ displaystyle g (z)}$ $g (z)$ sunt funcții analitice .

Bibliografie

( EN ) Eric W Weisstein, Enciclopedia concisă a matematicii CRC, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2 .
( EN ) SI Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering , Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5 .
( EN ) JP Den Hartog, Advanced Strength of Materials , Courier Dover Publications, 1 iulie 1987, ISBN 0-486-65407-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein,Ecuația biharmonică în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein,Operator biharmonic în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică