Forma lui Maass

În matematică, o formă de undă în conformitate cu masa (sau pur și simplu forma Maass ) este o funcție a jumătății superioare complexe care se comportă ca o formă modulară , dar fără a fi neapărat holomorfă . Au fost studiate pentru prima dată de Hans Maass în 1949.

Definiție

Yesa k este o jumătate de număr întreg , s este un număr complex , iar Γ un discret subgrup de SL ₂ (R) (adică Γ este + un discret subspațiul de SL2 (R)).
O formă Maass de greutate k ori Γ cu valoarea proprie Laplace s , este o funcție lină a semi-planului complex superior care îndeplinește următoarele condiții:

Pentru fiecare $\gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma$ ${\ displaystyle \ gamma = \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right) \ în \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right) \ în \ Gamma}$ și pentru fiecare $\tau \in \mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$ , avem $f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}f(\tau )$ ${\ displaystyle f \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) = (c \ tau + d) ^ {k} f (\ tau)}$ ${\ displaystyle f \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) = (c \ tau + d) ^ {k} f (\ tau)}$ .
$\Delta _{k}f=sf$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k} f = sf}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k} f = sf}$ , unde este $\Delta _{k}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k}}$ este greutatea hiperbolică laplaciană k definită ca $\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k} = - y ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2 }} {\ partial y ^ {2}}} \ right) + iky {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k} = - y ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2 }} {\ partial y ^ {2}}} \ right) + iky {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$ .
Funcția f crește cel mult ca polinom la forma cuspidei (în teoria numerelor, o formă modulară cu un coeficient constant de zero în expansiunea seriei Fourier ).

O formă Maass armonică este o funcție lină a jumătății superioare complexe care se comportă ca o formă modulară sub acțiunea unui grup modular , care este o valoare proprie a operatorului Laplace hiperbolic corespunzător, care presupune cel mult o creștere liniară exponențială în corespondența forma cuspidei și dacă Laplacianul autovalorii lui f este zero: prin urmare, fără condiția << că f crește cel mult ca polinom în corespondență cu forma cuspidei >>, menționată mai sus.

Principalele rezultate

Yesa f o formă de cuspidă Maass, având greutatea 0. Kim și Sarnak au descoperit că coeficientul normalizat Fourier pentru un număr prim p este delimitat de $p^{7/64}$ ${\ displaystyle p ^ {7/64}}$ ${\ displaystyle p ^ {7/64}}$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică