Punct de echilibru

Un punct de echilibru al unui sistem dinamic este un punct în care evoluția sistemului este staționară.

Având în vedere un sistem autonom ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t))$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {f} (\ mathbf {x} (t))}$ ${\ dot {\ mathbf x}} (t) = {\ mathbf f} ({\ mathbf x} (t))$ , vectorul $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este un punct de echilibru dacă $f(\mathbf {x} _{0})=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {0}}$ . În acest caz, funcția $\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {x} _ {0}}$ ${\ mathbf x} (t) = {\ mathbf x} _ {0}$ este o soluție (staționară) pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Soluțiile staționare sunt toate și numai punctele de echilibru ale ecuației, a căror căutare coincide deci cu găsirea zerourilor câmpului vectorial $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ .

Definiție

Dacă sistemul dinamic este determinat de o ecuație diferențială (sau un sistem de ecuații):

{\frac {d}{dt}}x(t)=F(x(t),t)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x (t) = F (x (t), t)}

{\ frac {d} {dt}} x (t) = F (x (t), t)

un punct de echilibru este un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât $F(x_{0},t)=0$ ${\ displaystyle F (x_ {0}, t) = 0}$ $F (x_ {0}, t) = 0$ pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . De fapt, această condiție implică faptul că:

{\frac {d}{dt}}x(t)=0

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x (t) = 0}

{\ frac {d} {dt}} x (t) = 0

din care, prin integrare, obținem $x(t)=cost$ ${\ displaystyle x (t) = cost}$ $x (t) = cost$ indiferent de vreme $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , adică sistemul tinde să rămână neschimbat în condițiile descrise la punctul $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Un interes deosebit îl are studiul derivatelor (sau iacobianului ) $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la punctele de echilibru, deoarece oferă diverse informații despre comportamentul local al soluției.

Dacă sistemul dinamic este determinat de o ecuație de recurență :

x_{n+1}=T(x_{n},n)

{\ displaystyle x_ {n + 1} = T (x_ {n}, n)}

x _ {{n + 1}} = T (x_ {n}, n)

atunci un punct de echilibru este un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ că este un punct fix al hărților $T(x_{i},i)$ ${\ displaystyle T (x_ {i}, i)}$ $T (x_ {i}, i)$ , sau astfel încât $T(x_{0},n)=0$ ${\ displaystyle T (x_ {0}, n) = 0}$ $T (x_ {0}, n) = 0$ pentru fiecare n .

Stabilitate

Același subiect în detaliu: stabilitate internă și varietate stabilă .

Punctele de echilibru pot fi clasificate prin liniarizarea ecuației și observarea semnului valorilor proprii ale matricei iacobiene (relativ la sistemul liniarizat) evaluate la punctul de echilibru.

Un punct de echilibru este hiperbolic dacă niciuna dintre valorile proprii nu are vreo parte reală. Dacă toate valorile proprii au o parte reală negativă, punctul de echilibru este stabil , în timp ce dacă cel puțin o valoare proprie are o parte reală pozitivă, echilibrul este instabil . În cele din urmă, dacă există cel puțin o valoare proprie care are o parte reală pozitivă și una care are o parte reală negativă, punctul este un punct de șa .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate din sau despre punctul de echilibru

linkuri externe

Antonio Giorgilli - Echilibru și stabilitate ( PDF ), pe mat.unimi.it .
( RO ) Jason Frank - Puncte de echilibru și puncte fixe ( PDF ), pe staff.science.uu.nl .
( RO ) Norman Lebovitz - Puncte de echilibru ( PDF ), pe people.cs.uchicago.edu .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică