Punct de echilibru hiperbolic

În matematică , în special în studiul sistemelor dinamice , un punct de echilibru hiperbolic sau punct fix hiperbolic al unui sistem dinamic descris de ecuația autonomă :

{\dot {x}}=f(x)

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x)}

{\ dot x} = f (x)

este un punct de echilibru $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât, dacă:

{\dot {u}}=Df(x_{0})u

{\ displaystyle {\ dot {u}} = Df (x_ {0}) u}

{\ dot u} = Df (x_ {0}) u

este liniarizarea sistemului într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , niciuna dintre valorile proprii ale matricei $Df(x_{0})$ ${\ displaystyle Df (x_ {0})}$ $Df (x_ {0})$ nu are nici o parte reală. ^[1]

Este un punct de echilibru care nu are o varietate centrală ; în apropierea ei există o varietate stabilă și o varietate instabilă.

Cuvântul „hiperbolic” se datorează faptului că, în cazul bidimensional, triectoriile apropiate de punctul hiperbolic se află pe secțiuni de hiperbolă centrate în acel punct în raport cu un sistem de referință adecvat. Uneori, pentru a obține acest cadru de referință, trebuie să parcurgeți o rotație în spațiul imaginar.

Trajectorii în apropierea unui punct de echilibru hiperbolic pentru un flux bidimensional

Descriere

Este $F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ un câmp vector de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ cu un punct de echilibru (numit și punct critic) $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , sau un punct astfel încât:

F(p)=0

{\ displaystyle F (p) = 0}

F (p) = 0

Este $J_{F}(p)$ ${\ displaystyle J_ {F} (p)}$ $J_ {F} (p)$ matricea iacobiană a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ până la punctul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . De sine $J_{F}(p)$ ${\ displaystyle J_ {F} (p)}$ $J_ {F} (p)$ atunci nu are valori proprii cu zero parte reală, atunci $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este hiperbolic. ^[2]

O solutie $\phi _{t}(x_{0})$ ${\ displaystyle \ phi _ {t} (x_ {0})}$ $\ phi _ {t} (x_ {0})$ ecuaţie ${\dot {x}}=f(x)$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x)}$ ${\ dot x} = f (x)$ care definește sistemul (în general neliniar), cu $f\in C^{1}$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {1}}$ $f \ în C ^ {1}$ , este evoluția sistemului pornind de la punctul de plecare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Acesta este fluxul sistemului, a cărui imagine este orbita pentru $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Teorema Hartman-Grobman afirmă că un sistem dinamic într-un vecinătate a unui punct de echilibru hiperbolic este conjugat topologic cu traiectoriile sistemului dinamic liniarizat. Cu alte cuvinte, dacă originea este un punct de echilibru hiperbolic, atunci există un homeomorfism $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ că într-un cartier de origine mapează orbitele sistemului neliniar cu cele ale sistemului liniar menținând în același timp parametrizarea temporală:

H\circ \phi _{t}(x_{0})=e^{At}H(x_{0})

{\ displaystyle H \ circ \ phi _ {t} (x_ {0}) = e ^ {At} H (x_ {0})}

H \ circ \ phi _ {t} (x_ {0}) = e ^ {{At}} H (x_ {0})

Exemplu

Luați în considerare următorul sistem neliniar:

{\frac {dx}{dt}}=y

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = y}

{\ frac {dx} {dt}} = y

{\frac {dy}{dt}}=-x-x^{3}-\alpha y\qquad \alpha \neq 0

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = - xx ^ {3} - \ alpha y \ qquad \ alpha \ neq 0}

{\ frac {dy} {dt}} = - x-x ^ {3} - \ alpha y \ qquad \ alpha \ neq 0

Ideea $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ este singurul punct de echilibru. Liniarizarea echilibrului este:

J(0,0)={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\alpha \end{pmatrix}}

{\ displaystyle J (0,0) = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & - \ alpha \ end {pmatrix}}}

J (0,0) = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & - \ alpha \ end {pmatrix}}

Valorile proprii ale matricei sunt:

\lambda _{1,2}={\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}

{\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = {\ frac {- \ alpha \ pm {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -4}}} {2}}}

\ lambda _ {{1,2}} = {\ frac {- \ alpha \ pm {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -4}}} {2}}

și nu au nicio parte reală pentru nimic $\alpha \neq 0$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$ $\ alpha \ neq 0$ . Prin urmare, este un punct de echilibru hiperbolic; în acest fel sistemul liniarizat va avea același comportament ca sistemul neliniar din vecinătatea $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ . Cand $\alpha =0$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alfa = 0$ , sistemul va avea un punct de echilibru nehiperbolic în $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ .

Notă

^ WS Koon - Introducere în ecuații autonome
^ Ralph Abraham și Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin / Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Bibliografie

(EN) Edward Ott, Haos în sisteme dinamice, Cambridge University Press, 1994.
( EN ) Ralph Abraham și Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin / Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Elemente conexe

linkuri externe

Scholarpedia editat de Eugene M. Izhikevich.

Portal de verificări automate

Portalul de matematică

[1] WS Koon - Introducere în ecuații autonome

[2] Ralph Abraham și Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin / Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

[1]

[2]