Filtrare (matematică)

În probabilitatea teorie filtrare o, sau pe bază de stocastic, pe un spațiu $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ este o familie în creștere ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in I}}$ de subtriburi ale ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , cu $I\subseteq \mathbb {R_{+}}$ ${\ displaystyle I \ subseteq \ mathbb {R _ {+}}}$ ${\ displaystyle I \ subseteq \ mathbb {R _ {+}}}$ . Intuitiv fiecare ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ reprezintă informații disponibile instantaneu $t\in I$ ${\ displaystyle t \ in I}$ $t \ in I$ , adică toate evenimentele pentru care se poate ști că au avut loc sau nu.

Tipuri de filtrare

Filtrare completă

Se spune că o filtrare este completă dacă și numai dacă aparține unui spațiu de probabilitate complet și pentru fiecare $t\in I$ ${\ displaystyle t \ in I}$ $t \ in I$ Acolo $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -algebră ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ conține toate evenimentele din ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ de probabilitate zero. Deoarece spațiul de probabilitate este complet, subseturile evenimentelor de probabilitate zero sunt la rândul lor evenimente conținute în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ .

Filtrare continuă spre dreapta

Se spune că o filtrare continuă spre dreapta dacă și numai dacă $\forall {t\in I},{\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}$ ${\ displaystyle \ forall {t \ in I}, {\ mathcal {F}} _ {t} = {\ mathcal {F}} _ {t +}}$ ${\ displaystyle \ forall {t \ in I}, {\ mathcal {F}} _ {t} = {\ mathcal {F}} _ {t +}}$ , cu ${\mathcal {F}}_{t+}=\bigcap _{u>t}^{\sup {I}}{\mathcal {F_{u}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t +} = \ bigcap _ {u> t} ^ {\ sup {I}} {\ mathcal {F_ {u}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t +} = \ bigcap _ {u> t} ^ {\ sup {I}} {\ mathcal {F_ {u}}}}$ . Pe baza definiției se poate vedea intuitiv că într-o filtrare continuă spre dreapta $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -algebră ${\mathcal {F}}_{t+}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t +}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t +}}$ conține toate evenimentele despre care este posibil să se cunoască verificabilitatea sau nu în următoarele momente de timp.

Filtrarea standard a ipotezelor

Se spune că o filtrare îndeplinește ipotezele standard dacă și numai dacă este completă și continuă corect.

Spațiul de probabilitate a fost filtrat

Un spațiu de probabilitate $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ echipat cu o filtrare ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in I}}$ se numește spațiu de probabilitate filtrat sau spațiu filtrat și este notat de cvadruplu $(\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in I}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in I}, P)}$ . În cazul în care spațiul de probabilitate este echipat cu o filtrare care satisface ipotezele standard, se numește spațiu filtrat standard.

Proces stocastic adaptat la o filtrare

Un proces stochastic $(X_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ se spune că este adaptat la filtrare ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in I}}$ de sine $\forall t\in I,X_{t}$ ${\ displaystyle \ forall t \ in I, X_ {t}}$ ${\ displaystyle \ forall t \ in I, X_ {t}}$ este măsurabilă în raport cu ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ . Deci pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ aparținând setului de valori $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ variabila aleatorie $X_{t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ $X_t$ trebuie să fie măsurabile în raport cu ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ . În acest caz se mai spune că $X_{t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ $X_t$ Și ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ -măsurabil, adică variabila aleatorie $X_{t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ $X_t$ este definit pe spațiu $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, P)}$ cu valori pe spațiul de sosire măsurabil $(E,{\mathcal {E}})$ ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$ ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$ , sau $X_{t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ $X_t$ este o aplicație astfel încât $X_{t}:(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t})\longrightarrow (E,{\mathcal {E}})$ ${\ displaystyle X_ {t}: (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}) \ longrightarrow (E, {\ mathcal {E}})}$ ${\ displaystyle X_ {t}: (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}) \ longrightarrow (E, {\ mathcal {E}})}$ . Acest lucru garantează că pentru fiecare valoare $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ din $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ apartinand filtrarii ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ , variabila aleatorie $X_{t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ $X_t$ , care ia ca argument $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , este definit în setul de valori date de ${\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ $\ mathcal {E}$ . Astfel, se obține următoarea definiție: $\{\omega \in {\mathcal {F_{t}}}:X_{t}(\omega )\in S\},\forall S\in {\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle \ {\ omega \ in {\ mathcal {F_ {t}}}: X_ {t} (\ omega) \ in S \}, \ forall S \ in {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle \ {\ omega \ in {\ mathcal {F_ {t}}}: X_ {t} (\ omega) \ in S \}, \ forall S \ in {\ mathcal {E}}}$ .

Filtrare naturală

Filtrare naturală asociată unui proces stocastic $(X_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ este definit ca ${\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma (X_{s}:s\leqslant t)\forall {t\in I}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} ^ {X} = \ sigma (X_ {s}: s \ leqslant t) \ forall {t \ in I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} ^ {X} = \ sigma (X_ {s}: s \ leqslant t) \ forall {t \ in I}}$ și este cea mai mică filtrare care produce $(X_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ adaptat, ca $\sigma (X_{s}:s\leqslant t)$ ${\ displaystyle \ sigma (X_ {s}: s \ leqslant t)}$ ${\ displaystyle \ sigma (X_ {s}: s \ leqslant t)}$ este cel mai mic trib (sau $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -algebra) generată de $(X_{s})_{s\leqslant t}$ ${\ displaystyle (X_ {s}) _ {s \ leqslant t}}$ ${\ displaystyle (X_ {s}) _ {s \ leqslant t}}$ . Filtrarea naturală conține istoria procesului $(X_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ până în clipa aceea $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Proces stocastic previzibil

Prin plasare $I=\mathbb {N}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ , un proces stochastic $(V_{n})_{n\geqslant 1}$ ${\ displaystyle (V_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}$ ${\ displaystyle (V_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}$ se spune că este previzibil în ceea ce privește filtrarea ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geqslant 0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geqslant 0}}$ dacă și numai dacă pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mai mare sau egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , variabila aleatorie $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ este măsurabilă în raport cu ${\mathcal {F}}_{n-1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n-1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n-1}}$ .

Portalul de matematică

Portalul de statistici