Teorema Hartman-Grobman

În matematică , în special în studiul sistemelor dinamice , teorema Hartman-Grobman sau teorema liniarizării este o teoremă importantă care descrie comportamentul unui sistem dinamic în vecinătatea unui punct de echilibru hiperbolic .

Practic teorema afirmă că comportamentul unui sistem dinamic lângă un punct de echilibru hiperbolic este similar calitativ cu cel al liniarizării sale în jurul acelui punct. Prin urmare, folosind liniarizarea sa, unele dintre caracteristicile sale pot fi studiate mai ușor.

Teorema

Este $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ o funcție lină cu un punct de echilibru hiperbolic $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , adică astfel încât $f(p)=0$ ${\ displaystyle f (p) = 0}$ ${\ displaystyle f (p) = 0}$ și astfel încât nici o valoare proprie a matricei iacobiene $A=[\partial f_{i}/\partial x_{j}]$ ${\ displaystyle A = [\ partial f_ {i} / \ partial x_ {j}]}$ ${\ displaystyle A = [\ partial f_ {i} / \ partial x_ {j}]}$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ până la punctul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ are o parte reală egală cu 0. Atunci există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și un homeomorfism $h:U\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle h: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle h: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ astfel încât $h(p)=0,$ ${\ displaystyle h (p) = 0,}$ ${\ displaystyle h (p) = 0,}$ și astfel încât în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ fluxul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este conjugat topologic prin $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ la fluxul liniarizării sale $U'=AU$ ${\ displaystyle U '= AU}$ ${\ displaystyle U '= AU}$ . ^[1] ^[2] ^[3]

În general, chiar dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ homeomorfismul este infinit diferențiat $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ nu trebuie neapărat să fie o funcție Lipschitz netedă sau chiar locală. Cu toate acestea, trebuie să satisfacă condiția Hölder , cu un exponent care depinde de constanta de hiperbolicitate a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Exemplu

Luați în considerare un sistem bidimensional în variabile $u=(y,z)$ ${\ displaystyle u = (y, z)}$ ${\ displaystyle u = (y, z)}$ care evoluează conform legii date a ecuațiilor:

dy/dt=-3y+yz

{\ displaystyle dy / dt = -3y + yz}

{\ displaystyle dy / dt = -3y + yz}

dz/dt=z+y^{2}

{\ displaystyle dz / dt = z + y ^ {2}}

{\ displaystyle dz / dt = z + y ^ {2}}

Există un punct de echilibru în origine; în apropierea ei transformarea dată de:

y\approx Y+YZ+{\dfrac {1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}

{\ displaystyle y \ approx Y + YZ + {\ dfrac {1} {42}} Y ^ {3} + {\ dfrac {1} {2}} YZ ^ {2}}

{\ displaystyle y \ approx Y + YZ + {\ dfrac {1} {42}} Y ^ {3} + {\ dfrac {1} {2}} YZ ^ {2}}

z\approx Z-{\dfrac {1}{7}}Y^{2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z

{\ displaystyle z \ approx Z - {\ dfrac {1} {7}} Y ^ {2} - {\ dfrac {1} {3}} Y ^ {2} Z}

{\ displaystyle z \ approx Z - {\ dfrac {1} {7}} Y ^ {2} - {\ dfrac {1} {3}} Y ^ {2} Z}

este o funcție lină între coordonatele de pornire $u=(y,z)$ ${\ displaystyle u = (y, z)}$ ${\ displaystyle u = (y, z)}$ iar cele noi $U=(Y,Z)$ ${\ displaystyle U = (Y, Z)}$ ${\ displaystyle U = (Y, Z)}$ . În noile coordonate, sistemul se transformă în liniarizarea sa:

dY/dt=-3Y\qquad dZ/dt=Z

{\ displaystyle dY / dt = -3Y \ qquad dZ / dt = Z}

{\ displaystyle dY / dt = -3Y \ qquad dZ / dt = Z}

Notă

^ DM Grobman, О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений [ Homeomorfisme ale sistemelor de ecuații diferențiale ], în Doklady Akademii Nauk SSSR , vol. 128, 1959, pp. 880-881.
^ Philip Hartman, O lemă în teoria stabilității structurale a ecuațiilor diferențiale , în Proc. AMS , vol. 11, n. 4, august 1960, pp. 610–620, DOI : 10.2307 / 2034720 . Adus la 28 mai 2010 .
^ Philip Hartman, Despre homeomorfismele locale ale spațiilor euclidiene , în Bol. Soc. Math. Mexicana , vol. 5, 1960, pp. 220–241.

Bibliografie

( EN ) Gerald Teschl, Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice , Providence , American Mathematical Society , 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .
( EN ) E. Coayla-Teran, Mohammed, S. și Ruffino, P., Teoreme Hartman - Grobman de-a lungul Trajectoriilor staționare hiperbolice ( PDF ), în Sisteme dinamice discrete și continue , vol. 17, n. 2, februarie 2007, pp. 281–292, DOI : 10.3934 / dcds.2007.17.281 . Adus pe 9 martie 2007 (arhivat din original la 24 iulie 2007) .

Elemente conexe

Portal de verificări automate

Portalul de matematică

[1] DM Grobman, О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений [ Homeomorfisme ale sistemelor de ecuații diferențiale ], în Doklady Akademii Nauk SSSR , vol. 128, 1959, pp. 880-881.

[2] Philip Hartman, O lemă în teoria stabilității structurale a ecuațiilor diferențiale , în Proc. AMS , vol. 11, n. 4, august 1960, pp. 610–620, DOI : 10.2307 / 2034720 . Adus la 28 mai 2010 .

[3] Philip Hartman, Despre homeomorfismele locale ale spațiilor euclidiene , în Bol. Soc. Math. Mexicana , vol. 5, 1960, pp. 220–241.

[1]

[2]

[3]