Ghid de undă dielectric non-radiativ

figura 1

Ghidul de undă dielectric non-radiativ (NRD) ( ghid de undă dielectric non-radiativ) este un ghid de undă special utilizat în circuitele integrate de unde milimetrice.

Introducere

Ghidul de undă NRD (Non-Radiative Dielectric) a fost introdus de Yoneyama și Nishida [1] în 1981. Este o bară din material dielectric , cu o secțiune dreptunghiulară, cu înălțimea a și lățimea b, interpusă între două plăci metalice paralele, de lăţime. Prin urmare, structura este substanțial identică cu cea a ghidului de undă H, propusă de Tischer în 1953 [2] [3]. Inserarea barei dielectrice între cele două plăci permite să limiteze câmpul electromagnetic în vecinătatea regiunii dielectrice în sine, în timp ce la exterior există o descompunere exponențială a câmpului în sine. Prin urmare, dacă plăcile metalice au o lățime suficientă, câmpul este practic neglijabil la sfârșitul plăcilor și, prin urmare, situația nu diferă semnificativ de cazul ideal al plăcilor care se extind până la infinit. Polarizarea câmpului electric pentru modul dorit este predominant paralelă cu pereții conductori. Dacă câmpul electric este paralel cu pereții, pierderile datorate conducerii în pereții metalici scad odată cu creșterea frecvenței , în timp ce, dacă câmpul este perpendicular pe pereți, pierderile cresc pe măsură ce crește frecvența. Deoarece ghidul de undă NRD a fost proiectat pentru a fi utilizat în domeniul undelor milimetrice, polarizarea aleasă minimizează pierderile ohmice în pereții metalici.

Diferența esențială dintre ghidajul H și ghidul NRD constă în faptul că în acesta din urmă distanța dintre plăcile metalice este mai mică de jumătate de lungime de undă în vid, în timp ce în cazul ghidului de undă H această distanță este mai mare. De fapt, pierderile datorate conducției în plăcile metalice scad pe măsură ce spațiul în sine crește. Prin urmare, în ghidul de undă H, destinat ca mediu de transmisie pentru distanțe mari, această distanță este mai mare. Ghidul de undă NRD, pe de altă parte, este destinat aplicațiilor pentru circuitele integrate cu unde milimetrice, pentru care sunt utilizate lungimi foarte scurte. Prin urmare, creșterea pierderilor nu contează.

Alegerea unei distanțe mici între plăcile metalice, pe de altă parte, are consecința fundamentală că modul dorit rezultă sub întrerupere în regiunile de aer externe. În acest fel, orice discontinuitate, cum ar fi o curbă sau o joncțiune, devine pur reactivă. Acest lucru permite minimizarea problemelor de radiații (de unde și numele de ghid non-radiativ) și a interferențelor, caracteristici de importanță vitală în aplicațiile pentru circuite integrate. Pe de altă parte, în cazul ghidului de undă H, discontinuitățile menționate mai sus provoacă fenomene de radiații și interferențe , deoarece modul dorit, aflat deasupra limitei, se poate propaga spre exterior. Cu toate acestea, este necesar să se acorde atenție faptului că, dacă discontinuitățile menționate anterior modifică simetria structurii în raport cu planul median orizontal, există încă iradiere, sub forma modului TEM al ghidului cu plăci metalice paralele. , astfel încât să fie încă peste limită, oricât de mică este distanța dintre plăci. Acest aspect trebuie, în orice caz, luat în considerare la proiectarea diferitelor componente și articulații, precum și trebuie acordată atenție aderenței dintre pereții metalici și tija dielectrică, deoarece fenomenele de pierdere menționate mai sus pot fi generate [4]. Acest lucru se datorează faptului că, în general, orice asimetrie în secțiunea transversală transformă un mod limitat într-un mod "scurgeri".

Relația de dispersie a ghidului de undă NRD

Figura 2

Figura 3

Ca în orice structură de ghidare, de asemenea, pentru ghidul de undă NRD este de o importanță fundamentală să se cunoască relația de dispersie, adică ecuația care asigură constanta de propagare longitudinală $k_{z}=\beta -j\alpha$ ${\ displaystyle k_ {z} = \ beta -j \ alpha}$ ${\ displaystyle k_ {z} = \ beta -j \ alpha}$ în funcție de frecvență și parametrii geometrici, pentru diferitele moduri ale structurii. Această relație, totuși, în acest caz nu poate fi exprimată în mod explicit, așa cum se întâmplă în cel mai elementar caz al ghidului de undă dreptunghiular , dar rezultă implicit din soluția unei ecuații transcendente .

Metoda de rezonanță transversală

Pentru a obține această ecuație este posibil să procedăm în două moduri. O primă posibilitate, mai simplă din punct de vedere analitic, constă în aplicarea așa-numitei metode de rezonanță transversală [5]. Practic este o chestiune de a obține o rețea transversală echivalentă cu constante distribuite pentru structura în cauză și apoi de a aplica condiția de rezonanță de-a lungul unei direcții transversale la rețeaua însăși. Această condiție conduce la o ecuație transcendentă care, rezolvată numeric, oferă posibile valori pentru numărul de undă transversală . Prin exploatarea relației de separabilitate cunoscută care leagă numerele de undă în diferite direcții și frecvență, este posibil să se obțină valorile constantei de propagare longitudinală k _z pentru diferitele moduri.

Ipoteza este făcută de neglijarea pierderilor de radiații datorită faptului că, în realitate, plăcile metalice au o lățime finită. De fapt, presupunând că câmpul, evanescent în regiunile aeriene externe, este neglijabil în corespondență cu deschiderea, putem crede că câmpul "nu vede" terminarea liniei și, prin urmare, situația coincide în mod substanțial cu cazul ideal de plăci metalice de lățime infinită. Prin urmare, putem presupune pentru structură rețeaua transversală echivalentă prezentată în Fig. 2. În ea k _xε și k _xo sunt numerele de undă în direcția transversală x, respectiv în dielectric și în aer, Y _ε și Y _o sunt admiterile caracteristice respective ale liniei de transmisie echivalente. Prezența plăcilor metalice, presupusă a fi perfect conductivă, impune valorile posibile pentru numărul de undă în direcția verticală y:

$k_{y}={\frac {m\pi }{a}}$ ${\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {m \ pi} {a}}}$ ${\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {m \ pi} {a}}}$ , cu m = 0, 1, 2, ... Aceste valori sunt aceleași atât în aer, cât și în dielectric.

Numerele de undă sunt, după cum sa menționat deja, legate de relațiile de separabilitate. În aer, asimilându-l la vid, avem:

$k_{o}^{2}=\left({\frac {2\pi }{\lambda _{o}}}\right)^{2}=k_{xo}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=-\left|k_{xo}\right|^{2}+k_{y}^{2}+\beta ^{2}\ \ \ \ (1)$ ${\ displaystyle k_ {o} ^ {2} = \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ lambda _ {o}}} \ right) ^ {2} = k_ {xo} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = - \ left | k_ {xo} \ right | ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + \ beta ^ {2} \ \ \ \ (1)}$ ${\ displaystyle k_ {o} ^ {2} = \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ lambda _ {o}}} \ right) ^ {2} = k_ {xo} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = - \ left | k_ {xo} \ right | ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + \ beta ^ {2} \ \ \ \ (1)}$

fiind $k_{o}$ ${\ displaystyle k_ {o}}$ ${\ displaystyle k_ {o}}$ Și $\lambda _{o}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {o}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {o}}$ numărul de undă și lungimea de undă în vid, respectiv. Setăm k _z = β fiind structura neradiată și presupusă fără pierderi și, mai mult, $k_{xo}=-j\left|k_{xo}\right|$ ${\ displaystyle k_ {xo} = - j \ left | k_ {xo} \ right |}$ ${\ displaystyle k_ {xo} = - j \ left | k_ {xo} \ right |}$ , câmpul trebuie să fie evanescent în regiunile aeriene. În regiunea dielectrică, pe de altă parte, avem:

$k^{2}=k_{o}^{2}\varepsilon _{r}=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}=k_{x\varepsilon }^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k_{x\varepsilon }^{2}+k_{y}^{2}+\beta ^{2}\ \ \ \ \ \ (2)$ ${\ displaystyle k ^ {2} = k_ {o} ^ {2} \ varepsilon _ {r} = \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \ right) ^ {2} = k_ { x \ varepsilon} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k_ {x \ varepsilon} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + \ beta ^ {2} \ \ \ \ \ \ (2)}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = k_ {o} ^ {2} \ varepsilon _ {r} = \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \ right) ^ {2} = k_ { x \ varepsilon} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k_ {x \ varepsilon} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + \ beta ^ {2} \ \ \ \ \ \ (2)}$

fiind ke $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ numărul de undă și lungimea de undă din dielectric, respectiv $\varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ constanta dielectrică relativă.

Spre deosebire de $k_{xo}$ ${\ displaystyle k_ {xo}}$ ${\ displaystyle k_ {xo}}$ , $k_{x\epsilon }$ ${\ displaystyle k_ {x \ epsilon}}$ ${\ displaystyle k_ {x \ epsilon}}$ este real, corespunzând unei configurații a undei staționare din interiorul dielectricului. Numerele valurilor $k_{y}$ ${\ displaystyle k_ {y}}$ ${\ displaystyle k_ {y}}$ Și $k_{z}$ ${\ displaystyle k_ {z}}$ ${\ displaystyle k_ {z}}$ , tangențiale la interfața aer-dielectrică, sunt aceleași în toate regiunile. Acest fapt este evident legat de condițiile de continuitate ale componentelor tangențiale ale câmpurilor electrice și magnetice de la interfață. Continuitatea tensiunii și curentului corespunde acestor condiții în linia de transmisie echivalentă.

Prin urmare, s-a văzut cum utilizarea metodei de rezonanță transversală ia în considerare în mod automat condițiile limită impuse de pereții metalici și condițiile de continuitate la interfața aer-dielectrică.

Revizuind acum posibilele moduri transversale, îl avem în regiunile aerului $a<{\frac {\lambda _{o}}{2}}$ ${\ displaystyle a <{\ frac {\ lambda _ {o}} {2}}}$ ${\ displaystyle a <{\ frac {\ lambda _ {o}} {2}}}$ , putem propaga de-a lungul x doar modul cu m = 0, care este un TEM care călătorește oblic în planul xz, cu cele trei componente ale câmpului $E_{y},H_{x},H_{z}$ ${\ displaystyle E_ {y}, H_ {x}, H_ {z}}$ ${\ displaystyle E_ {y}, H_ {x}, H_ {z}}$ . Acest mod este întotdeauna peste limită, oricât de mic este, dar nu este excitat dacă se menține simetria structurii în raport cu planul median y = a / 2. De fapt, dacă structura este simetrică, modurile cu polarizări diferite de cea a câmpului de intrare nu sunt excitate.

Pe de altă parte, în regiunea dielectrică avem $\lambda ={\frac {\lambda _{o}}{\sqrt {\varepsilon _{r}}}}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ lambda _ {o}} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r}}}}}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ lambda _ {o}} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r}}}}}$ , asa de ${\frac {a}{\lambda }}={\frac {a}{\lambda _{o}}}{\sqrt {\varepsilon _{r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ lambda}} = {\ frac {a} {\ lambda _ {o}}} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ lambda}} = {\ frac {a} {\ lambda _ {o}}} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r}}}}$ . Pentru ca modul cu index m să fie peste limită trebuie să fie a / λ> m / 2. Alegând de exemplu ε _r = 2,56 (polistiren) și a / λo = 0,45 (frecvența f = 50 GHz, pentru care λo = 6 mm, ea = 2,7 mm), rezultă că în regiunea dielectrică modurile cu m = 1 sunt deasupra limitei. De fapt, avem:

a / λ = 0,72, care este mai mare de 1/2, dar mai mică de 1, deci modurile cu m = 2 sunt sub limită.

În ghidul de undă NRD, precum și în ghidul de undă H, prezența benzii dielectrice are consecința că condițiile limită nu pot fi satisfăcute de modurile TEM, TM sau TE (acesta din urmă dacă m ≠ 0) în raport cu longitudinalul direcția z. Modurile structurii vor fi deci moduri hibride, adică cu ambele componente longitudinale diferite de zero. Din fericire, însă, modul de interes este un mod TM în raport cu direcția orizontală x, care este direcția de-a lungul căreia a fost adoptată linia de transmisie echivalentă. Prin urmare, amintind expresiile cunoscute pentru admiterile caracteristice ale modurilor TM, avem:

$Y_{0}={\frac {\omega \varepsilon _{o}}{k_{xo}}}\ \ \ \ Y_{\varepsilon }={\frac {\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}{k_{x\varepsilon }}}\ \ \ \ \ (3)$ ${\ displaystyle Y_ {0} = {\ frac {\ omega \ varepsilon _ {o}} {k_ {xo}}} \ \ \ \ Y _ {\ varepsilon} = {\ frac {\ omega \ varepsilon _ {o } \ varepsilon _ {r}} {k_ {x \ varepsilon}}} \ \ \ \ \ (3)}$ ${\ displaystyle Y_ {0} = {\ frac {\ omega \ varepsilon _ {o}} {k_ {xo}}} \ \ \ \ Y _ {\ varepsilon} = {\ frac {\ omega \ varepsilon _ {o } \ varepsilon _ {r}} {k_ {x \ varepsilon}}} \ \ \ \ \ (3)}$

fiind, așa cum s-a văzut deja, $k_{xo}=-j\left|k_{xo}\right|$ ${\ displaystyle k_ {xo} = - j \ left | k_ {xo} \ right |}$ ${\ displaystyle k_ {xo} = - j \ left | k_ {xo} \ right |}$

Rețeaua echivalentă transversală din Fig. 2 poate fi simplificată în continuare prin utilizarea simetriei geometrice a structurii în raport cu planul vertical vertical x = 0 și luând în considerare polarizarea câmpului electric pentru modul dorit, un câmp care este ortogonală cu planul median în sine. În acest caz, este posibilă bisectarea structurii cu un plan metalic vertical, fără a modifica astfel condițiile limită și, prin urmare, configurația câmpului electromagnetic din interior. La aceasta corespunde, în linia de transmisie echivalentă, o bisecție în scurtcircuit. Rețeaua simplificată prezentată în Fig. 3 este astfel obținută.

Apoi putem continua cu aplicarea condiției de rezonanță transversală de-a lungul direcției orizontale x, o condiție care poate fi exprimată prin relația: ${\overleftarrow {Y}}+{\overrightarrow {Y}}=0$ ${\ displaystyle {\ overleftarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Y}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ overleftarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Y}} = 0}$ Unde $\ \ {\overleftarrow {Y}}\ \ \ e\ \ \ {\overrightarrow {Y}}\ \$ ${\ displaystyle \ \ {\ overleftarrow {Y}} \ \ \ e \ \ \ {\ overrightarrow {Y}} \ \}$ ${\ displaystyle \ \ {\ overleftarrow {Y}} \ \ \ e \ \ \ {\ overrightarrow {Y}} \ \}$ sunt respectiv admiterile care sunt văzute privind spre stânga și spre dreapta de-a lungul liniei, într-o secțiune de referință arbitrară T.

Prin urmare, alegând secțiunea de referință indicată în Fig. 3, avem acest lucru ${\overrightarrow {Y}}=Y_{o}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} = Y_ {o}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} = Y_ {o}}$ , linia fiind nedefinită spre dreapta. Privind spre stânga, pe de altă parte, avem:

${\overleftarrow {Y}}=-jY_{\varepsilon }\cot(k_{x\varepsilon }w)$ ${\ displaystyle {\ overleftarrow {Y}} = - jY _ {\ varepsilon} \ cot (k_ {x \ varepsilon} w)}$ ${\ displaystyle {\ overleftarrow {Y}} = - jY _ {\ varepsilon} \ cot (k_ {x \ varepsilon} w)}$

Deci, aplicând condiția de rezonanță avem:

$-jY_{\varepsilon }\cot(k_{x\varepsilon }w)+Y_{o}=0$ ${\ displaystyle -jY _ {\ varepsilon} \ cot (k_ {x \ varepsilon} w) + Y_ {o} = 0}$ ${\ displaystyle -jY _ {\ varepsilon} \ cot (k_ {x \ varepsilon} w) + Y_ {o} = 0}$

și, înlocuind expresiile admiterilor caracteristice, obținem ecuația dispersiei:

$-j\varepsilon _{r}k_{xo}\cot(k_{x\varepsilon }w)+k_{x\varepsilon }=0\ \ \ \ (4)$ ${\ displaystyle -j \ varepsilon _ {r} k_ {xo} \ cot (k_ {x \ varepsilon} w) + k_ {x \ varepsilon} = 0 \ \ \ \ (4)}$ ${\ displaystyle -j \ varepsilon _ {r} k_ {xo} \ cot (k_ {x \ varepsilon} w) + k_ {x \ varepsilon} = 0 \ \ \ \ (4)}$

Deoarece și din (1) și (2):

$k_{xo}={\sqrt {{k_{o}^{2}}-\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}-\beta ^{2}}}=k_{o}{\sqrt {1-\left({\frac {m\pi }{ak_{o}}}\right)^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{k_{o}}}}}$ ${\ displaystyle k_ {xo} = {\ sqrt {{k_ {o} ^ {2}} - \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} - \ beta ^ { 2}}} = k_ {o} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {m \ pi} {ak_ {o}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ beta ^ {2 }} {k_ {o}}}}}}$ ${\ displaystyle k_ {xo} = {\ sqrt {{k_ {o} ^ {2}} - \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} - \ beta ^ { 2}}} = k_ {o} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {m \ pi} {ak_ {o}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ beta ^ {2 }} {k_ {o}}}}}}$

$k_{x\epsilon }={\sqrt {{k_{o}^{2}\varepsilon _{r}}-\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}-\beta ^{2}}}=k_{o}{\sqrt {\varepsilon _{r}-\left({\frac {m\pi }{ak_{o}}}\right)^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{k_{o}}}}}$ ${\ displaystyle k_ {x \ epsilon} = {\ sqrt {{k_ {o} ^ {2} \ varepsilon _ {r}} - \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} - \ beta ^ {2}}} = k_ {o} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r} - \ left ({\ frac {m \ pi} {ak_ {o}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ beta ^ {2}} {k_ {o}}}}}}$ ${\ displaystyle k_ {x \ epsilon} = {\ sqrt {{k_ {o} ^ {2} \ varepsilon _ {r}} - \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} - \ beta ^ {2}}} = k_ {o} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r} - \ left ({\ frac {m \ pi} {ak_ {o}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ beta ^ {2}} {k_ {o}}}}}}$

poate fi presupus ca o necunoscută normalizată ${\frac {\beta }{k_{o}}}={\sqrt {\varepsilon _{\text{eff}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ beta} {k_ {o}}} = {\ sqrt {\ varepsilon _ {\ text {eff}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ beta} {k_ {o}}} = {\ sqrt {\ varepsilon _ {\ text {eff}}}}}$ , Unde $\varepsilon _{\text{eff}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ text {eff}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ text {eff}}}$ este așa-numita constantă relativă dielectrică efectivă a ghidajului.

