Metode de rețea Boltzmann

În dinamica de calcul a fluidelor , metodele de rețea Boltzmann , adesea prescurtate cu acronimul LBM , din termenul englezesc Lattice Boltzmann metode , sunt un set de tehnici (CFD) utilizate pentru simularea fluidelor. În loc să rezolve ecuațiile Navier-Stokes , ecuația Boltzmann este rezolvată pentru a simula fluxul unui fluid newtonian folosind modele de coliziune , cum ar fi metoda Bhatnagar-Gross-Krook (BGK). Simulând interacțiunea unui număr limitat de particule, comportamentul fluxului vâscos apare automat din mișcarea intrinsecă a particulelor în sine și din procesele de coliziune rezultate.

Algoritm

LBM este o tehnică de simulare relativ nouă pentru sisteme complexe de dinamică a fluidelor și a atras interesul cercetătorilor care folosesc fizica calculațională. Spre deosebire de metodele tradiționale, care rezolvă numeric ecuațiile de conservare a proprietăților macroscopice (cum ar fi masa, impulsul și energia), în modelele de rețea ale lui Boltzmann fluidul este alcătuit din particule fictive, iar aceste particule operează procese consecutive. Propagare și coliziune, grilă reticulară discretă. Datorită acestei particule și a proceselor dinamice locale, LBM-urile au mai multe avantaje față de metodele convenționale CFD, mai ales atunci când se ocupă de margini complexe, se adaugă interacțiuni microscopice și se paralelizează algoritmul. O interpretare diferită a ecuației Boltzmann este ecuația Boltzmann cu viteză discretă. Metodele numerice pentru soluționarea sistemului de ecuații diferențiale parțiale generează în acest caz o hartă discretă, care poate fi interpretată ca propagări și coliziuni de particule fictive.

Evoluție din metodele LGA

LBM sunt o derivare a metodei automatelor de gaz din latex (LGA), care poate fi considerată un model simplificat al dinamicii moleculare fictive în care spațiul, timpul și viteza particulelor sunt valori discrete. Fiecare nod de rețea este conectat la vecinii săi prin intermediul a 6 viteze de rețea, de exemplu prin intermediul modelului hexagonal FHP. Pot exista 0 sau 1 particulă pe nod care se mișcă într-o direcție de rețea. După un interval de timp, fiecare particulă se va deplasa către nodul vecin, în funcție de direcția sa: acest proces se numește etapa de propagare sau flux. Când mai multe particule ajung pe același nod din direcții diferite, ele se ciocnesc și își schimbă direcțiile în conformitate cu un set de reguli de coliziune. Regulile adecvate de coliziune ar trebui să păstreze numărul de particule (adică masa), impulsul și energia înainte și după coliziune. Cu toate acestea, sa constatat că LGA-urile suferă de mai multe defecte intrinseci: pierderea relativității galileene , zgomotul statistic, complexitatea exponențială pentru rețelele tridimensionale etc.

Motivul principal al tranziției de la LGAs la LBMs a fost dorința de a elimina zgomotul statistic prin înlocuirea numărului boolean de particule într-o direcție a rețelei cu media sa totală, așa-numita funcție de distribuție a densității. În plus față de această înlocuire, regula de coliziune discretă este înlocuită de o funcție continuă cunoscută sub numele de operator de coliziune. În evoluția LBM-urilor, o simplificare importantă a fost aproximarea operatorului de coliziune cu termenul de relaxare Bhatnagar-Gross-Krook (BGK). Acest model de rețea BGK (latex BGK, LBGK) face simulările mai eficiente și permite flexibilitatea coeficienților de transport. Pe de altă parte, s-a demonstrat că schema LBM poate fi considerată și ca o formă specială discretizată a ecuației continue a lui Boltzmann. Prin aproximarea Chapman-Enskog ^[1] , continuitatea principală și ecuațiile Navier-Stokes pot fi derivate din algoritmul LBM. În plus, valoarea presiunii este, de asemenea, direct derivabilă din distribuțiile densității și, prin urmare, nu există alte ecuații Poisson de rezolvat, ca în metodele tradiționale CFD.

Tipuri de rețele și clasificare DnQm

Modelele de rețea Boltzmann pot funcționa pe diferite tipuri de rețele, atât cubice, cât și triunghiulare, cu sau fără particule rămase în funcția de distribuție discretă.

Un mod tipic de clasificare a diferitelor metode care utilizează o rețea este schema DnQm. „Dn” înseamnă „n dimensiuni” în timp ce „Qm” înseamnă „m viteză”. De exemplu, D3Q15 este un model tridimensional de rețea Boltzmann pe o rețea cubică, cu particule rămase. Fiecare nod are forma unui cristal și poate trimite particule către fiecare dintre cele șase noduri vecine care își împart suprafața, către cele opt noduri vecine care își împart marginile și către sine. ^[2] (Modelul D3Q15 nu ia în considerare particulele care se deplasează către nodurile al doisprezecelea învecinate care au o latură; adăugarea la acestea ar duce la un model "D3Q27".)

Cantitățile reale, cum ar fi spațiul și timpul, trebuie convertite în unități de rețea înainte de simulare. Cantități fără dimensiuni, cum ar fi numărul Reynolds, rămân aceleași.

Unități de conversie cu rețea

În majoritatea simulărilor de latex Boltzmann $\Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ este unitatea de bază pentru spațierea rețelelor; în acest fel dacă domeniul reprezentat de $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ cm are $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ unități de zăbrele pe toată lungimea sa, atunci unitatea de spațiu este pur și simplu definită ca $\Delta x=L/N$ ${\ displaystyle \ Delta x = L / N}$ ${\ displaystyle \ Delta x = L / N}$ . De obicei, în simulările de rețea Boltzmann, vitezele sunt date în termeni de viteză a sunetului. Unitatea de timp discret poate fi, prin urmare, definită ca $\Delta t={\frac {\Delta x}{C_{s}}}$ ${\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {\ Delta x} {C_ {s}}}}$ ${\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {\ Delta x} {C_ {s}}}}$ , unde numitorul $C_{s}$ ${\ displaystyle C_ {s}}$ ${\ displaystyle C_ {s}}$ reprezintă exact viteza sunetului. ^[3]

Pentru fluxurile la scară mică (cum ar fi cele prezente în materialele poroase ), lucrul cu viteza reală a sunetului poate duce la pași de timp inacceptabili, deoarece au o durată prea scurtă. Prin urmare, este o practică obișnuită creșterea numărului Mach al rețelei la ceva mai mare decât numărul Mach real, compensând totodată vâscozitatea pentru a păstra numărul Reynolds . ^[4]

Simularea amestecurilor

Simularea fluxurilor compuse sau multifazice a fost întotdeauna o provocare pentru CFD-urile tradiționale datorită mobilității și deformabilității interfețelor . Mai exact, interfețele dintre diferite faze ( lichide și gazoase ) sau componente (de exemplu ulei și apă ) provenite din interacțiunile specifice dintre moleculele fluidului. Prin urmare, este dificil să implementăm astfel de interacțiuni microscopice în ecuația macroscopică Navier-Stokes. Cu toate acestea, în LBM, energia cinetică a particulelor oferă o metodă relativ ușoară și consistentă de a încorpora aceste interacțiuni microscopice implicite prin modificarea operatorului de coliziune. Au fost dezvoltate mai multe modele LBM multifazate / multicomponente. În acestea, separarea fazelor este generată automat de dinamica particulelor și nu este necesar un tratament special pentru manipularea interfețelor, așa cum era necesar în metodele tradiționale CFD. Aplicațiile de succes ale modelelor LBM multifazate / multicomponente pot fi găsite în diverse sisteme complexe de fluide, cum ar fi instabilitatea interfeței, dinamica bulei / picăturilor , umectarea pe suprafețe solide, alunecarea interfeței și deformările picăturilor electrodinamice.

Limite

În ciuda marelui succes al LBM-urilor în simularea sistemelor complexe de fluide, această nouă abordare are unele limitări. În acest moment, fluxurile aerodinamice cu un număr mare de Mach sunt încă dificile pentru LBM și o schemă termo-hidrodinamică consistentă este încă absentă. Cu toate acestea, la fel ca CFD-urile bazate pe Navier - Stokes, LBM-urile au fost utilizate cu succes împreună cu soluții termice specifice pentru a permite simularea transferurilor de căldură (conducție, convecție și radiații pe solide). Pentru modelele multifazice / multicomponente, grosimea interfeței este de obicei mare, iar raportul dintre densitate și interfață este mic în comparație cu fluidele reale. Cu toate acestea, numeroasele aplicații și progresele rapide ale acestei metode în ultimii 20 de ani și-au demonstrat potențialul în fizica calculațională, inclusiv în microfluidică: LBM-urile prezintă rezultate promițătoare în domeniul fluidelor cu un număr Knudsen ridicat (definit prin raportul dintre media liberă) cale între molecule și o scară de lungime geometrică).

Detalii matematice

Ecuația Boltzmann este evoluția unei ecuații pentru o funcție de distribuție a probabilității pentru o singură particulă $f(x,v,t)$ ${\ displaystyle f (x, v, t)}$ ${\ displaystyle f (x, v, t)}$ :

\partial _{t}f+v\partial _{x}f+F\partial _{v}f=\Omega \

{\ displaystyle \ partial _ {t} f + v \ partial _ {x} f + F \ partial _ {v} f = \ Omega \}

{\ displaystyle \ partial _ {t} f + v \ partial _ {x} f + F \ partial _ {v} f = \ Omega \}

unde este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o forță externă și $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este o integrală de coliziune. Metoda rețelei Boltzmann discretizează această ecuație limitând spațiul pe o rețea și spațiul vitezei pe un set discret de viteze $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ . Ecuația Boltzmann discretizată, care este ecuația rețelei Boltzmann, va fi apoi scrisă:

f_{i}(x+v_{i},t+1)-f(x,t)+F_{i}=\Omega \

{\ displaystyle f_ {i} (x + v_ {i}, t + 1) -f (x, t) + F_ {i} = \ Omega \}

{\ displaystyle f_ {i} (x + v_ {i}, t + 1) -f (x, t) + F_ {i} = \ Omega \}

Operatorul de coliziune este adesea aproximat de un operator de coliziune BGK:

\Omega ={\frac {1}{\tau }}(f_{i}^{0}-f_{i})\

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {\ tau}} (f_ {i} ^ {0} -f_ {i}) \}

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {\ tau}} (f_ {i} ^ {0} -f_ {i}) \}

unde este $f_{i}^{0}$ ${\ displaystyle f_ {i} ^ {0}}$ ${\ displaystyle f_ {i} ^ {0}}$ este distribuția de echilibru local.

Momentele de $f_{i}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ $f_ {i}$ ele furnizează cantitățile locale conservate. Densitatea este dată de

\rho =\sum _{i}f_{i}\

{\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} f_ {i} \}

{\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} f_ {i} \}

iar momentul local este dat de

\rho u=\sum _{i}f_{i}v_{i}.\

{\ displaystyle \ rho u = \ sum _ {i} f_ {i} v_ {i}. \}

{\ displaystyle \ rho u = \ sum _ {i} f_ {i} v_ {i}. \}

Pentru metodele tipice de latex Boltzmann izoterme acestea sunt singurele cantități care se păstrează. Modelele termice conservă, de asemenea, energia și, prin urmare, au o cantitate suplimentară de conservare:

\rho \theta +\rho uu=\sum _{i}f_{i}v_{i}v_{i}.\

{\ displaystyle \ rho \ theta + \ rho uu = \ sum _ {i} f_ {i} v_ {i} v_ {i}. \}

{\ displaystyle \ rho \ theta + \ rho uu = \ sum _ {i} f_ {i} v_ {i} v_ {i}. \}

Operatorul de coliziune trebuie să respecte legile de conservare. De aici și distribuția de echilibru $f_{i}^{0}$ ${\ displaystyle f_ {i} ^ {0}}$ ${\ displaystyle f_ {i} ^ {0}}$ trebuie să aibă aceleași momente conservatoare ca și $f_{i}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ $f_ {i}$ .

Software

XFlow : Noua generație de software CFD care utilizează LBM.
Biblioteca de simulare avansată : Cod sursă deschisă Boltzmann Lattice în C ++ (/ OpenCL)
El'Beem : cod CFD gratuit (GPL) folosind LBM
J-Lattice-Boltzmann : applet Java interactiv pentru experimentarea cu LBM
Exemple C : Câteva exemple simple în C din LBM.
OpenLB : Cod sursă deschis pe rețeaua Boltzmann
waLBerla : software open source pe rețeaua Boltzmann în C ++

Notă

^ Wolf-Gladrow, cap. 4.2.3 .
^ Succi, p. 68
^ Succi, Anexa D (p. 261-262)
^ Succi, capitolele 8.3, p. 117-119

linkuri externe

XFlow : Noua generație de software CFD care utilizează LBM pe orice aplicație industrială.
LBMethod.org : Site web cu diverse resurse pe LBM și forum atașat.
Metoda LBM , pe science.uva.nl . Adus pe 2 iulie 2009 (depus de 'url original 12 noiembrie 2008).
Rezumatul metodelor de latex Boltzmann ( PDF ), la physics.ndsu.edu . Accesat la 2 iulie 2009 (arhivat din original la 15 februarie 2010) .
Lista de corespondență latex Boltzmann , la lstm.uni-erlangen.de . Accesat la 2 iulie 2009 (arhivat din original la 14 iunie 2007) .
Site-ul web al seriei anuale de conferințe DSFD (1986 până în prezent), unde se discută teoria și aplicarea metodei rețelei Boltzmann. , pe dsfd.org .
Site-ul web al conferinței anuale ICMMES despre metodele de latex Boltzmann și aplicațiile acestora. , pe icmmes.org .

Lecturi suplimentare

Deutsch, Andreas și Sabine Dormann, Modelarea automată celulară a formării modelelor biologice , Birkhäuser , 2004, ISBN 978-0-8176-4281-5 .
Succi, Sauro, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond , Oxford University Press , 2001, ISBN 0-19-850398-9 .
Wolf-Gladrow, Dieter, Lattice-Gas Cellular Automates și Lattice Boltzmann Models , Springer Verlag , 2000, ISBN 978-3-540-66973-9 .
Sukop, Michael C. și Daniel T. Thorne, Jr., Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers , Springer , 2007, ISBN 978-3-540-27981-5 .
Jian Guo Zhou, Lattice Boltzmann Methods for Shallow Water Debits , Springer , 2004, ISBN 3-540-40746-4 .

[1] Wolf-Gladrow, cap. 4.2.3 .

[2] Succi, p. 68

[3] Succi, Anexa D (p. 261-262)

[4] Succi, capitolele 8.3, p. 117-119

[1]

[2]

[3]

[4]