Figura Lissajous

Figura Lissajous pe un osciloscop

Figura Lissajous în trei dimensiuni

În matematică și fizică , prin cifra Lissajous ne referim la graficul unei curbe dat de sistemul de ecuații parametrice

x=A_{x}\sin(\omega _{x}t+\phi _{x}),\quad y=A_{y}\sin(\omega _{y}t+\phi _{y}),

{\ displaystyle x = A_ {x} \ sin (\ omega _ {x} t + \ phi _ {x}), \ quad y = A_ {y} \ sin (\ omega _ {y} t + \ phi _ {y}),}

{\ displaystyle x = A_ {x} \ sin (\ omega _ {x} t + \ phi _ {x}), \ quad y = A_ {y} \ sin (\ omega _ {y} t + \ phi _ {y}),}

unde este $A_{x}$ ${\ displaystyle A_ {x}}$ ${\ displaystyle A_ {x}}$ Și $A_{y}$ ${\ displaystyle A_ {y}}$ ${\ displaystyle A_ {y}}$ sunt amplitudinile, $\omega _{x}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x}}$ Și $\omega _{y}$ ${\ displaystyle \ omega _ {y}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {y}}$ sunt pulsațiile și $\phi _{x}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x}}$ $\ phi _ {x}$ Și $\phi _{y}$ ${\ displaystyle \ phi _ {y}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {y}}$ sunt fazele a două mișcări oscilatorii ortogonale.

Aceste curbe au fost studiate în detaliu de către fizicianul Jules Antoine Lissajous ( 1822 - 1880 ). Anterior, în anul 1815 , acestea fuseseră subiectul studiului astronomului american Nathaniel Bowditch ( 1773 - 1838 ), motiv pentru care sunt numite și figuri Bowditch .

Aspectul acestor figuri este foarte sensibil la relație ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {x}} {\ omega _ {y}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {x}} {\ omega _ {y}}}}$ între cele două pulsații.

În special, atunci când acest raport este egal cu unul, figura se dovedește a fi, în general, o elipsă , care devine o circumferință dacă este, de asemenea, $A_{x}=A_{y}$ ${\ displaystyle A_ {x} = A_ {y}}$ ${\ displaystyle A_ {x} = A_ {y}}$ , $\phi _{x}=-{\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = - {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = - {\ frac {\ pi} {2}}}$ Și $\phi _{y}=0$ ${\ displaystyle \ phi _ {y} = 0}$ ${\ displaystyle \ phi _ {y} = 0}$ (mișcări oscilatorii între ele în cuadratură), sau degenerează într-un segment dacă este și el $\phi _{x}=0$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = 0}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = 0}$ , $\phi _{y}=0$ ${\ displaystyle \ phi _ {y} = 0}$ ${\ displaystyle \ phi _ {y} = 0}$ (mișcări oscilatorii între ele în fază). O altă figură simplă a lui Lissajous este parabola , care se obține atunci când ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}=2$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {x}} {\ omega _ {y}}} = 2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {x}} {\ omega _ {y}}} = 2}$ Și $\phi _{x}=0$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = 0}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = 0}$ , $\phi _{y}=0$ ${\ displaystyle \ phi _ {y} = 0}$ ${\ displaystyle \ phi _ {y} = 0}$ . Alte rapoarte produc curbe mai complicate, care sunt închise numai dacă relația ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {x}} {\ omega _ {y}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {x}} {\ omega _ {y}}}}$ este rațional. Forma acestor curbe seamănă adesea cu un nod tridimensional și, într-adevăr, multe tipuri de noduri, atunci când sunt proiectate pe un plan, devin figuri Lissajous.

Iată câteva exemple de figuri Lissajous cu $\phi _{x}={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = {\ frac {\ pi} {2}}}$ Și $\phi _{y}=0$ ${\ displaystyle \ phi _ {y} = 0}$ ${\ displaystyle \ phi _ {y} = 0}$ .

$\omega _{x}=1,\omega _{y}=2$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 1, \ omega _ {y} = 2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 1, \ omega _ {y} = 2}$
$\omega _{x}=3,\omega _{y}=2$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 3, \ omega _ {y} = 2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 3, \ omega _ {y} = 2}$
$\omega _{x}=3,\omega _{y}=4$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 3, \ omega _ {y} = 4}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 3, \ omega _ {y} = 4}$
$\omega _{x}=5,\omega _{y}=4$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 5, \ omega _ {y} = 4}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 5, \ omega _ {y} = 4}$
$\omega _{x}=5,\omega _{y}=6$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 5, \ omega _ {y} = 6}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 5, \ omega _ {y} = 6}$
$\omega _{x}=9,\omega _{y}=8$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 9, \ omega _ {y} = 8}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} = 9, \ omega _ {y} = 8}$