Diferența ecuația

Ecuațiile diferență reprezintă formularea discretă a contrapiesei continuă, constând din ecuațiile diferențiale (ODE), în cazul în care o discretizare a domeniului de definire a funcției necunoscute care constituie soluția ecuației dată a fost efectuată.

Introducere în problema

Să luăm în considerare ecuații diferențiale ordinare de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , Sub forma implicită generală (împreună cu corespunzătoare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ condiții inițiale):

G\left(t,y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t)\right)=0\qquad (1)

{\ Displaystyle G \ stânga (t, y (t), y „(t), ..., y ^ {(n)} (t) \ dreapta) = 0 \ prototipurilor (1)}

{\ Displaystyle G \ stânga (t, y (t), y „(t), ..., y ^ {(n)} (t) \ dreapta) = 0 \ prototipurilor (1)}

soluția a cărei este reprezentată de funcția necunoscută $y(t):I\to J$ ${\ Y displaystyle (t): I \ la J}$ ${\ Y displaystyle (t): I \ la J}$ , Definit într - un domeniu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Conținutul sau mai mult coincide cu multimea numerelor reale, și valori într - o Codomeniu $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ , De asemenea , conținut sau cel mai coincide cu setul de numere reale . Astfel încât $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ constituie soluția $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ , pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în general $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , Acest lucru trebuie să aparțină în mod necesar spațiul funcțional $C^{n}(I)$ ${\ Displaystyle C ^ {n} (I)}$ ${\ Displaystyle C ^ {n} (I)}$ , Definite în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și ea continuă și derivabilă (până la ordinul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ).

Acum vrem să ia un interes în găsirea soluției $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ a ecuației diferențiale $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ numai într - un subset al domeniului $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ definirea aceleași sau numai pentru anumite valori $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Un caz tipic este în cazul în care punctele în cazul în care doriți să le cunoașteți $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ ele sunt distanțate în mod egal între ele: aceasta este echivalentă cu efectuarea unei descompuneri $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ periodică a domeniului $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ de tipul $D=(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n},\dots )$ ${\ Displaystyle D = (T_ {1}, T_ {2}, \ puncte, T_ {n}, \ puncte)}$ ${\ Displaystyle D = (T_ {1}, T_ {2}, \ puncte, T_ {n}, \ puncte)}$ , În care va avea $t_{i}-t_{i-1}=T$ ${\ Displaystyle T_ {i} -t_ {i-1} = T}$ ${\ Displaystyle T_ {i} -t_ {i-1} = T}$ , pentru fiecare $i=1,2,\dots ,n,\dots$ ${\ Displaystyle i = 1,2, \ puncte, n, \ dots}$ ${\ displaystyle i = 1,2, \ puncte, n, \ dots}$ (unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este perioada de descompunere). Desigur, în funcție de ce $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ indiferent dacă sunt sau nu limitate, astfel încât va fi prea $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ : În primul caz, $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ acesta va fi un finit (ordonate) stabilit, în timp ce în al doilea caz, va fi un (comandat) Set numărabilă. Este clar atunci că putem omite variabila $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în care indică întregul $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și se referă la elementele individuale comandate de acesta printr-un indice întreg $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ care identifică poziția sa în cadrul acestuia, adică, presupunând că acesta să includă, de asemenea, (cu excepția traduceri simple), în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , vei avea $t_{k}=kT$ ${\ Displaystyle T_ {k} = kT}$ ${\ Displaystyle T_ {k} = kT}$ . Prin urmare , am obținut secvența $y[k]:D\to J$ ${\ Y displaystyle [k]: D \ la J}$ ${\ Y displaystyle [k]: D \ la J}$ .

Ecuații cu diferențe finite de ordinul întâi

Același subiect în detaliu: metoda diferențelor finite .

Următorul pas este de a discret „traduce“ operațiile de derivare ale funcției necunoscute $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ care apare în $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ . În acest sens, să ia primul derivat ca un exemplu și să ia în considerare punctul de generic $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ aparținând $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , Pe care noi presupunem, de asemenea, un element de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Fiind $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ aparținând $C^{n}(I)$ ${\ Displaystyle C ^ {n} (I)}$ ${\ Displaystyle C ^ {n} (I)}$ , Acesta va fi în derivabila $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , În care vor exista, finite, derivați din stânga și dreapta, în mod natural egale între ele. Prin urmare, vom avea:

y'(t_{0})=\lim _{t{\rightarrow }t_{0}^{+}}{\frac {y(t)-y(t_{0})}{t-t_{0}}}=\lim _{t{\rightarrow }t_{0}^{-}}{\frac {y(t_{0})-y(t)}{t_{0}-t}}\qquad (2)

{\ Y displaystyle „(T_ {0}) = \ lim _ {t {\ rightarrow} T_ {0} ^ {+}} {\ frac {y (t) -y (T_ {0})} {t- T_ {0}}} = \ lim _ {t {\ rightarrow} T_ {0} ^ {-}} {\ frac {y (T_ {0}) - y (t)} {T_ {0} -t} } \ prototipurilor (2)}

{\ Y displaystyle „(T_ {0}) = \ lim _ {t {\ rightarrow} T_ {0} ^ {+}} {\ frac {y (t) -y (T_ {0})} {t- T_ {0}}} = \ lim _ {t {\ rightarrow} T_ {0} ^ {-}} {\ frac {y (T_ {0}) - y (t)} {T_ {0} -t} } \ prototipurilor (2)}

Am aproxima primul derivat cu său drept raport incrementală , adică, în cazul în care $t_{1}=t_{0}+T$ ${\ Displaystyle T_ {1} = T_ {0} + T}$ ${\ Displaystyle T_ {1} = T_ {0} + T}$ , poti sa scrii:

y'(t_{0})\approx {\frac {y(t_{1})-y(t_{0})}{T}}\qquad (3)

{\ Y displaystyle „(T_ {0}) \ approx {\ frac {y (T_ {1}) - y (T_ {0})} {T}} \ prototipurilor (3)}

{\ Y displaystyle „(T_ {0}) \ approx {\ frac {y (T_ {1}) - y (T_ {0})} {T}} \ prototipurilor (3)}

generalizarea $(3)$ ${\ displaystyle (3)}$ ${\ displaystyle (3)}$ în orice moment $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ aparținând $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ( $t=kT$ ${\ Displaystyle t = kT}$ ${\ Displaystyle t = kT}$ ), poti sa scrii:

y'(t=kT)\approx {\frac {y[k+1]-y[k]}{T}}\qquad (4)

{\ Y displaystyle „(t = kT) \ approx {\ frac {y [k + 1] -y [k]} {T}} \ prototipurilor (4)}

{\ Y displaystyle „(t = kT) \ approx {\ frac {y [k + 1] -y [k]} {T}} \ prototipurilor (4)}

Acolo $(4)$ ${\ Displaystyle (4)}$ $(4)$ reprezintă diferența finită înainte înainte de $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ în $t=kT$ ${\ Displaystyle t = kT}$ ${\ Displaystyle t = kT}$ ; eroarea care este angajat în apropierea derivatului cu raportul incremental va fi în mod natural mai mică cu atât mai mult $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este mic. Pentru ceea ce a fost spus despre $(2)$ ${\ displaystyle (2)}$ $(2)$ , Am aproxima acum primul derivat cu raportul său stâng incremental, adică, dacă $t_{1}=t_{0}-T$ ${\ Displaystyle T_ {1} = T_ {0} -T}$ ${\ Displaystyle T_ {1} = T_ {0} -T}$ , poti sa scrii:

y'(t_{0})\approx {\frac {y(t_{0})-y(t_{1})}{T}}\qquad (5)

{\ Y displaystyle „(T_ {0}) \ approx {\ frac {y (T_ {0}) - y (T_ {1})} {T}} \ prototipurilor (5)}

{\ Y displaystyle „(T_ {0}) \ approx {\ frac {y (T_ {0}) - y (T_ {1})} {T}} \ prototipurilor (5)}

generalizarea $(5)$ ${\ Displaystyle (5)}$ $(5)$ în orice moment $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ aparținând $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ( $t=kT$ ${\ Displaystyle t = kT}$ ${\ Displaystyle t = kT}$ ), poti sa scrii:

y'(t=kT)\approx {\frac {y[k]-y[k-1]}{T}}\qquad (6)

{\ Y displaystyle „(t = kT) \ approx {\ frac {y [k] -y [k-1]} {T}} \ prototipurilor (6)}

{\ Y displaystyle „(t = kT) \ approx {\ frac {y [k] -y [k-1]} {T}} \ prototipurilor (6)}

Acolo $(6)$ ${\ Displaystyle (6)}$ ${\ Displaystyle (6)}$ reprezintă diferența finită înainte de înapoi $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ în $t=kT$ ${\ Displaystyle t = kT}$ ${\ Displaystyle t = kT}$ . formulele $(4)$ ${\ Displaystyle (4)}$ $(4)$ Și $(6)$ ${\ Displaystyle (6)}$ ${\ Displaystyle (6)}$ Sunt posibile două moduri de a discretizarea operația de derivare și care ne-a condus, într-un mod natural, pentru a exprima $y'(t)$ ${\ Y displaystyle „(t)}$ $YT)$ în funcție de perioada de descompunere $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și valorile $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ la punctul de derivare considerat $k T.$ ${\ Displaystyle kT}$ $kT$ și la punctul imediat după (sau imediat înainte), care apare în ordinea de sortare $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Putem, prin urmare, între timp, interpreta $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ , În cazul în care $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , În cazul discret, cum ar fi:

F(k,y[k],y[k+1])=0\qquad (7)

{\ Displaystyle F (k, y [k], y [k + 1]) = 0 \ prototipurilor (7)}

{\ Displaystyle F (k, y [k], y [k + 1]) = 0 \ prototipurilor (7)}

dacă ați utilizat $(4)$ ${\ Displaystyle (4)}$ $(4)$ pentru a aproxima primul derivat sau ca:

F(k,y[k],y[k-1])=0\qquad (8)

{\ Displaystyle F (k, y [k], y [k-1]) = 0 \ prototipurilor (8)}

{\ Displaystyle F (k, y [k], y [k-1]) = 0 \ prototipurilor (8)}

dacă ați utilizat $(6)$ ${\ Displaystyle (6)}$ ${\ Displaystyle (6)}$ pentru a aproxima primul derivat. formulele $(7)$ ${\ Displaystyle (7)}$ ${\ Displaystyle (7)}$ Și $(8)$ ${\ Displaystyle (8)}$ ${\ Displaystyle (8)}$ ele reprezintă două ecuații cu diferențe finite de ordinul întâi, în formă implicită. De notat că, la fel ca și în cazul continuu, avem nevoie de o condiție inițială $y(t_{0})$ ${\ Y displaystyle (T_ {0})}$ $y (T_ {0})$ pentru a rezolva un generic ODE prima comanda, avem nevoie de o condiție inițială în același mod $y[m]$ ${\ Y displaystyle [m]}$ ${\ Y displaystyle [m]}$ pentru a rezolva o ecuație de ordinul I generic diferență finită. ecuații similare pot fi rezolvate într-un mod foarte simplu; Să vedem un exemplu:

3y[n]+y[n-1]=0\ {\mbox{per}}\ n\geq 0\qquad (9)

{\ 3y displaystyle [n] + y [n-1] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ prototipurilor (9)}

{\ 3y displaystyle [n] + y [n-1] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ prototipurilor (9)}

Este o ecuație diferență finită de ordinul întâi, omogen, liniar, cu coeficienți constanți (ele nu depind de variabila independentă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ). Rețineți că ne-am limitat în mod explicit studiul soluției de $(9)$ ${\ Displaystyle (9)}$ ${\ Displaystyle (9)}$ la acele valori ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ aparținând $\mathbb {N} _{0}^{+}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {0} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {0} ^ {+}}$ . Să-l ia ca o condiție inițială $y[-1]=1$ ${\ Y displaystyle [-1] = 1}$ ${\ Y displaystyle [-1] = 1}$ și vom continua recursiv:

3y[0]+y[-1]=0\Rightarrow y[0]=-{\frac {1}{3}}

{\ 3y displaystyle [0] + y [-1] = 0 \ rightarrow y [0] = - {\ frac {1} {3}}}

{\ 3y displaystyle [0] + y [-1] = 0 \ rightarrow y [0] = - {\ frac {1} {3}}}

3y[1]+y[0]=0\Rightarrow y[1]={\frac {1}{9}}

{\ 3y displaystyle [1] + y [0] = 0 \ rightarrow y [1] = {\ frac {1} {9}}}

{\ 3y displaystyle [1] + y [0] = 0 \ rightarrow y [1] = {\ frac {1} {9}}}

3y[2]+y[1]=0\Rightarrow y[2]=-{\frac {1}{27}}

{\ 3y displaystyle [2] + y [1] = 0 \ rightarrow y [2] = - {\ frac {1} {27}}}

{\ 3y displaystyle [2] + y [1] = 0 \ rightarrow y [2] = - {\ frac {1} {27}}}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

{\ displaystyle \ dots}

Putem obține deja o formă explicită pentru soluția $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ , adică $y[n]={\tfrac {1}{(-3)^{n+1}}}$ ${\ Y displaystyle [n] = {\ tfrac {1} {(- 3) ^ {n + 1}}}}$ ${\ Y displaystyle [n] = {\ tfrac {1} {(- 3) ^ {n + 1}}}}$ , pentru $n\geq 0$ ${\ displaystyle n \ geq 0}$ ${\ displaystyle n \ geq 0}$ , Și care, de fapt, reprezintă o succesiune în termeni de semn alternativ și convergente pe $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ tinde să $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Rădăcina ecuației algebrice omogenă asociată cu $(9)$ ${\ Displaystyle (9)}$ ${\ Displaystyle (9)}$ , adică $3h+1=0\Rightarrow h=-1/3$ ${\ Displaystyle 3h + 1 = 0 \ rightarrow h = -1/3}$ ${\ Displaystyle 3h + 1 = 0 \ rightarrow h = -1/3}$ , Se numește în mod obișnuit polul ecuației. Toate ecuațiile de diferență, coeficienți liniari și constante, de orice ordine, odată ce sunt cunoscute toate condițiile inițiale, pot fi rezolvate în mod recursiv. Pentru a finaliza „discretizarea“ al $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ , Trebuie să ne discretizarea derivatele rămase: acest lucru se face într-un mod similar cu ceea ce am văzut pentru apropierea primei derivate, utilizând raporturile incrementale $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -alea din derivată $(k-1)$ ${\ displaystyle (k-1)}$ $(k-1)$ -lea într-un mod progresiv. Astfel, este posibil să se scrie sub forma implicită a unei ecuații generice diferență finită, de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

F(k,y[k],y[k-1],...,y[k-n])=0\qquad (10)

{\ Displaystyle F (k, y [k], y [k-1], ..., y [KN]) = 0 \ prototipurilor (10)}

{\ Displaystyle F (k, y [k], y, ..., y [k-n] [k-1]) = 0 \ prototipurilor (10)}

preluând de a utiliza întotdeauna în spate finit primele diferențe pentru aproximarea derivatelor.

Ecuațiile diferență sunt introduse într-un mod natural în studiul fenomenelor care au loc periodic (sau în orice caz, care poate fi aproximat sau descrise cu modele matematice discrete); în special, ele se pretează foarte bine pentru a descrie comportamentul dinamic al sistemelor de timp discrete sau discrete-spațiale în procesarea semnalului și comenzi automate. Pentru aceste cazuri, liniare ecuațiile de diferență finită și coeficienții constanți sunt deosebit de importante: aceste proprietăți, de fapt, reflectă în mod natural caracteristicile sistemului care ecuația (sau sistemul de ecuații) reprezintă modelul matematic. derives liniaritatea din proprietatea omonime a sistemului descris, în timp ce constanța coeficienților în ceea ce privește (discrete) derivează timp de invariabilitatea parametrilor sistemului pe măsură ce timpul variază. Un exemplu clasic este un simulator discret de o simplă ramură RC: prin alegerea tensiunii aplicate la nivelul sucursalei, cantitatea de intrare și tensiunea măsurată în întreaga capacitate ca cantitatea de ieșire, este posibil să se discretizarea ecuației diferențiale care matematic modelele acest simplu sistem, în scopul de a reduce la o ecuație diferență finită, de ordin, ușor de gestionat de către un calculator, de obicei, un software CAD pentru proiectarea circuitelor electronice. Presupunând că R și C componente staționare liniare și, aceasta va fi, de asemenea, ecuația diferențială descriptivă și, prin urmare, punerea în aplicare discretă directă a acestui.

Ecuații cu diferențe finite, liniare și omogene

O ecuație generică diferență finită, de ordine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , Liniare, cu coeficienți constanți și omogene pot fi scrise în formă implicită ca:

a_{m}y[n-m]+a_{m-1}y[n-(m-1)]+...+a_{1}y[n-1]+a_{0}y[n]=0\ {\mbox{per}}\ n\geq 0\qquad (11)

{\ Displaystyle a_ {m} y [nm] + a_ {m-1} y [N- (m-1)] + ... + a_ {1} y [n-1] + a_ {0} y [ n] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ prototipurilor (11)}

{\ Displaystyle a_ {m} y [nm] + a_ {m-1} y [N- (m-1)] + ... + a_ {1} y [n-1] + a_ {0} y [ n] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ prototipurilor (11)}

și reductibile cu ușurință în formă normală (în funcție, adică, numai $y[n-m]$ ${\ Displaystyle y [nm]}$ ${\ Y displaystyle [n-m]}$ ). Având în vedere $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ condiții inițiale $\{y[-1],...,y[-m]\}$ ${\ Displaystyle \ {y [-1], ..., y [-m] \}}$ ${\ Displaystyle \ {y [-1], ..., y [-m] \}}$ , Puteți rezolva $(11)$ ${\ Displaystyle (11)}$ ${\ Displaystyle (11)}$ recursiv. Oricum, în cazul în care comanda $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Ecuația este mai mare sau egal cu 4, este posibil să se obțină soluția ca suma modurilor naturale, adică ca suma funcțiilor corespunzătoare de timp discret $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , Căutând rădăcinile ecuației algebrice asociate $(11)$ ${\ Displaystyle (11)}$ ${\ Displaystyle (11)}$ ; această ecuație este obținută prin substituirea diferenței finite generic $y[n-p]$ ${\ Y displaystyle [np]}$ ${\ Y displaystyle [n-p]}$ , Un necunoscut ridicat la putere $m-p$ ${\ Displaystyle mp}$ ${\ Displaystyle m-p}$ , sa spunem $h^{m-p}$ ${\ Displaystyle h ^ {mp}}$ ${\ Displaystyle h ^ {m-p}}$ . Să luăm un exemplu:

2y[n-2]+3y[n-1]+y[n]=0\ {\mbox{con}}\ y[-1]=1,y[-2]=0\ {\mbox{per}}\ n\geq 0\qquad (12)

{\ 2y displaystyle [n-2] + 3y [n-1] + y [n] = 0 \ {\ mbox {cu}} \ y [-1] = 1, y [-2] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ prototipurilor (12)}

{\ 2y displaystyle [n-2] + 3y [n-1] + y [n] = 0 \ {\ mbox {cu}} \ y [-1] = 1, y [-2] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ prototipurilor (12)}

Ecuația algebrică asociată cu $(12)$ ${\ displaystyle (12)}$ ${\ Displaystyle (12)}$ Și:

h^{2}+3h+2=0

{\ H displaystyle ^ {2} + 3h + 2 = 0}

{\ H displaystyle ^ {2} + 3h + 2 = 0}

ale căror rădăcini sunt $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ . Soluția generică a $(12)$ ${\ displaystyle (12)}$ ${\ Displaystyle (12)}$ Așadar:

y[n]=A(-1)^{n}+B(-2)^{n}

{\ Y displaystyle [n] = A (-1) ^ {n} + B (-2) ^ {n}}

{\ Y displaystyle [n] = A (-1) ^ {n} + B (-2) ^ {n}}

dependente de două constante $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , Care sunt obținute pornind de la condițiile inițiale:

y[-1]=-A-{\frac {1}{2}}B=1

{\ Y displaystyle [-1] = - A - {\ frac {1} {2}} B = 1}

{\ Y displaystyle [-1] = - A - {\ frac {1} {2}} B = 1}

y[-2]=A+{\frac {1}{4}}B=0

{\ Y displaystyle [-2] = A + {\ frac {1} {4}} B = 0}

{\ Y displaystyle [-2] = A + {\ frac {1} {4}} B = 0}

Rezolvarea sistemului liniar în două ecuații și două necunoscute, obținem $A=1$ ${\ displaystyle A = 1}$ ${\ displaystyle A = 1}$ Și $B=-4$ ${\ Displaystyle B = -4}$ ${\ Displaystyle B = -4}$ Astfel încât soluția este:

y[n]=(-1)^{n}-4(-2)^{n}\ {\mbox{per}}\ n\geq 0

{\ Y displaystyle [n] = (- 1) ^ {n} -4 (-2) ^ {n} \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0}

{\ Y displaystyle [n] = (- 1) ^ {n} -4 (-2) ^ {n} \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0}

Observăm că polii ecuației sunt $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ Și că modurile naturale aperiodice ale soluției sunt reprezentate de $(-1)^{n}$ ${\ Displaystyle (-1) ^ {n}}$ ${\ Displaystyle (-1) ^ {n}}$ și din $(-2)^{n}$ ${\ Displaystyle (-2) ^ {n}}$ ${\ Displaystyle (-2) ^ {n}}$ .

Ecuații cu diferențe finite, liniare și complete

Mai complex este cazul în care $(11)$ ${\ Displaystyle (11)}$ ${\ Displaystyle (11)}$ nu este omogenă, dar are un termen cunoscut (în general, o funcție $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ , Singur sau împreună cu diferențele sale finite, notă asupra întregului interval în care aceasta variază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ):

a_{m}y[n-m]+a_{m-1}y[n-(m-1)]+\dots +a_{1}y[n-1]+a_{0}y[n]=b_{r}x[n-r]+b_{r-1}x[n-(r-1)]+\dots +b_{1}x[n-1]+b_{0}x[n]=u[n]\ {\mbox{per}}\ n\geq 0\qquad (13)

{\ Displaystyle a_ {m} y [nm] + a_ {m-1} y [N- (m-1)] + \ dots + a_ {1} y [n-1] + a_ {0} y [n ] = B_ {r} x [nr] + B_ {r-1} x [n (r-1)] + \ dots + B_ {1} x [n-1] + B_ {0} x [n] = u [n] \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ prototipurilor (13)}

{\ Displaystyle a_ {m} y [nm] + a_ {m-1} y [N- (m-1)] + \ dots + a_ {1} y [n-1] + a_ {0} y [n ] = B_ {r} x [nr] + B_ {r-1} x [n (r-1)] + \ dots + B_ {1} x [n-1] + B_ {0} x [n] = u [n] \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ prototipurilor (13)}

Prin urmare, termenul cunoscut poate fi exprimat, în general, printr-o secvență $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ , Cunoscut a priori. În funcție de forma termenului cunoscut, sunt folosite tehnici similare celor utilizate pentru soluționarea ode neomogene. În primul rând, $(13)$ ${\ Displaystyle (13)}$ $(13)$ în asociat omogen și care este rezolvată, obținând o soluție generală; la aceasta se adaugă o anumită soluție în funcție de forma de $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ . În teoria sistemelor, această descompunere are o semnificație fizică precisă: termenul cunoscut reprezintă stresul (sau de intrare) a sistemului, iar ieșirea este secvența necunoscută care trebuie obținut ( de răspuns al sistemului). Ecuația omogenă asociată cu $(13)$ ${\ Displaystyle (13)}$ $(13)$ aceasta va avea ca solutia așa-numita evoluția liberă a sistemului, care depinde numai de condițiile inițiale și pe poli (parametrii intrinseci) ale acesteia din urmă. Soluția specială, pe de altă parte, constituie răspunsul forțată a sistemului, depinde direct de intrare $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ . Cu un exemplu:

2y[n]+y[n-1]=2^{n}\ {\mbox{con}}\ y[-1]=1\ {\mbox{e per}}\ n\geq 0\qquad (14)

{\ 2y displaystyle [n] + y [n-1] = 2 ^ {n} \ {\ mbox {con}} \ y [-1] = 1 \ {\ mbox {e}} pentru \ n \ geq 0 \ prototipurilor (14)}

{\ 2y displaystyle [n] + y [n-1] = 2 ^ {n} \ {\ mbox {con}} \ y [-1] = 1 \ {\ mbox {e}} pentru \ n \ geq 0 \ prototipurilor (14)}

Observăm că restrângerea intervalului peste care variază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru căutarea soluției coincide cu proprietatea sistemului (descris de modelul matematic $(14)$ ${\ Displaystyle (14)}$ $(14)$ ) De cauzalitate. Soluția generală a ecuației omogene asociate cu $(14)$ ${\ Displaystyle (14)}$ $(14)$ Și:

y_{h}[n]=A(-{\frac {1}{2}})^{n}

{\ Displaystyle y_ {h} [n] = A (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n}}

{\ Displaystyle y_ {h} [n] = A (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n}}

cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ constant să fie determinată pe baza condițiilor inițiale. Pentru a căuta o soluție particulară a $(14)$ ${\ Displaystyle (14)}$ $(14)$ , Să încercăm să găsim una de forma:

y_{p}[n]=B(2)^{n}

{\ Displaystyle y_ {p} [n] = B (2) ^ {n}}

{\ Displaystyle y_ {p} [n] = B (2) ^ {n}}

și înlocui-o în $(14)$ ${\ Displaystyle (14)}$ $(14)$ :

2B(2)^{n}+B(2)^{n-1}=2^{n}

{\ Displaystyle 2B (2) ^ {n} + B (2) ^ {n-1} = 2 ^ {n}}

{\ Displaystyle 2B (2) ^ {n} + B (2) ^ {n-1} = 2 ^ {n}}

de la care $B={\tfrac {2}{5}}$ ${\ Displaystyle B = {\ tfrac {2} {5}}}$ ${\ Displaystyle B = {\ tfrac {2} {5}}}$ și deoarece:

y[n]=y_{h}[n]+y_{p}[n]=A(-{\frac {1}{2}})^{n}+{\frac {2}{5}}(2)^{n}

{\ Y displaystyle [n] = y_ {h} [n] + y_ {p} [n] = A (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n} + {\ frac {2} { 5}} (2) ^ {n}}

{\ Y displaystyle [n] = y_ {h} [n] + y_ {p} [n] = A (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n} + {\ frac {2} { 5}} (2) ^ {n}}

va avea, utilizând informațiile cu privire la starea inițială $y[-1]=1$ ${\ Y displaystyle [-1] = 1}$ ${\ Y displaystyle [-1] = 1}$ , acea: $A=-{\tfrac {2}{5}}$ ${\ Displaystyle A = - {\ tfrac {2} {5}}}$ ${\ Displaystyle A = - {\ tfrac {2} {5}}}$ prin urmare:

y[n]=-{\frac {2}{5}}(-{\frac {1}{2}})^{n}+{\frac {2}{5}}(2)^{n}\ {\mbox{per}}\ n\geq 0.

{\ Y displaystyle [n] = - {\ frac {2} {5}} (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n} + {\ frac {2} {5}} (2) ^ {n} \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0.}

{\ Y displaystyle [n] = - {\ frac {2} {5}} (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n} + {\ frac {2} {5}} (2) ^ {n} \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0.}

Evoluția liberă este notat, în funcție de pol $h=-{\tfrac {1}{2}}$ ${\ Displaystyle h = - {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ Displaystyle h = - {\ tfrac {1} {2}}}$ și de la starea inițială, iar evoluția forțată, depind direct de intrare $u[n]=2^{n}$ ${\ Displaystyle u [n] = 2 ^ {n}}$ ${\ Displaystyle u [n] = 2 ^ {n}}$ .

Adăugăm că evoluția liberă a unui sistem de timp discret LTI (timp-invariante liniare și), al cărui model matematic, prin urmare, este format dintr-un (sau mai multe) ecuații cu diferențe finite, liniare, cu coeficienți constanți, tinde asimptotic la pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care tinde la infinit dacă și numai dacă toți polii săi sunt, în modul, mai puțin $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ (Sistem asimptotic stabil).

Soluție de ecuații diferențiale prin intermediul Z transforma

Un alt mod de a rezolva ecuații diferențiale liniare, cu coeficienți constanți, de ordine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ orice, este de a trece prin transformare $Z[\cdot ]$ ${\ Z displaystyle [\ cdot]}$ ${\ Z displaystyle [\ cdot]}$ . Vă reamintim că, într-un mod foarte general, funcționarea $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ -transformation pe secvența $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ , Definită pe un domeniu $A\subseteq Z$ ${\ Displaystyle A \ subseteq Z}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq Z}$ , Fie ea limitată (între $N_{0}$ ${\ displaystyle N_ {0}}$ $N_ {0}$ Și $N_{1}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ $N_1$ ), Fie nelimitată, deasupra și / sau mai jos este definită ca:

Z[y[n]]=\sum _{k=N_{0}}^{N_{1}}y[k]z^{-k}=Y(z)\qquad (15)

{\ Z displaystyle [y [n]] = \ sum _ {k = N_ {0}} ^ {N_ {1}} y [k] z ^ {- k} = Y (z) \ prototipurilor (15)}

{\ Z displaystyle [y [n]] = \ sum _ {k = N_ {0}} ^ {N_ {1}} y [k] z ^ {- k} = Y (z) \ prototipurilor (15)}

unde este $Y(z)$ ${\ displaystyle Y (z)}$ ${\ displaystyle Y (z)}$ este o funcție care ia valori complexe și definite pe un subset al câmpului complex ( $z=\rho e^{j\Omega }$ ${\ Displaystyle z = \ rho e ^ {j \ Omega}}$ ${\ Displaystyle z = \ rho e ^ {j \ Omega}}$ ; se poate demonstra că $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este o cantitate adimensionala și este dată de produsul $\Omega =\omega T$ ${\ Displaystyle \ Omega = \ omega T}$ ${\ Displaystyle \ Omega = \ omega T}$ , cu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ unghiular pulsație e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ perioadă a funcției de eșantionare $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ din care se obține secvența $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ ). Prin proprietatea derivat al transformarii $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , Avem că, limitând studiul la secvențe cauzale:

Z[y[n-1]]=z^{-1}Y(z)+y[-1]\qquad (16)

{\ Displaystyle Z [y [n-1]] = z ^ {- 1} Y (z) + y [-1] \ prototipurilor (16)}

{\ Displaystyle Z [y [n-1]] = z ^ {- 1} Y (z) + y [-1] \ prototipurilor (16)}

și, mai general:

Z[y[n-m]]=z^{-m}Y(z)+z^{-(m-1)}y[-1]+\dots +y[-m]\qquad (17)

{\ Z displaystyle [y [nm]] = z ^ {- m} Y (z) + z ^ {- (m-1)} y [-1] + \ dots + y [-m] \ prototipurilor (17 )}

{\ Z displaystyle [y [nm]] = z ^ {- m} Y (z) + z ^ {- (m-1)} y [-1] + \ dots + y [-m] \ prototipurilor (17 )}

Utilizarea $(17)$ ${\ Displaystyle (17)}$ $(17)$ și efectuarea $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ -transformation ambilor membri ai $(13)$ ${\ Displaystyle (13)}$ $(13)$ , noi obținem:

a_{m}z^{-m}Y(z)+a_{m-1}z^{-(m-1)}Y(z)+\dots +a_{1}z^{-1}Y(z)+a_{0}Y(z)-H(z)=U(z)\Rightarrow Y(z)={\frac {U(z)+H(z)}{D(z)}}\qquad (18)

{\ Displaystyle a_ {m} z ^ {- m} Y (z) + a_ {m-1} z ^ {- (m-1)} Y (z) + \ dots + a_ {1} z ^ {- 1} Y (z) + a_ {0} Y (z) -H (z) = U (z) \ rightarrow Y (z) = {\ frac {U (z) + H (z)} {D (z )}} \ prototipurilor (18)}

{\ Displaystyle a_ {m} z ^ {- m} Y (z) + a_ {m-1} z ^ {- (m-1)} Y (z) + \ dots + a_ {1} z ^ {- 1} Y (z) + a_ {0} Y (z) -H (z) = U (z) \ rightarrow Y (z) = {\ frac {U (z) + H (z)} {D (z )}} \ prototipurilor (18)}

unde este

D(z)=a_{m}z^{-m}+a_{m-1}z^{-(m-1)}+\dots +a_{1}z^{-1}+a_{0}

{\ Displaystyle D (z) = a_ {m} z ^ {- m} + a_ {m-1} z ^ {- (m-1)} + \ dots + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {0}}

{\ Displaystyle D (z) = a_ {m} z ^ {- m} + a_ {m-1} z ^ {- (m-1)} + \ dots + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {0}}

și $H(z)$ ${\ H displaystyle (z)}$ ${\ H displaystyle (z)}$ este o funcție polinomială în $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , Cu coeficienți date de combinații liniare ale condițiilor inițiale și $U(z)$ ${\ displaystyle U (z)}$ ${\ displaystyle U (z)}$ si $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ a secvenței transformate cu oncogena cunoscute $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ . În această formă, $Y(z)$ ${\ displaystyle Y (z)}$ ${\ displaystyle Y (z)}$ este reprezentat printr-un raport de polinoame în $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și este ușor reductibilă (într-un mod similar cu ceea ce se face pentru a reduce un Transformata Laplace compus dintr-un raport de polinoame la $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ) La o sumă de monoamele simple, ale căror antitransforms sunt de tipul $Aa^{n}u_{-1}[n]$ ${\ Displaystyle Aa ^ {n} u _ {- 1} [n]}$ ${\ Displaystyle Aa ^ {n} u _ {- 1} [n]}$ , cu $u_{-1}[n]$ ${\ Displaystyle u _ {- 1} [n]}$ ${\ Displaystyle u _ {- 1} [n]}$ secvență pas unitate. Redus în fracțiuni simpli $(18)$ ${\ Displaystyle (18)}$ $(18)$ , anti-l transformă $Y(z)$ ${\ displaystyle Y (z)}$ ${\ displaystyle Y (z)}$ pentru a obține secvența de soluție $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ .

Să vedem cum este posibil pentru a scrie $(18)$ ${\ Displaystyle (18)}$ $(18)$ De asemenea, ca:

Y(z)={\frac {H(z)}{D(z)}}+{\frac {U(z)}{D(z)}}={\frac {H(z)}{D(z)}}+{\frac {N_{u}(z)}{D(z)D_{u}(z)}}

{\ Displaystyle Y (z) = {\ frac {H (z)} {D (z)}} + {\ frac {U (z)} {D (z)}} = {\ frac {H (z) } {D (z)}} + {\ frac {N_ {u} (z)} {D (z) D_ {u} (z)}}}

{\ Displaystyle Y (z) = {\ frac {H (z)} {D (z)}} + {\ frac {U (z)} {D (z)}} = {\ frac {H (z) } {D (z)}} + {\ frac {N_ {u} (z)} {D (z) D_ {u} (z)}}}

unde este plasat $U(z)={\tfrac {N_{u}(z)}{D_{u}(z)}}$ ${\ Displaystyle U (z) = {\ tfrac {N_ {u} (z)} {D_ {u} (z)}}}$ ${\ Displaystyle U (z) = {\ tfrac {N_ {u} (z)} {D_ {u} (z)}}}$ , Adică, ca suma a două contribuții: prima, în funcție de condițiile inițiale, care evoluează în funcție de polii (modurile naturale) ale sistemului (al cărui $(18)$ ${\ Displaystyle (18)}$ $(18)$ reprezintă modelul matematic; polii sunt rădăcinile ecuației caracteristice asociate $(13)$ ${\ Displaystyle (13)}$ $(13)$ , Adică zerourile polinomului $D(z)$ ${\ Displaystyle D (z)}$ ${\ Displaystyle D (z)}$ ); al doilea, compus la rândul său, dintr-o parte, care evoluează în funcție de modurile naturale ale sistemului ( „declanșat“ prin aplicarea de intrare, un factor $D(z)$ ${\ Displaystyle D (z)}$ ${\ Displaystyle D (z)}$ ) Și cu o altă componentă care evoluează exact ca intrare (adică, în funcție de polii $U(z)$ ${\ displaystyle U (z)}$ ${\ displaystyle U (z)}$ , Adică, zerourile polinomului numitor $D_{u}(z)$ ${\ D_ displaystyle {u} (z)}$ ${\ D_ displaystyle {u} (z)}$ ), Care constituie răspunsul forțată a sistemului. În cazul în care acesta din urmă este asimptotic stabilă, partea a răspunsului global care tinde să tind să $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ infinit este , de asemenea , numit de răspuns tranzitoriu, în timp ce o parte din $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ care, cu toate acestea, rămâne limitată la obiectivul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ la infinit (în funcție de captivității $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ ) Este , de asemenea , numit răspuns forțată a sistemului în curs de examinare.

Bibliografie

M. Spiegel, diferențele finite și ecuații cu diferențe, Schaum, Milano, OES Libri, 1981.
(RO) G. Boole (1880): Tratat privind calculul diferențelor finite MacMillan
(DE) A. Markov (1896): Differenzenrechnung Teubner, p. 98
E. Pascal (1897): Calculul variațiilor și calculul diferențelor finite Hoepli p. 295
(DE) DF Selivanov (1904): Lehrbuch der Differenzenrechnung Teubner p. 64
Ravi P. Agerwal (2000): Diferența Ecuatii și Inegalitățile, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-9007-3
Hassan Sedaghat (2003): ecuații cu diferențe neliniara: Teorie cu aplicații în domeniul științei sociale Modele, Kluwer, ISBN 1402011164
Sui Sun Cheng (2003): Diferența parțială ecuații, Taylor și Francis, ISBN 0415298849

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică