Ecuații Bessel

În matematică , ecuațiile Bessel , al căror nume se datorează lui Friedrich Wilhelm Bessel , sunt un caz special al ecuației hipergeometrice confluente , ale cărei soluții definesc armonicele cilindrice sau funcțiile Bessel .

Definiție

Acestea sunt ecuații diferențiale ordinare liniare omogene de ordin secundar de formă:

x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0

{\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ (x ^ {2} - \ alpha ^ {2}) y = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ (x ^ {2} - \ alpha ^ {2}) y = 0}

x^{2}y''+xy'+(x^{2}+\alpha ^{2})y=0

{\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ (x ^ {2} + \ alpha ^ {2}) y = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ (x ^ {2} + \ alpha ^ {2}) y = 0}

unde notația Lagrange a fost utilizată pentru derivatele totale pentru necunoscut $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Numarul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ se spune ordinea ecuației, în timp ce $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ luați valori în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Explicarea derivatelor și împărțirea la $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ :

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dx}}+\left(1\pm {\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)y=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + {\ frac {1} {x}} {\ frac {dy} {dx}} + \ left (1 \ pm {\ frac {\ alpha ^ {2}} {x ^ {2}}} \ right) y = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + {\ frac {1} {x}} {\ frac {dy} {dx}} + \ left (1 \ pm {\ frac {\ alpha ^ {2}} {x ^ {2}}} \ right) y = 0}

care poate fi scris și ca:

{\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {dy}{dx}}\right)+\left(1\pm {\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)y=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ left (x {\ frac {dy} {dx}} \ right) + \ left (1 \ pm {\ frac {\ alpha ^ {2}} {x ^ {2}}} \ right) y = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ left (x {\ frac {dy} {dx}} \ right) + \ left (1 \ pm {\ frac {\ alpha ^ {2}} {x ^ {2}}} \ right) y = 0}

Soluțiile generale sunt armonii cilindrice sau funcții Bessel și sunt împărțite în funcții Bessel de primul tip (numite ele însele „armonice cilindrice” și indicate prin $J_{\alpha }(x)$ ${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$ ${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$ ) și funcțiile Bessel de al doilea tip (numite funcții Neumann sau funcții Weber și indicate cu $Y_{\alpha }(x)$ ${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$ ${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$ ). Un al treilea tip de soluție, funcțiile Bessel ale celui de-al treilea tip sau funcțiile Hankel $H_{\alpha }^{1}(x)$ ${\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {1} (x)}$ ${\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {1} (x)}$ Și $H_{\alpha }^{2}(x)$ ${\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {2} (x)}$ ${\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {2} (x)}$ , sunt o combinație liniară particulară a celor de mai sus.

De sine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ nu este întreg o soluție generală este dată de:

y=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}J_{-\alpha }(x)

{\ displaystyle y = C_ {1} J _ {\ alpha} (x) + C_ {2} J _ {- \ alpha} (x)}

{\ displaystyle y = C_ {1} J _ {\ alpha} (x) + C_ {2} J _ {- \ alpha} (x)}

cu $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ Și $C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ constante arbitrare.

Pentru o ordine generică, soluția poate fi dată în următoarele forme:

y=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x)\qquad y=C_{1}H_{\alpha }^{1}(x)+C_{2}H_{\alpha }^{2}(x)

{\ displaystyle y = C_ {1} J _ {\ alpha} (x) + C_ {2} Y _ {\ alpha} (x) \ qquad y = C_ {1} H _ {\ alpha} ^ {1} (x) + C_ {2} H _ {\ alpha} ^ {2} (x)}

{\ displaystyle y = C_ {1} J _ {\ alpha} (x) + C_ {2} Y _ {\ alpha} (x) \ qquad y = C_ {1} H _ {\ alpha} ^ {1} (x) + C_ {2} H _ {\ alpha} ^ {2} (x)}

Pentru o comandă dată funcțiile $J_{\alpha }(x)$ ${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$ ${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$ , $Y_{\alpha }(x)$ ${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$ ${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$ , $H_{\alpha }^{1}(x)$ ${\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {1} (x)}$ ${\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {1} (x)}$ Și $H_{\alpha }^{2}(x)$ ${\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {2} (x)}$ ${\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {2} (x)}$ ele sunt de fapt independente reciproc liniar .

Formă redusă

Prin înlocuire $y=ux^{-1/2}$ ${\ displaystyle y = ux ^ {- 1/2}}$ ${\ displaystyle y = ux ^ {- 1/2}}$ obținem forma redusă a primei ecuații Bessel:

u''+\left(1+{\frac {1-4\alpha ^{2}}{4x^{2}}}\right)u=0

{\ displaystyle u '' + \ left (1 + {\ frac {1-4 \ alpha ^ {2}} {4x ^ {2}}} \ right) u = 0}

{\ displaystyle u '' + \ left (1 + {\ frac {1-4 \ alpha ^ {2}} {4x ^ {2}}} \ right) u = 0}

Prin înlocuire $x=z/2i$ ${\ displaystyle x = z / 2i}$ ${\ displaystyle x = z / 2i}$ în această formă redusă ajungem la ecuația lui Whittaker .

Bibliografie

(RO) Milton Abramowitz și Irene Stegun Manual de funcții matematice (Dover, New York, 1964) (capitolele 9 , 10 , 11 )
(EN) Isaac Todhunter, Un tratat elementar despre funcțiile lui Laplace, funcțiile lui Lamé și funcțiile lui Bessel , New York, Macmillan și colab., 1875. Accesat la 15 iulie 2021.
( EN ) William Ellwood Byerly Un tratat elementar despre seria lui Fourier și armonicele sferice, cilindrice și elipsoidale cu aplicații la problemele din fizica matematică. (Ginn & Co., Boston, 1893) (capitolul 7)
(EN) Andrew Gray și George Ballard Matthews Un tratat despre funcțiile Bessel și aplicațiile lor la fizică (Macmillan și co., New York, 1895)
(EN) George Neville Watson Un tratat despre teoria funcțiilor Bessel (Cambridge University Press, 1922)

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre ecuațiile lui Bessel

linkuri externe

( EN ) N.Kh. Rozov, ecuația Bessel , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Bessel Differential Equation în MathWorld Wolfram Research.
( RO ) Funcții de tip Bessel (functions.wolfram.com)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică