Filtru adaptat

În telecomunicații, un filtru potrivit sau un filtru optim (cunoscut inițial ca filtru Nord ^[1] ) este obținut prin corelarea unui semnal cunoscut cu un semnal necunoscut pentru a dezvălui prezența unui marker în semnalul necunoscut. Acest lucru este echivalent cu efectuarea operației de convoluție între semnalul necunoscut și o versiune inversată în timp a semnalului cunoscut. Filtrul potrivit este filtrul liniar optim pentru maximizarea raportului semnal / zgomot (SNR) în prezența zgomotului stocastic aditiv. Filtrele potrivite sunt utilizate în mod obișnuit în radar , unde este transmis un semnal cunoscut, iar semnalul reflectat este examinat pentru similitudini cu semnalul transmis. Alte aplicații ale filtrului potrivit se găsesc în procesarea digitală a imaginilor , de exemplu pentru a crește raportul SNR în fotografiile cu raze X.

Derivarea filtrului adaptată în cazul AWGN

Luați în considerare un model de canal Gaussian

\ r(t)=\ x(t)+w(t)

{\ displaystyle \ r (t) = \ x (t) + w (t)}

\ r (t) = \ x (t) + w (t)

unde x (t) reprezintă semnalul informațional în timp ce w (t) este un proces Gauss alb. Vrem să căutăm filtrul h (t) în recepție care maximizează raportul dintre puterea semnalului și puterea de zgomot (SNR) în aval de eșantion. Prin urmare, va fi necesar să se găsească valoarea optimă a momentului de eșantionare.

\ c(t)=\ r(t)*h(t)=\ x(t)*h(t)+w(t)*h(t)=\ y(t)+n(t)

{\ displaystyle \ c (t) = \ r (t) * h (t) = \ x (t) * h (t) + w (t) * h (t) = \ y (t) + n (t )}}

\ c (t) = \ r (t) * h (t) = \ x (t) * h (t) + w (t) * h (t) = \ y (t) + n (t)

unde simbolul „*” indică produsul convoluției . Prin urmare, trebuie să derivăm expresia filtrului $\ H(f)$ ${\ displaystyle \ H (f)}$ $\ H (f)$ maximizarea SNR.

$SNR={\frac {|y(\tau )|^{2}}{E[|n(\tau )|^{2}]}}={\frac {|\int _{-\infty }^{\infty }{X(f)\cdot H(f)e^{j2\pi f\tau }df}|^{2}}{\int _{-\infty }^{\infty }{W(f)|H(f)|^{2}df}}}={\frac {|\int _{-\infty }^{\infty }{X(f)\cdot H(f)e^{j2\pi f\tau }df}|^{2}}{\sigma _{n}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }{|H(f)|^{2}df}}}$ ${\ displaystyle SNR = {\ frac {| y (\ tau) | ^ {2}} {E [| n (\ tau) | ^ {2}]}} = {\ frac {| \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {X (f) \ cdot H (f) e ^ {j2 \ pi f \ tau} df} | ^ {2}} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {W (f) | H (f) | ^ {2} df}}} = {\ frac {| \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {X (f) \ cdot H (f) și ^ {j2 \ pi f \ tau} df} | ^ {2}} {\ sigma _ {n} ^ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {| H (f) | ^ { 2} df}}}}$ $SNR = {\ frac {| y (\ tau) | ^ {2}} {E [| n (\ tau) | ^ {2}]}} = {\ frac {| \ int _ {{- \ infty} } ^ {{\ infty}} {X (f) \ cdot H (f) e ^ {{j2 \ pi f \ tau}} df} | ^ {2}} {\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {W (f) | H (f) | ^ {2} df}}} = {\ frac {| \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} { X (f) \ cdot H (f) e ^ {{j2 \ pi f \ tau}} df} | ^ {2}} {\ sigma _ {n} ^ {2} \ int _ {{- \ infty} } ^ {{\ infty}} {| H (f) | ^ {2} df}}}$

Ultimul pas este justificat de ipoteza zgomotului alb, adică $W(f)=\sigma _{n}^{2}$ ${\ displaystyle W (f) = \ sigma _ {n} ^ {2}}$ $W (f) = \ sigma _ {n} ^ {2}$ prin urmare $\ R(t)=\ \delta (t)$ ${\ displaystyle \ R (t) = \ \ delta (t)}$ $\ R (t) = \ \ delta (t)$ .

Folosind inegalitatea Schwartz putem obține limita superioară a acestui raport:

${\frac {|\int _{-\infty }^{\infty }{X(f)\cdot H(f)e^{j2\pi f\tau }df}|^{2}}{\sigma _{n}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }{|H(f)|^{2}df}}}\leq {\frac {\int _{-\infty }^{\infty }|{X(f)|^{2}df}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }|{H(f)|^{2}df}}{\sigma _{n}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }{|H(f)|^{2}df}}}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }|{X(f)|^{2}df}}{\sigma _{n}^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {| \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {X (f) \ cdot H (f) e ^ {j2 \ pi f \ tau} df} | ^ {2}} {\ sigma _ {n} ^ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {| H (f) | ^ {2} df}}} \ leq {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {X (f) | ^ {2} df} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {H (f) | ^ {2} df}} {\ sigma _ {n} ^ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {| H (f) | ^ {2} df}}} = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {X (f) | ^ {2} df}} {\ sigma _ {n} ^ {2}}}}$ ${\ frac {| \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {X (f) \ cdot H (f) e ^ {{j2 \ pi f \ tau}} df} | ^ { 2}} {\ sigma _ {n} ^ {2} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {| H (f) | ^ {2} df}}} \ leq {\ frac {\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} | {X (f) | ^ {2} df} \ cdot \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty} } | {H (f) | ^ {2} df}} {\ sigma _ {n} ^ {2} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {| H (f) | ^ {2} df}}} = {\ frac {\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} | {X (f) | ^ {2} df}} {\ sigma _ {n } ^ {2}}}$

Filtrul potrivit trebuie să maximizeze raportul semnal / zgomot, astfel încât să ne permită să scriem inegalitatea Schwartz ca o egalitate.

\ H(\omega )=\ X(\omega )^{*}e^{-j2\pi f\tau }

{\ displaystyle \ H (\ omega) = \ X (\ omega) ^ {*} e ^ {- j2 \ pi f \ tau}}

\ H (\ omega) = \ X (\ omega) ^ {*} e ^ {{- j2 \ pi f \ tau}}

sau anti-transformare:

h(t):={\mathcal {F}}^{-1}\{H(\omega )\}=x^{*}(\tau -t)

{\ displaystyle h (t): = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {H (\ omega) \} = x ^ {*} (\ tau -t)}

h (t): = {\ mathcal {F}} ^ {{- 1}} \ {H (\ omega) \} = x ^ {*} (\ tau -t)

Valoarea a $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este folosit pentru a indica momentul în care există SNR maxim. De exemplu, dacă x (t) = rect (t) se va pune $\tau =0$ ${\ displaystyle \ tau = 0}$ $\ tau = 0$ în timp ce pentru $x(t)=$ ${\ displaystyle x (t) =}$ $x (t) =$ rect (t-1) va trebui să întrebăm $\tau =1$ ${\ displaystyle \ tau = 1}$ $\ tau = 1$ . Un alt factor care trebuie luat în considerare într-o transmisie de date este interferența intersimbolică (ISI) și în acest caz semnalul de date transmis trebuie să aibă un impuls de formare p (t) având o expresie în frecvență:

$P(f):=+{\sqrt {H_{RC}(f)}}$ ${\ displaystyle P (f): = + {\ sqrt {H_ {RC} (f)}}}$ $P (f): = + {\ sqrt {H _ {{RC}} (f)}}$

unde este $H_{RC}(f)$ ${\ displaystyle H_ {RC} (f)}$ $H _ {{RC}} (f)$ este o funcție de transfer relativă la o caracteristică a cosinusului ridicat Nyquist ; și, evident, un filtru cu un răspuns de impuls va fi utilizat la recepție $h_{R}(t)=p^{*}(\tau -t)$ ${\ displaystyle h_ {R} (t) = p ^ {*} (\ tau -t)}$ $h_ {R} (t) = p ^ {*} (\ tau -t)$ . În aceste condiții, ambele cerințe sunt îndeplinite (transmisie fără ISI și SNR maxim pe simbol). În acest caz, SNR este:

$SNR(max)={\frac {2E_{p}}{{\mathcal {N}}_{0}}}$ ${\ displaystyle SNR (max) = {\ frac {2E_ {p}} {{\ mathcal {N}} _ {0}}}}$ $SNR (max) = {\ frac {2E_ {p}} {{\ mathcal {N}} _ {0}}}$

cu ${\mathcal {N}}_{0}/2$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {0} / 2}$ ${\ mathcal {N}} _ {0} / 2$ sprectrum bilateral de densitate de putere de n (t).

Derivarea filtrului adaptat în cazul mai general al zgomotului stocastic aditiv

Dacă zgomotul nu este un proces alb, este posibil să reveniți la cazul anterior, plasând un filtru de albire a zgomotului la intrarea filtrului adaptat. Luați în considerare un caz destul de similar cu cel precedent $r(t)=x(t)+n(t)$ ${\ displaystyle r (t) = x (t) + n (t)}$ $r (t) = x (t) + n (t)$ Unde zgomotul $n(t)$ ${\ displaystyle n (t)}$ $n (t)$ are o densitate spectrală $\sigma _{n}^{2}\cdot N(f)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {n} ^ {2} \ cdot N (f)}$ $\ sigma _ {n} ^ {2} \ cdot N (f)$ Acum efectuați o filtrare a $r(t)$ ${\ displaystyle r (t)}$ $r (t)$ printr-un filtru cu funcție de transfer $G(f)={\frac {1}{\sqrt {N(f)}}}$ ${\ displaystyle G (f) = {\ frac {1} {\ sqrt {N (f)}}}}$ $G (f) = {\ frac {1} {{\ sqrt {N (f)}}}}$ a obtine $z(t)=y(t)+w(t)=x(t)*g(t)+n(t)*g(t)$ ${\ displaystyle z (t) = y (t) + w (t) = x (t) * g (t) + n (t) * g (t)}$ $z (t) = y (t) + w (t) = x (t) * g (t) + n (t) * g (t)$ . Puteți vedea cu ușurință că zgomotul este acum alb, de fapt, dacă evaluăm densitatea spectrală a puterii $w(t)$ ${\ displaystyle w (t)}$ $w (t)$

$W(f)=\sigma _{n}^{2}N(f)\cdot |G(f)|^{2}=\sigma _{n}^{2}$ ${\ displaystyle W (f) = \ sigma _ {n} ^ {2} N (f) \ cdot | G (f) | ^ {2} = \ sigma _ {n} ^ {2}}$ $W (f) = \ sigma _ {n} ^ {2} N (f) \ cdot | G (f) | ^ {2} = \ sigma _ {n} ^ {2}$

Prin urmare, putem reveni la cazul precedent realizând un filtru adaptat la y (t).

${\tilde {H}}(f)=Y(f)^{*}e^{j2\pi f\tau }=G(f)^{*}Y(f)^{*}e^{j2\pi f\tau }$ ${\ displaystyle {\ tilde {H}} (f) = Y (f) ^ {*} e ^ {j2 \ pi f \ tau} = G (f) ^ {*} Y (f) ^ {*} e ^ {j2 \ pi f \ tau}}$ ${\ tilde {H}} (f) = Y (f) ^ {*} e ^ {{j2 \ pi f \ tau}} = G (f) ^ {*} Y (f) ^ {*} e ^ {{j2 \ pi f \ tau}}$

Ținând cont și de filtrul de albire se obține

$H(f)=G(f)\cdot {\tilde {H(f)}}=|G(f)|^{2}\cdot {X(f)^{*}}e^{j2\pi f\tau }={\frac {{X(f)^{*}}e^{j2\pi f\tau }}{N(f)}}$ ${\ displaystyle H (f) = G (f) \ cdot {\ tilde {H (f)}} = | G (f) | ^ {2} \ cdot {X (f) ^ {*}} e ^ { j2 \ pi f \ tau} = {\ frac {{X (f) ^ {*}} e ^ {j2 \ pi f \ tau}} {N (f)}}}$ $H (f) = G (f) \ cdot {\ tilde {H (f)}} = | G (f) | ^ {2} \ cdot {X (f) ^ {*}} e ^ {{j2 \ pi f \ tau}} = {\ frac {{X (f) ^ {*}} e ^ {{j2 \ pi f \ tau}}} {N (f)}}$

În formule, este echivalent cu maximizarea ${\frac {|x(\tau )|^{2}}{E[|n(\tau )|^{2}]}}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }{|X(f)|^{2}|H(f)|^{2}e^{jft}df}}{\int _{-\infty }^{\infty }{N(f)|H(f)|^{2}df}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {| x (\ tau) | ^ {2}} {E [| n (\ tau) | ^ {2}]}} = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {| X (f) | ^ {2} | H (f) | ^ {2} e ^ {jft} df}} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {N ( f) | H (f) | ^ {2} df}}}}$ ${\ frac {| x (\ tau) | ^ {2}} {E [| n (\ tau) | ^ {2}]}} = {\ frac {\ int _ {{- \ infty}} ^ { {\ infty}} {| X (f) | ^ {2} | H (f) | ^ {2} e ^ {{jft}} df}} {\ int _ {{- \ infty}} ^ {{ \ infty}} {N (f) | H (f) | ^ {2} df}}}$

Folosind inegalitatea Schwartz , înmulțind și împărțind integrandul din numărător la $N(f)$ ${\ displaystyle N (f)}$ $N (f)$ este posibil să se estimeze limita superioară a acestui raport:

${\frac {|x(\tau )|^{2}}{E[|n(\tau )|^{2}]}}<{\frac {1}{\int _{-\infty }^{\infty }{N(f)|H(f)|^{2}df}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{{\frac {|X(f)|^{2}}{N(f)}}df}\int _{-\infty }^{\infty }{N(f)|H(f)|^{2}d\omega }=\qquad \int _{-\infty }^{\infty }{{\frac {|X(f)|^{2}}{N(f)}}df}$ ${\ displaystyle {\ frac {| x (\ tau) | ^ {2}} {E [| n (\ tau) | ^ {2}]}} <{\ frac {1} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {N (f) | H (f) | ^ {2} df}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {{\ frac {| X (f ) | ^ {2}} {N (f)}} df} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {N (f) | H (f) | ^ {2} d \ omega} = \ qquad \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {{\ frac {| X (f) | ^ {2}} {N (f)}} df}}$ ${\ frac {| x (\ tau) | ^ {2}} {E [| n (\ tau) | ^ {2}]}} <{\ frac {1} {\ int _ {{- \ infty} } ^ {{\ infty}} {N (f) | H (f) | ^ {2} df}}} \ cdot \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {{\ frac {| X (f) | ^ {2}} {N (f)}} df} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {N (f) | H (f) | ^ {2} d \ omega} = \ qquad \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {{\ frac {| X (f) | ^ {2}} {N (f)}} df}$

Din ecuația de mai sus se poate observa cum raportul semnal-zgomot are o limită superioară independentă de $H(f)$ ${\ displaystyle H (f)}$ $H (f)$ .

Pentru a obține o expresie pentru filtrul optim, va fi suficient în acest moment să se găsească funcția de transfer H, astfel încât ecuația să se reducă la o egalitate. Primim: $H(f)=K\cdot {\frac {X(f)^{*}}{N(f)}}e^{-jft}$ ${\ displaystyle H (f) = K \ cdot {\ frac {X (f) ^ {*}} {N (f)}} e ^ {- jft}}$ $H (f) = K \ cdot {\ frac {X (f) ^ {*}} {N (f)}} e ^ {{- jft}}$

unde K este o constantă.

Din aceste considerații reiese că pentru a obține semnalul filtrat $c_{OF}(t)$ ${\ displaystyle c_ {OF} (t)}$ $c _ {{OF}} (t)$ va fi suficient să convolți semnalul cu funcția de răspuns $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ a filtrului optim; exploatând proprietățile Transformatei Fourier este suficient să se antitransformeze produsul transformatelor de $c(t)$ ${\ displaystyle c (t)}$ $CT)$ și de $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ , adică

$c_{OF}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{c(\omega )H(\omega )e^{i\omega t}d\omega }$ ${\ displaystyle c_ {OF} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {c (\ omega) H (\ omega) e ^ {i \ omega t} d \ omega}}$ $c _ {{OF}} (t) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {c (\ omega) H (\ omega) e ^ {{i \ omega t}} d \ omega}$

Privind forma $H(\omega )$ ${\ displaystyle H (\ omega)}$ $H (\ omega)$ iar expresia filtrului optim, semnificația fizică a acestui sistem poate fi văzută după cum urmează: reprezintă o medie a semnalului adevărat $c(\omega )$ ${\ displaystyle c (\ omega)}$ $c (\ omega)$ ponderat pe frecvențele de la $N(\omega )$ ${\ displaystyle N (\ omega)}$ $N (\ omega)$ ; la frecvențele în care $N(\omega )$ ${\ displaystyle N (\ omega)}$ $N (\ omega)$ este mai mare, $c(\omega )$ ${\ displaystyle c (\ omega)}$ $c (\ omega)$ este suprimat.

Filtru adaptat la timp discret

Filtrul potrivit este filtrul liniar, $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , care maximizează raportul semnal-zgomot de ieșire.

\ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k].

{\ displaystyle \ y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [nk] x [k].}

\ y [n] = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{\ infty}} h [n-k] x [k].

Expresia filtrului potrivit poate fi obținută prin intermediul argumentelor geometrice: prin corelarea semnalului primit (un vector) cu răspunsul la impuls al filtrului (un alt vector), paralel cu primul, produsul intern este maximizat. Dacă luăm în considerare zgomotul aditiv, trebuie, de asemenea, să reducem la minimum zgomotul rezultat, alegând un răspuns de impuls care este ortogonal față de zgomot.

În mod formal: filtrul trebuie determinat $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , astfel încât raportul semnal-zgomot de ieșire este maximizat, în care ieșirea este produsul intern între răspunsul la impuls al filtrului și semnalul observat $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Acest semnal observat constă în suma semnalului util $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ și semnalul de zgomot $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ :

\ x=s+v.

{\ displaystyle \ x = s + v.}

\ x = s + v.

Prin definirea matricei de covarianță a zgomotului, care are simetrie hermitiană

\ R_{v}=E\{vv^{H}\}

{\ displaystyle \ R_ {v} = E \ {vv ^ {H} \}}

\ R_ {v} = E \ {vv ^ {H} \}

in care $.^{H}$ ${\ displaystyle. ^ {H}}$ $. ^ {H}$ denotă matricea de transpunere conjugată , e $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ denotă valoarea așteptată .

Definim ieșirea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , ca produs intern între filtrul nostru și semnalul observat, astfel încât:

\ y=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h^{*}[k]x[k]=h^{H}x=h^{H}s+h^{H}v=y_{s}+y_{v}.

{\ displaystyle \ y = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h ^ {*} [k] x [k] = h ^ {H} x = h ^ {H} s + h ^ {H} v = y_ {s} + y_ {v}.}

\ y = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{\ infty}} h ^ {*} [k] x [k] = h ^ {H} x = h ^ {H} s + h ^ {H} v = y_ {s} + y_ {v}.

Acum definim raportul semnal-zgomot ca raportul dintre puterea ieșirii datorită semnalului util și puterea ieșirii datorată zgomotului:

\ SNR={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.

{\ displaystyle \ SNR = {\ frac {| y_ {s} | ^ {2}} {E \ {| y_ {v} | ^ {2} \}}}.}

\ SNR = {\ frac {| y_ {s} | ^ {2}} {E \ {| y_ {v} | ^ {2} \}}}.

Care poate fi rescris:

\ SNR={\frac {|h^{H}s|^{2}}{E\{|h^{H}v|^{2}\}}}.

{\ displaystyle \ SNR = {\ frac {| h ^ {H} s | ^ {2}} {E \ {| h ^ {H} v | ^ {2} \}}}.}

\ SNR = {\ frac {| h ^ {H} s | ^ {2}} {E \ {| h ^ {H} v | ^ {2} \}}}.

care este funcția care trebuie maximizată față de $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ . Extindând numitorul, avem:

\ E\{|h^{H}v|^{2}\}=E\{(h^{H}v){(h^{H}v)}^{H}\}=h^{H}E\{vv^{H}\}h=h^{H}R_{v}h.

{\ displaystyle \ E \ {| h ^ {H} v | ^ {2} \} = E \ {(h ^ {H} v) {(h ^ {H} v)} ^ {H} \} = h ^ {H} E \ {vv ^ {H} \} h = h ^ {H} R_ {v} h.}

\ E \ {| h ^ {H} v | ^ {2} \} = E \ {(h ^ {H} v) {(h ^ {H} v)} ^ {H} \} = h ^ { H} E \ {vv ^ {H} \} h = h ^ {H} R_ {v} h.

Acum, $S. Nu. R.$ ${\ displaystyle SNR}$ $SNR$ devine

\ SNR={\frac {|h^{H}s|^{2}}{h^{H}R_{v}h}}.

{\ displaystyle \ SNR = {\ frac {| h ^ {H} s | ^ {2}} {h ^ {H} R_ {v} h}}.}

\ SNR = {\ frac {| h ^ {H} s | ^ {2}} {h ^ {H} R_ {v} h}}.

Explicarea simetriei hermitiene a matricei de covarianță $R_{v}$ ${\ displaystyle R_ {v}}$ $R_ {v}$ , poti sa scrii

\ SNR={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{1/2}h)}},

{\ displaystyle \ SNR = {\ frac {| {(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {- 1/2} s) | ^ {2}} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {1/2} h)}},}

\ SNR = {\ frac {| {(R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{- 1/2}} s) | ^ {2} } {{(R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{1/2}} h)}},

expresie la care trebuie găsită o limită superioară. Pentru a face acest lucru, se recunoaște o formă a inegalității Cauchy-Schwarz :

\ |a^{H}b|^{2}\leq (a^{H}a)(b^{H}b),\,

{\ displaystyle \ | a ^ {H} b | ^ {2} \ leq (a ^ {H} a) (b ^ {H} b), \,}

\ | a ^ {H} b | ^ {2} \ leq (a ^ {H} a) (b ^ {H} b), \,

ceea ce înseamnă că rădăcina produsului intern dintre doi vectori nu este niciodată mai mare decât produsul normelor vectorilor. Acest concept reprezintă intuiția din spatele principiului filtrului adaptat: această limită superioară este atinsă atunci când cei doi vectori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt paralele. Asta duce la:

\ SNR={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{1/2}h)}}\leq {\frac {\left[{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{1/2}h)\right]\left[{(R_{v}^{-1/2}s)}^{H}(R_{v}^{-1/2}s)\right]}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{1/2}h)}}.

{\ displaystyle \ SNR = {\ frac {| {(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {- 1/2} s) | ^ {2}} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {1/2} h)}} \ leq {\ frac {\ left [{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {1/2} h) \ dreapta] \ left [{(R_ {v} ^ {- 1/2} s)} ^ { H} (R_ {v} ^ {- 1/2} s) \ right]} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {1/2 } h)}}.}

\ SNR = {\ frac {| {(R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{- 1/2}} s) | ^ {2} } {{(R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{1/2}} h)}} \ leq {\ frac {\ left [{ (R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{1/2}} h) \ dreapta] \ left [{(R_ {v} ^ {{ -1/2}} s)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{- 1/2}} s) \ right]} {{(R_ {v} ^ {{1/2}} h) } ^ {H} (R_ {v} ^ {{{1/2}} h)}}.

Expresie care poate fi simplificată după cum urmează:

\ SNR={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{1/2}h)}}\leq s^{H}R_{v}^{-1}s.

{\ displaystyle \ SNR = {\ frac {| {(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {- 1/2} s) | ^ {2}} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {1/2} h)}} \ leq s ^ {H} R_ {v} ^ {- 1 } s.}

\ SNR = {\ frac {| {(R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{- 1/2}} s) | ^ {2} } {{(R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{1/2}} h)}} \ leq s ^ {H} R_ {v } ^ {{- 1}} s.

Limita superioară poate fi atinsă alegând,

\ R_{v}^{1/2}h=\alpha R_{v}^{-1/2}s

{\ displaystyle \ R_ {v} ^ {1/2} h = \ alpha R_ {v} ^ {- 1/2} s}

\ R_ {v} ^ {{1/2}} h = \ alpha R_ {v} ^ {{- 1/2}} s

in care $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este un număr real arbitrar. Pentru a verifica acest lucru, luați în considerare pur și simplu expresia pentru $S. Nu. R.$ ${\ displaystyle SNR}$ $SNR$ ieșire:

\ SNR={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{H}(R_{v}^{1/2}h)}}={\frac {\alpha ^{2}|{(R_{v}^{-1/2}s)}^{H}(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{\alpha ^{2}{(R_{v}^{-1/2}s)}^{H}(R_{v}^{-1/2}s)}}={\frac {|s^{H}R_{v}^{-1}s|^{2}}{s^{H}R_{v}^{-1}s}}=s^{H}R_{v}^{-1}s.

{\ displaystyle \ SNR = {\ frac {| {(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {- 1/2} s) | ^ {2}} {{(R_ {v} ^ {1/2} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {1/2} h)}} = {\ frac {\ alpha ^ {2} | {(R_ {v} ^ {- 1/2} s)} ^ {H} (R_ {v} ^ {- 1/2} s) | ^ {2}} {\ alpha ^ {2} {(R_ {v} ^ {- 1/2} s)} ^ {H} (R_ {v} ^ {- 1/2} s)}} = {\ frac {| s ^ {H} R_ {v} ^ {- 1} s | ^ {2}} {s ^ {H} R_ {v} ^ {- 1} s}} = s ^ {H} R_ {v} ^ {- 1} s.}

\ SNR = {\ frac {| {(R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{- 1/2}} s) | ^ {2} } {{(R_ {v} ^ {{1/2}} h)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{1/2}} h)}} = {\ frac {\ alpha ^ {2 } | {(R_ {v} ^ {{- 1/2}} s)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{- 1/2}} s) | ^ {2}} {\ alpha ^ {2} {(R_ {v} ^ {{- 1/2}} s)} ^ {H} (R_ {v} ^ {{- 1/2}} s)}} = {\ frac {| s ^ {H} R_ {v} ^ {{- 1}} s | ^ {2}} {s ^ {H} R_ {v} ^ {{- 1}} s}} = s ^ {H} R_ { v} ^ {{- 1}} s.

Apoi, filtrul montat ia forma:

\ h=\alpha R_{v}^{-1}s.

{\ displaystyle \ h = \ alpha R_ {v} ^ {- 1} s.}

\ h = \ alpha R_ {v} ^ {{- 1}} s.

Adesea se alege pentru a normaliza valoarea așteptată a puterii de ieșire din filtru datorită zgomotului:

\ E\{|y_{v}|^{2}\}=1.

{\ displaystyle \ E \ {| y_ {v} | ^ {2} \} = 1.}

\ E \ {| y_ {v} | ^ {2} \} = 1.

Aceasta implică o anumită valoare pentru $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , pentru a determina care doar rezolva:

\ E\{|y_{v}|^{2}\}=\alpha ^{2}s^{H}R_{v}^{-1}s=1,

{\ displaystyle \ E \ {| y_ {v} | ^ {2} \} = \ alpha ^ {2} s ^ {H} R_ {v} ^ {- 1} s = 1,}

\ E \ {| y_ {v} | ^ {2} \} = \ alpha ^ {2} s ^ {H} R_ {v} ^ {{- 1}} s = 1,

duce la

\ \alpha ={\frac {1}{\sqrt {s^{H}R_{v}^{-1}s}}},

{\ displaystyle \ \ alpha = {\ frac {1} {\ sqrt {s ^ {H} R_ {v} ^ {- 1} s}}},}

\ \ alpha = {\ frac {1} {{\ sqrt {s ^ {H} R_ {v} ^ {{- 1}} s}}}},

oferind expresia filtrului normalizat,

\ h={\frac {1}{\sqrt {s^{H}R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.

{\ displaystyle \ h = {\ frac {1} {\ sqrt {s ^ {H} R_ {v} ^ {- 1} s}}} R_ {v} ^ {- 1} s.}

\ h = {\ frac {1} {{\ sqrt {s ^ {H} R_ {v} ^ {{- 1}} s}}}} R_ {v} ^ {{- 1}} s.

Răspunsul la impuls al filtrului este pur și simplu versiunea complexă conjugată și inversă în timp $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ .

Acest filtru adaptat a fost derivat pentru sisteme de timp discret, dar poate fi extins și la sisteme de timp continuu, înlocuind $R_{v}$ ${\ displaystyle R_ {v}}$ $R_ {v}$ cu funcția de autocorelare continuă în timp a zgomotului, presupunând un semnal $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ , zgomot $v(t)$ ${\ displaystyle v (t)}$ $v (t)$ și un filtru de răspuns la impulsuri $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ .

Exemplu de filtru adaptat în radar și sonar

Filtrele potrivite sunt adesea folosite la detectarea semnalului (vezi Teoria deciziei și a detectării ); de exemplu, dacă doriți să măsurați distanța de la un obiect analizând timpul necesar pentru ca un semnal transmis acestuia să revină. Prin transmiterea unei unde sinusoidale pure, se poate presupune că semnalul primit este o versiune atenuată și întârziată a semnalului transmis cu o componentă de zgomot aditivă.

Pentru a evalua distanța față de obiect, semnalul primit trebuie corelat cu un filtru asortat, care, în cazul zgomotului alb , este un alt sinusoid la aceeași frecvență cu cel transmis. Când ieșirea filtrului potrivit depășește un anumit prag, se poate concluziona cu probabilitate ridicată că semnalul primit a fost reflectat de obiect. Folosind viteza de propagare a undelor electromagnetice și timpul scurs între transmisie și recepție, distanța până la obiect poate fi estimată. Dacă schimbați forma impulsului într-un mod special conceput, raportul semnal-zgomot și rezoluția distanței pot fi îmbunătățite și mai mult - aceasta este tehnica numită compresie de impuls .

Mai mult, filtrele potrivite pot fi utilizate în problemele de estimare a parametrilor (vezi și Teoria estimării ); în exemplul anterior, de fapt, poate fi interesant să se calculeze viteza obiectului, pe baza estimării parametrului de frecvență al semnalului primit și a cunoașterii efectului Doppler . Pentru a face acest lucru este necesar să se coreleze semnalul primit cu multe filtre adaptate la sinusoide cu frecvențe diferite. Filtrul potrivit cu cel mai mare răspuns va detecta cel mai probabil frecvența semnalului reflectat. Tehnica numită indicație de țintă în mișcare se bazează pe acest principiu.

Notă

^ De la DO North, care a introdus prima dată conceptul: North, DO, O analiză a factorilor care determină discriminarea semnal / zgomot în sistemele purtătoare pulsate , în RCA Labs., Princeton, NJ, Rep. PTR-6C , 1943.

Bibliografie

Melvin, Willian L. „O prezentare STAP”. IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine 19 (1) (ianuarie 2004): 19-35.
Torino, George L. „O introducere la filtrele potrivite”. Tranzacții IRE privind teoria informației 6 (3) (iunie 1960): 311-329.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN )Filtru adaptat , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie

[1] De la DO North, care a introdus prima dată conceptul: North, DO, O analiză a factorilor care determină discriminarea semnal / zgomot în sistemele purtătoare pulsate , în RCA Labs., Princeton, NJ, Rep. PTR-6C , 1943.

[1]