Frecvența de tăiere f _c poate fi obținută prin rezolvarea ecuației de dispersie în care stabilim β = 0 și presupunem ca necunoscută frecvența, conținută în k _o = (2π / c) f.

Trebuie remarcat faptul că, datorită prezenței a două dielectrice, problema este dependentă de frecvență, adică nu este posibil, din cunoașterea frecvenței de tăiere pentru anumite valori ale parametrilor geometrici, să revină imediat înapoi la valoarea β pentru orice frecvență. Dacă ar exista un singur dielectric, cu constantă dielectrică și permeabilitate ε și μ, am avea:

$\beta ={\sqrt {k^{2}-k_{t}^{2}}}={\sqrt {\omega ^{2}\mu \varepsilon -\omega _{c}^{2}\mu \varepsilon }}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ sqrt {k ^ {2} -k_ {t} ^ {2}}} = {\ sqrt {\ omega ^ {2} \ mu \ varepsilon - \ omega _ {c} ^ { 2} \ mu \ varepsilon}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ sqrt {k ^ {2} -k_ {t} ^ {2}}} = {\ sqrt {\ omega ^ {2} \ mu \ varepsilon - \ omega _ {c} ^ { 2} \ mu \ varepsilon}}}$ .

În cazul nostru, pe de altă parte, este necesar, pentru fiecare valoare a frecvenței, să se rezolve din nou ecuația dispersiei.

Procedând într-un mod dual putem considera modurile TE în raport cu x. Expresiile pentru admiterile caracteristice sunt în acest caz:

$Y_{o}={\frac {k_{xo}}{\mu _{o}\omega }}\ \ \ ,\ \ \ \ Y_{\varepsilon }={\frac {k_{x\varepsilon }}{\mu _{o}\omega }}\ \ \ \ \ \ \ (5)$ ${\ displaystyle Y_ {o} = {\ frac {k_ {xo}} {\ mu _ {o} \ omega}} \ \ \, \ \ \ \ Y _ {\ varepsilon} = {\ frac {k_ {x \ varepsilon}} {\ mu _ {o} \ omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (5)}$ ${\ displaystyle Y_ {o} = {\ frac {k_ {xo}} {\ mu _ {o} \ omega}} \ \ \, \ \ \ \ Y _ {\ varepsilon} = {\ frac {k_ {x \ varepsilon}} {\ mu _ {o} \ omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (5)}$

presupus $\mu =\mu _{o}$ ${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {o}}$ ${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {o}}$ .

Mai mult, în cazul TE, câmpul magnetic este ortogonal în raport cu planul median x = 0. În acest caz este posibilă bisectarea structurii cu un perete magnetic perfect, care este echivalent în linie cu o bisecție cu un circuit deschis, obținându-se circuitul prezentat în Fig. 4. În ceea ce privește planul T vom avea atunci:

${\overrightarrow {Y}}=Y_{o}\ \ \ ,\ \ \ {\overleftarrow {Y}}=jY_{\varepsilon }\tan(k_{x\varepsilon }w)$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} = Y_ {o} \ \ \, \ \ \ {\ overleftarrow {Y}} = jY _ {\ varepsilon} \ tan (k_ {x \ varepsilon} w)}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} = Y_ {o} \ \ \, \ \ \ {\ overleftarrow {Y}} = jY _ {\ varepsilon} \ tan (k_ {x \ varepsilon} w)}$ , din care se obține ecuația dispersiei:

$jk_{x\varepsilon }\tan(k_{x\varepsilon }w)+k_{xo}=0\ \ \ (6)$ ${\ displaystyle jk_ {x \ varepsilon} \ tan (k_ {x \ varepsilon} w) + k_ {xo} = 0 \ \ \ (6)}$ ${\ displaystyle jk_ {x \ varepsilon} \ tan (k_ {x \ varepsilon} w) + k_ {xo} = 0 \ \ \ (6)}$

Evident, rezultatele obținute până acum pentru comportamentul dispersiv ar putea fi obținute din rețeaua echivalentă transversală completă, fără bisecții, prezentată în Fig. 2. În acest caz, se poate scrie, alegând planul de referință T:

${\overrightarrow {Y}}=Y_{o}\ \ \ \ \ \ \ \ {\overleftarrow {Y}}=Y_{\varepsilon }{\frac {Y_{o}+jY_{\varepsilon }\tan(k_{x\varepsilon }b)}{Y_{\varepsilon }+jY_{o}\tan(k_{x\varepsilon }b)}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} = Y_ {o} \ \ \ \ \ \ \ \ {\ overleftarrow {Y}} = Y _ {\ varepsilon} {\ frac {Y_ {o} + jY _ {\ varepsilon} \ tan (k_ {x \ varepsilon} b)} {Y _ {\ varepsilon} + jY_ {o} \ tan (k_ {x \ varepsilon} b)}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} = Y_ {o} \ \ \ \ \ \ \ \ {\ overleftarrow {Y}} = Y _ {\ varepsilon} {\ frac {Y_ {o} + jY _ {\ varepsilon} \ tan (k_ {x \ varepsilon} b)} {Y _ {\ varepsilon} + jY_ {o} \ tan (k_ {x \ varepsilon} b)}}}$

pentru care avem:

$Y_{o}+Y_{\varepsilon }{\frac {Y_{o}+jY_{\varepsilon }\tan(k_{x\varepsilon }b)}{Y_{\varepsilon }+jY_{o}\tan(k_{x\varepsilon }b)}}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$ ${\ displaystyle Y_ {o} + Y _ {\ varepsilon} {\ frac {Y_ {o} + jY _ {\ varepsilon} \ tan (k_ {x \ varepsilon} b)} {Y _ {\ varepsilon} + jY_ {o} \ tan (k_ {x \ varepsilon} b)}} = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)}$ ${\ displaystyle Y_ {o} + Y _ {\ varepsilon} {\ frac {Y_ {o} + jY _ {\ varepsilon} \ tan (k_ {x \ varepsilon} b)} {Y _ {\ varepsilon} + jY_ {o} \ tan (k_ {x \ varepsilon} b)}} = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)}$

De asemenea, va fi necesar să specificați dacă sunt luate în considerare modurile TM sau TE în ceea ce privește x, pentru a utiliza formulele (3) sau (5) pentru admiterile caracteristice respective în relația anterioară.

S-a văzut că prin metoda rezonanței transversale este posibil să se obțină cu ușurință ecuația de dispersie pentru ghidul de undă NRD. Cu toate acestea, structura câmpului electromagnetic în cele trei regiuni nu a fost luată în considerare în detaliu. Informații cuprinzătoare pot fi obținute cu metoda dezvoltărilor modale.

Determinarea modurilor hibride

Figura 4

Referindu-ne la secțiunea transversală a ghidului prezentat în Fig. 1, să considerăm acum câmpurile TM și TE în ceea ce privește direcția longitudinală z, direcția de-a lungul căreia ghidajul este uniform, adică toate secțiunile transversale sunt de aceeași formă și mărimea. După cum sa spus deja, în ghidul de undă NRD, nu pot exista moduri TM sau TE (acesta din urmă pentru m ≠ 0), în ceea ce privește z, singur, deoarece acestea nu sunt suficiente pentru a satisface condițiile impuse de prezența dielectricului tijă. Cu toate acestea, se știe că un mod de propagare într-o structură de ghidare poate fi exprimat ca suprapunere a unui câmp TM și TE în raport cu z.

În plus, câmpurile TM pot fi derivate dintr-un potențial vector Lorentz ${\underline {A}}$ ${\ displaystyle {\ underline {A}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {A}}}$ având doar componenta longitudinală. Câmpul electromagnetic ${\underline {E}}$ ${\ displaystyle {\ underline {E}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {E}}}$ , ${\underline {H}}$ ${\ displaystyle {\ underline {H}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {H}}}$ se poate deduce apoi din formulele generale:

${\underline {H}}=\triangledown \times {\underline {A}}\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ {\underline {E}}=-j\omega \mu {\underline {A}}+{\frac {\triangledown \triangledown \cdot {\underline {A}}}{j\omega \varepsilon }}\ \ \ \ \ \ (8)$ ${\ displaystyle {\ underline {H}} = \ triangledown \ times {\ underline {A}} \ \ \ \ \, \ \ \ \ \ {{underline {E}} = - j \ omega \ mu {\ subliniați {A}} + {\ frac {\ triangledown \ triangledown \ cdot {\ underline {A}}} {j \ omega \ varepsilon}} \ \ \ \ \ \ (8)}$ ${\ displaystyle {\ underline {H}} = \ triangledown \ times {\ underline {A}} \ \ \ \ \, \ \ \ \ \ {{underline {E}} = - j \ omega \ mu {\ subliniați {A}} + {\ frac {\ triangledown \ triangledown \ cdot {\ underline {A}}} {j \ omega \ varepsilon}} \ \ \ \ \ \ (8)}$

Într-un mod dual, câmpurile TE pot deriva dintr-un vector potențial ${\underline {F}}$ ${\ displaystyle {\ underline {F}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {F}}}$ echipat numai cu componenta longitudinală. Câmpul electromagnetic va fi dat de:

${\underline {E}}=-\triangledown \times {\underline {F}}\ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ {\underline {H}}=-j\omega {\underline {F}}+{\frac {\triangledown \triangledown \cdot {\underline {F}}}{j\omega \mu }}\ \ \ \ \ \ \ (9)$ ${\ displaystyle {\ underline {E}} = - \ triangledown \ times {\ underline {F}} \ \ \ \ \ \, \ \ \ \ \ {\ underline {H}} = - j \ omega {\ subliniați {F}} + {\ frac {\ triangledown \ triangledown \ cdot {\ underline {F}}} {j \ omega \ mu}} \ \ \ \ \ \ (9)}$ ${\ displaystyle {\ underline {E}} = - \ triangledown \ times {\ underline {F}} \ \ \ \ \ \, \ \ \ \ \ {\ underline {H}} = - j \ omega {\ subliniați {F}} + {\ frac {\ triangledown \ triangledown \ cdot {\ underline {F}}} {j \ omega \ mu}} \ \ \ \ \ \ (9)}$

Având în vedere acum uniformitatea structurii de-a lungul direcției z, putem impune separarea dependenței longitudinale a potențialului, exprimată printr-o funcție L (z), de dependența transversală, exprimată printr-o funcție T (x, y) pe secțiunea transversală. Prin urmare, pentru TM și, respectiv, TE:

${\underline {A}}=A_{z}{\underline {z_{o}}}=L^{TM}(z)T^{TM}(x,y){\underline {z_{o}}}\ \ \ \ \ \ \ (10)$ ${\ displaystyle {\ underline {A}} = A_ {z} {\ underline {z_ {o}}} = L ^ {TM} (z) T ^ {TM} (x, y) {\ underline {z_ { sau}}} \ \ \ \ \ \ \ ((10)}$ ${\ displaystyle {\ underline {A}} = A_ {z} {\ underline {z_ {o}}} = L ^ {TM} (z) T ^ {TM} (x, y) {\ underline {z_ { sau}}} \ \ \ \ \ \ \ ((10)}$

${\underline {F}}=F_{z}{\underline {z_{o}}}=L^{TM}(z)T^{TM}(x,y){\underline {z_{o}}}\ \ \ \ \ \ (11)$ ${\ displaystyle {\ underline {F}} = F_ {z} {\ underline {z_ {o}}} = L ^ {TM} (z) T ^ {TM} (x, y) {\ underline {z_ { sau}}} \ \ \ \ \ \ (11)}$ ${\ displaystyle {\ underline {F}} = F_ {z} {\ underline {z_ {o}}} = L ^ {TM} (z) T ^ {TM} (x, y) {\ underline {z_ { sau}}} \ \ \ \ \ \ (11)}$

fiind ${\underline {z_{o}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {z_ {o}}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {z_ {o}}}}$ vectorul axei z și A _z , F _z componentele de-a lungul z ale vectorilor ${\underline {A}}$ ${\ displaystyle {\ underline {A}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {A}}}$ și ${\underline {F}}$ ${\ displaystyle {\ underline {F}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {F}}}$ .

Într-o regiune fără origine, potențialele trebuie să satisfacă ecuația diferențială omogenă Helmholtz:

$\triangledown ^{2}A_{z}+k^{2}A_{z}=0\ \ \ \ \ \ (12)$ ${\ displaystyle \ triangledown ^ {2} A_ {z} + k ^ {2} A_ {z} = 0 \ \ \ \ \ \ (12)}$ ${\ displaystyle \ triangledown ^ {2} A_ {z} + k ^ {2} A_ {z} = 0 \ \ \ \ \ \ (12)}$

$\triangledown ^{2}F_{z}+k^{2}F_{z}=0\ \ \ \ \ \ (13)$ ${\ displaystyle \ triangledown ^ {2} F_ {z} + k ^ {2} F_ {z} = 0 \ \ \ \ \ \ (13)}$ ${\ displaystyle \ triangledown ^ {2} F_ {z} + k ^ {2} F_ {z} = 0 \ \ \ \ \ \ (13)}$

Introducând (10) și (11) în ultimele două relații, obținem ecuațiile pentru funcțiile L (z) și T (x, y),

${\frac {d^{2}L}{dz^{2}}}+k_{z}^{2}L=0\ \ \ \ \ \ (14)$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} L} {dz ^ {2}}} + k_ {z} ^ {2} L = 0 \ \ \ \ \ \ (14)}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} L} {dz ^ {2}}} + k_ {z} ^ {2} L = 0 \ \ \ \ \ \ (14)}$

$\triangledown _{t}^{2}T+k_{t}^{2}T=0\ \ \ \ \ \ (15)$ ${\ displaystyle \ triangledown _ {t} ^ {2} T + k_ {t} ^ {2} T = 0 \ \ \ \ \ \ (15)}$ ${\ displaystyle \ triangledown _ {t} ^ {2} T + k_ {t} ^ {2} T = 0 \ \ \ \ \ \ (15)}$

unde k _{z este} numărul de undă în direcția longitudinală, $\triangledown _{t}^{2}=\triangledown ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$ ${\ displaystyle \ triangledown _ {t} ^ {2} = \ triangledown ^ {2} - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ triangledown _ {t} ^ {2} = \ triangledown ^ {2} - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}}$ Și $k_{t}^{2}=k^{2}-k_{z}^{2}$ ${\ displaystyle k_ {t} ^ {2} = k ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle k_ {t} ^ {2} = k ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}$ , având în coordonate carteziene: $k_{t}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=k_{x}^{2}+\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}$ ${\ displaystyle k_ {t} ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle k_ {t} ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} \ right) ^ {2}}$ .

Ecuația (14) admite o integrală generală de tip (pentru cazul de interes k _z ≠ 0):

$L(z)=L_{o}^{\dotplus }e^{-jk_{z}z}+L_{o}^{-}e^{jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (16)$ ${\ displaystyle L (z) = L_ {o} ^ {\ dotplus} e ^ {- jk_ {z} z} + L_ {o} ^ {-} e ^ {jk_ {z} z} \ \ \ \ \ \ \ (16)}$ ${\ displaystyle L (z) = L_ {o} ^ {\ dotplus} e ^ {- jk_ {z} z} + L_ {o} ^ {-} e ^ {jk_ {z} z} \ \ \ \ \ \ \ (16)}$

Este suprapunerea unui val directe, care real k _z propagă direcția pozitivă a z, și de un val reflectat, care se propagă în direcția negativă. Presupunând prezența doar undei progresive, avem, prin urmare, că dependența longitudinală a câmpurilor este de tipul $e^{-jk_{z}z}$ ${\ displaystyle e ^ {- jk_ {z} z}}$ ${\ displaystyle e ^ {- jk_ {z} z}}$ , unde numărul de undă k _z (ca într-adevăr k _y ) trebuie să fie același atât în dielectric, cât și în aer, pentru condiția de continuitate a componentelor tangențiale ale câmpului electromagnetic. De asemenea, k _z trebuie să fie același atât pentru câmpul TM, cât și pentru câmpul TE.

Prin separarea suplimentară a variabilelor și setarea T (x, y) = X (x) Y (y), obținem cele două ecuații din (15):

${\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+k_{x}^{2}X=0\ \ \ \ \ \ \ (17)$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} + k_ {x} ^ {2} X = 0 \ \ \ \ \ \ \ (17)}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} + k_ {x} ^ {2} X = 0 \ \ \ \ \ \ \ (17)}$

${\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}+k_{y}^{2}Y=0\ \ \ \ \ \ \ \ (18)$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} + k_ {y} ^ {2} Y = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ (18)}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} + k_ {y} ^ {2} Y = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ (18)}$

Pentru (18), dată fiind condiția limită a finitului impusă de prezența plăcilor metalice (presupuse a fi perfect conductoare) pentru y = 0 și pentru y = a, se alege o formă a undei staționare pentru integralul general:

$Y(y)=C_{1}\cos(k_{y}y)+C_{2}\sin(k_{y}y)$ ${\ displaystyle Y (y) = C_ {1} \ cos (k_ {y} y) + C_ {2} \ sin (k_ {y} y)}$ ${\ displaystyle Y (y) = C_ {1} \ cos (k_ {y} y) + C_ {2} \ sin (k_ {y} y)}$

Pentru câmpurile TM, condiția de delimitare a funcției T este de tip Dirichlet, adică T = 0 pentru y = 0 și y = a. Impunându-l obținem C ₁ = 0 e $k_{y}={\frac {m\pi }{a}}$ ${\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {m \ pi} {a}}}$ ${\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {m \ pi} {a}}}$ (m = 1, 2, 3, ...), deci dependența de y este de tipul $\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)$ ${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right)}$ .

În schimb pentru câmpurile TE condiția este de tip Neumann, adică ${\frac {\partial T}{\partial n}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial n}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial n}} = 0}$ pentru y = 0 și y = a, n fiind direcția normală către peretele conductor, în acest caz direcția y. Prin urmare, în cazul TE obținem C ₂ = 0 și din nou $k_{y}={\frac {m\pi }{a}}y$ ${\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {m \ pi} {a}} y}$ ${\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {m \ pi} {a}} y}$ (m = 0, 1, 2, 3, ...), deci acum dependența de y este de tipul $\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)$ ${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right)}$ ${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right)}$ .

În ceea ce privește ecuația (17), alegem pentru integralul general forma:

$X(x)=C_{3}e^{-jk_{x}x}+C_{4}e^{jk_{x}x}$ ${\ displaystyle X (x) = C_ {3} e ^ {- jk_ {x} x} + C_ {4} e ^ {jk_ {x} x}}$ ${\ displaystyle X (x) = C_ {3} e ^ {- jk_ {x} x} + C_ {4} e ^ {jk_ {x} x}}$

Acum este vorba de particularizarea expresiilor pentru cele două regiuni, în care considerăm suprapunerea unui câmp TM și TE.

Cu referire la Fig. 1 vom avea pentru funcția transversală în regiunea dielectrică, adică pentru -w <x <w, expresiile:

$T_{\varepsilon }^{TM}=\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)\cdot (Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})\ \ \ \ \ m=0,1,2,\dots \ \ \ \ \ \ (19)$ ${\ displaystyle T _ {\ varepsilon} ^ {TM} = \ sin \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) \ cdot (Ae ^ {- jk_ {x \ varepsilon} x} + Be ^ {jk_ {x \ varepsilon} x}) \ \ \ \ \ m = 0,1,2, \ dots \ \ \ \ \ \ (19)}$ ${\ displaystyle T _ {\ varepsilon} ^ {TM} = \ sin \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) \ cdot (Ae ^ {- jk_ {x \ varepsilon} x} + Be ^ {jk_ {x \ varepsilon} x}) \ \ \ \ \ m = 0,1,2, \ dots \ \ \ \ \ \ (19)}$

$T_{\varepsilon }^{TE}=\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)\cdot (Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\ \ \ \ \ \ m=1,2,3,\dots \ \ \ \ (20)$ ${\ displaystyle T _ {\ varepsilon} ^ {TE} = \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) \ cdot (Ce ^ {- jk_ {x \ varepsilon} x} + De ^ {jk_ {x \ varepsilon} x}) \ \ \ \ \ \ m = 1,2,3, \ dots \ \ \ \ (20)}$ ${\ displaystyle T _ {\ varepsilon} ^ {TE} = \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) \ cdot (Ce ^ {- jk_ {x \ varepsilon} x} + De ^ {jk_ {x \ varepsilon} x}) \ \ \ \ \ \ m = 1,2,3, \ dots \ \ \ \ (20)}$

fiind:

$k_{x\varepsilon }=k_{o}{\sqrt {\varepsilon _{r}-\left({\frac {m\pi }{k_{o}a}}\right)^{2}-\left({\frac {k_{z}}{k_{o}}}\right)^{2}}}\ \ \ \ (21)$ ${\ displaystyle k_ {x \ varepsilon} = k_ {o} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r} - \ left ({\ frac {m \ pi} {k_ {o} a}} \ right) ^ {2 } - \ left ({\ frac {k_ {z}} {k_ {o}}} \ right) ^ {2}}} \ \ \ \ (21)}$ ${\ displaystyle k_ {x \ varepsilon} = k_ {o} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r} - \ left ({\ frac {m \ pi} {k_ {o} a}} \ right) ^ {2 } - \ left ({\ frac {k_ {z}} {k_ {o}}} \ right) ^ {2}}} \ \ \ \ (21)}$

În regiunea aeriană din dreapta (x> w) vom avea:

$T_{o+}^{TM}=E\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ (22)$ ${\ displaystyle T_ {o +} ^ {TM} = E \ sin \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} \ \ \ \ (22)}$ ${\ displaystyle T_ {o +} ^ {TM} = E \ sin \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} \ \ \ \ (22)}$

$T_{o+}^{TE}=F\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (23)$ ${\ displaystyle T_ {o +} ^ {TE} = F \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (23)}$ ${\ displaystyle T_ {o +} ^ {TE} = F \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (23)}$

unde a fost aleasă exponențialul imaginar negativ deoarece regiunea este nedefinită pentru valorile pozitive ale lui x. Indicele + indică regiunea potrivită.

În cele din urmă, în regiunea aeriană din stânga (x <w) vom avea:

$T_{o-}^{TM}=G\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{jk_{xo}(x+w)}\ \ \ \ \ \ \ (24)$ ${\ displaystyle T_ {o -} ^ {TM} = G \ sin \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) e ^ {jk_ {xo} (x + w)} \ \ \ \ \ \ \ (24)}$ ${\ displaystyle T_ {o -} ^ {TM} = G \ sin \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) e ^ {jk_ {xo} (x + w)} \ \ \ \ \ \ \ (24)}$

$T_{o-}^{TE}=H\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ \ \ \ \ (25)$ ${\ displaystyle T_ {o -} ^ {TE} = H \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) e ^ {jk_ {xo} (xw)} \ \ \ \ \ \ \ \ (25)}$ ${\ displaystyle T_ {o -} ^ {TE} = H \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {a}} y \ right) e ^ {jk_ {xo} (xw)} \ \ \ \ \ \ \ \ (25)}$

avendo indicato ora con un pedice - la regione d'interesse, e avendo scelto l'esponenziale immaginario positivo essendo la regione indefinita per valori negativi di x. Nelle regioni d'aria si ha:

$k_{xo}=k_{o}{\sqrt {1-\left({\frac {m\pi }{k_{o}a}}\right)^{2}-\left({\frac {k_{z}}{k_{o}}}\right)^{2}}}\ \ \ \ \ \ \ (26)$ $k_{xo}=k_{o}{\sqrt {1-\left({\frac {m\pi }{k_{o}a}}\right)^{2}-\left({\frac {k_{z}}{k_{o}}}\right)^{2}}}\ \ \ \ \ \ \ (26)$ $k_{xo}=k_{o}{\sqrt {1-\left({\frac {m\pi }{k_{o}a}}\right)^{2}-\left({\frac {k_{z}}{k_{o}}}\right)^{2}}}\ \ \ \ \ \ \ (26)$

Si hanno dunque le otto costanti A, B, C, D, E, F, G, H da determinare, e le condizioni di continuità sono anche otto, ossia la continuità delle componenti tangenziali E _y , E _z , H _y , H _z del campo elettromagnetico per x = we per x = - w.

È necessario allo scopo esplicitare le espressioni per le componenti del campo elettromagnetico, ottenuto come sovrapposizione dei due campi TM e TE.

Si riportano le relazioni finali nella generica regione:

$E_{x}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ \ \ \ (27)$ $E_{x}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ \ \ \ (27)$ $E_{x}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ \ \ \ (27)$

$E_{y}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ \ (28)$ $E_{y}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ \ (28)$ $E_{y}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ \ (28)$

$E_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}\ \ \ \ \ \ \ (29)$ $E_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}\ \ \ \ \ \ \ (29)$ $E_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}\ \ \ \ \ \ \ (29)$

$H_{x}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ (30)$ $H_{x}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ (30)$ $H_{x}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ (30)$

$H_{y}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ (31)$ $H_{y}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ (31)$ $H_{y}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ (31)$

$H_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}\ \ \ \ (32)$ $H_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}\ \ \ \ (32)$ $H_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}\ \ \ \ (32)$

È possibile ora imporre le condizioni di continuità sulla generica interfaccia. Si ottiene nell'ordine:

$-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}}}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TE}=-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TE}$ $-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}}}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TE}=-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TE}$ $-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}}}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TE}=-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TE}$

${\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}}}\ T_{o}^{TM}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{r}\varepsilon _{o}}}T_{\varepsilon }^{TM}$ ${\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}}}\ T_{o}^{TM}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{r}\varepsilon _{o}}}T_{\varepsilon }^{TM}$ ${\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}}}\ T_{o}^{TM}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{r}\varepsilon _{o}}}T_{\varepsilon }^{TM}$

$-{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TE}=-{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TE}$ $-{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TE}=-{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TE}$ $-{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TE}=-{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TE}$

${\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}\ T_{o}^{TE}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}^{TE}$ ${\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}\ T_{o}^{TE}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}^{TE}$ ${\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}\ T_{o}^{TE}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}^{TE}$

ove i primi membri si riferiscono all'aria, i secondi membri al dielettrico.

Occorre a questo punto inserire le espressioni esplicite per le funzioni T, vale a dire le formule (19), (20) e (22)-(25).

Imponendo le quattro condizioni di continuità per x=w si possono esprimere le costanti E ed F in termini di A, B, C, D, le quali restano legate da due relazioni. Passando poi all'interfaccia x=-w si possono eliminare le costanti G ed H, e restano altre due relazioni.

È possibile adesso ricavare le espressioni delle componenti del campo elettromagnetico nella struttura in termini di A, B, C, D. Si riportano i risultati ottenuti.

Nel dielettrico (-w < x < w) si ha:

$E_{x}=\left[j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (33)$ $E_{x}=\left[j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (33)$ $E_{x}=\left[j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (33)$

$E_{y}=\left[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})-jk_{x\varepsilon }(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (34)$ $E_{y}=\left[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})-jk_{x\varepsilon }(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (34)$ $E_{y}=\left[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})-jk_{x\varepsilon }(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (34)$

$E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (35)$ $E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (35)$ $E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (35)$

$H_{x}=\left[{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})+j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (36)$ $H_{x}=\left[{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})+j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (36)$ $H_{x}=\left[{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})+j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (36)$

$H_{y}=\left[jk_{x\varepsilon }(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (37)$ $H_{y}=\left[jk_{x\varepsilon }(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (37)$ $H_{y}=\left[jk_{x\varepsilon }(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]\sin \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (37)$

$H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (38)$ $H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (38)$ $H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\cos \left({\frac {m\pi }{a}}y\right)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (38)$

Nella regione di aria a destra (x > w) si ha:

$E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (39)$ $E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(xw)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (39)$ $E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (39)$

$E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (40)$ $E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(xw)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (40)$ $E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (40)$

$E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (41)$ $E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(xw)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (41)$ $E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (41)$

$H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (42)$ $H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(xw)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (42)$ $H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (42)$

$H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (43)$ $H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(xw)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (43)$ $H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (43)$

$H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (44)$ $H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(xw)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (44)$ $H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (44)$

Infine nella regione di aria a sinistra (x < -w) si ha:

$E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {-jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (45)$ $E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {-jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (45)$ $E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {-jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (45)$

$E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (46)$ $E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (46)$ $E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (46)$

$E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (47)$ $E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (47)$ $E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (47)$

$H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{x0}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (48)$ $H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{x0}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (48)$ $H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{x0}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (48)$

$H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (49)$ $H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (49)$ $H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}\sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (49)$

$H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{jk_{xo}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (50)$ $H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{jk_{xo}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (50)$ $H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{jk_{xo}(x+w)}\cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (50)$

Tali espressioni non sono fornite direttamente dal metodo della risonanza trasversa.

Si era ottenuto un sistema omogeneo di quattro equazioni nelle quattro incognite A, B, C, D. Si avranno soluzioni non banali se e solo se il determinante dei coefficienti si annulla. Imponendo tale condizione e utilizzando le (21) e (26) si ottiene l'equazione di dispersione che fornisce i possibili valori per la costante di propagazione longitudinale k _z , per i vari modi.

L'equazione che si ottiene annullando il suddetto determinante è un'equazione del tutto generale, ossia fornisce tutte le possibili soluzioni per la struttura considerata, cioè tutti i possibili modi che si propagano nella direzione longitudinale z. Invece utilizzando il più immediato metodo della risonanza trasversa è necessario specificare se si cercano soluzioni di tipo TM oppure TE rispetto alla direzione trasversa x, in modo da poter utilizzare le espressioni note per le ammettenze caratteristiche nella linea di trasmissione equivalente.

Una volta ottenuta una soluzione per la costante di propagazione longitudinale k _z , per assegnati valori dei parametri geometrici, della frequenza e dell'indice modale m, si ottiene un determinante costituito da elementi noti e si possono trovare i valori delle incognite A, B, C, D, definite ovviamente a meno di una costante moltiplicativa arbitraria, trattandosi di un problema omogeneo. È possibile infine calcolare le componenti del campo elettromagnetico nelle tre regioni della struttura per i vari modi.

Per ottenere le frequenze di taglio dei vari modi è sufficiente porre k _z =0 nel determinante, con il che quest'ultimo si semplifica considerevolmente, e risolvere l'equazione rispetto alla frequenza.

Un'analisi più semplice, sempre sviluppando il campo come sovrapposizione di modi, si può ottenere tenendo conto dell'orientazione del campo elettrico per il modo desiderato, e bisezionando quindi la struttura con una parete perfettamente conduttrice, come è stato fatto in Fig. 3. In questo caso si hanno soltanto due regioni, si hanno da determinare sei costanti, e le condizioni a disposizione sono anche sei (continuità di E _y , E _z , H _y , H _z per x = we annullamento di E _y , E _z per x = 0).

È da notare che l'equazione di dispersione che si ottiene risulta fattorizzabile nel prodotto di due espressioni, che coincidono singolarmente con le equazioni di dispersione per i modi TM rispetto axe TE rispetto a x. L'insieme delle soluzioni è dunque costituito da queste due classi.

Riferimenti

[1] T. Yoneyama, S. Nishida, "Non radiative dielectric waveguide for millimeter-wave integrated circuits", IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-29, pp. 1188-1192, Nov. 1981.

[2] FJ Tischer, "A waveguide structure with low losses", Arch. Elekt. Ubertragung, 1953, vol. 7, p. 592.

[3] FJ Tischer, "Properties of the H-guide at microwave and millimetre-wave regions", Proc. IEE, 1959, 106 B, Suppl. 13, p. 47.

[4] AA Oliner, ST Peng, KM Sheng, "Leakage from a gap in NRD guide", Digest 1985 IEEE MTT-S, pp. 619-622.

[5] RE Collin, FJ Zucker, ed., "Antenna theory", McGraw-Hill, New York, 1969.

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica