Enuptă

În matematică definim tuplu (de asemenea scris n-tuplu sau n-tuplu), tuplu sau un tuplu mai bine ordonat, o colecție sau o listă ordonată de n lucruri. Se spune că astfel de obiecte aparțin tuplului și sunt numite și elemente sau membri ale tuplului.

Un n-pla ordonat se distinge de un set de n elemente prin aceea că nu este dată nicio ordine între elementele unui set. În plus, elementele unui tuplu pot fi, de asemenea, repetate.

Pentru a menține notațiile n-plurilor distincte de cele ale mulțimilor, primele sunt de obicei scrise între paranteze rotunde sau acute:

\langle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\rangle =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})

{\ displaystyle \ langle a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n} \ rangle = (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n})}

\ langle a_1, a_2, \ cdots, a_n \ rangle = (a_1, a_2, \ cdots, a_n)

Deoarece n-pla este o listă ordonată , în general pentru fiecare element este posibil să se spună dacă este primul, al doilea, al treilea etc., până la al n-lea. Invers, dat un n-pla, pentru fiecare k < n putem spune care este elementul k-mo al n-pla.

De aici proprietatea principală a n-ples, conform căreia două n-ples sunt egale dacă și numai dacă termenii corespunzători sunt egali în funcție de ordonare, adică:

(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\quad \Leftrightarrow \quad \forall k\leq n,\;a_{k}=b_{k}

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}) = (b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {n}) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ forall k \ leq n, \; a_ {k} = b_ {k}}

(a_1, a_2, \ cdots, a_n) = (b_1, b_2, \ cdots, b_n) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ forall k \ leq n, \; a_k = b_k

În practica matematică, avem tendința de a folosi termenul tupluri sau tupluri în special pentru secvențe ale căror termeni sunt practic în număr fix și natura neomogenă, preferând termenii secvență sau secvență finită sau șir pentru elemente aparținând aceluiași set și într-un număr arbitrar. Primul este identificat ca un element al produsului cartezian printre mai multe seturi; secvența finită ca aplicație de la {1, 2, ..., n } ( n ≥ 0) la orice set S.

Definiție

Definiția n-pla ordonată se obține recursiv observând că, dacă avem ordonată definiția (n-1) -pla, putem defini n-pla ordonat ca perechea ordonată constituită de primul element al n-pla și din (n-1) -pla constând din restul elementelor n-1:

(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}):=(a_{1},(a_{2},\cdots ,a_{n}))

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}): = (a_ {1}, (a_ {2}, \ cdots, a_ {n}))}

(a_1, a_2, \ cdots, a_n): = (a_1, (a_2, \ cdots, a_n))

Se arată imediat că această definiție este satisfăcătoare, întrucât îndeplinește condiția de egalitate de mai sus.

În acest fel, definiția n-pla ordonată este trasată recursiv la definiția perechii ordonate .

Tupluri și seturi

Deși conceptul de tupl ordonat poate părea extrem de simplu și intuitiv, la fel ca și cel de listă ordonată, este unul dintre acele concepte care au ridicat cele mai mari dificultăți în contextul formulării riguroase a matematicii. De fapt, dacă urmărim scopul de a întemeia toată matematica pe un singur concept primitiv și dorim ca acest concept primitiv să fie cel al mulțimii, atunci și tuplul ordonat trebuie definit pornind doar de la conceptul de mulțime. Și aceasta este o problemă departe de a fi banală.

Pentru a produce o definiție satisfăcătoare a unui tupl ordonat, adică capabil să înțelege ceea ce se înțelege intuitiv prin acel termen, trebuie mai întâi să definim proprietățile fundamentale care trebuie să caracterizeze tuplul ordonat și, în special, acele proprietăți care îi permit să fie distins de un set.

Când elementele unui anumit set sunt explicite, fiecare element este listat o singură dată și, mai presus de toate, ordinea în care sunt listate elementele nu contează. De exemplu, dacă cineva întreabă care sunt soțiile lui Henric al VIII-lea , răspunsul poate fi furnizat compunând următorul set:

{ Anna Bolena , Caterina Howard , Catherine of Aragon , Anne of Clèves , Jane Seymour , Caterina Parr }

În ansamblu, există efectiv toate cele șase soții ale lui Henric al VIII-lea, deci constituie un răspuns cuprinzător la întrebarea care a fost pusă. Dar dacă este adevărat că acesta este într-adevăr ansamblul soțiilor lui Henry, este de asemenea adevărat că acestea nu sunt aranjate conform ordinii în care s-au căsătorit. Din acest motiv, problema se schimbă complet dacă cineva întreabă care a fost secvența (sau succesiunea ) soțiilor lui Henric al VIII-lea. În acest caz, nu ar fi suficient să se enumere elementele setului de soții, dar ar trebui să se poată spune care a fost prima, a doua, a treia și așa mai departe.

Faptul că atunci când elementele unui set sunt explicate oral sau în scris, trebuie urmată o anumită secvență, deoarece limbajul uman este secvențial, ar putea sugera că seturile sunt întotdeauna date într-o anumită succesiune (sau succesiune). este pur și simplu o chestiune de a oferi succesiunea „corectă”. Dacă acesta ar fi cazul, ar fi suficient să „rearanjăm” pur și simplu setul explicat mai sus începând de la prima soție și continuând cu următoarele. În realitate, însă, nu există nimic în conceptul de set care să amintească o ordine și, dacă vrem să reprezentăm un set, ar trebui să-l reprezentăm mai degrabă ca un set de obiecte împrăștiate pe un plan sau, în orice caz, într-un spațiu neordonat. . În exemplul considerat mai sus, setul soțiilor lui Enrico ar putea fi imaginat ca un ansamblu de șase imagini împrăștiate pe un birou, cu un nume pe el. Sau te-ai putea gândi la o pungă în care au fost așezate bile, fiecare dintre ele conținând un nume.

Problema definirii unei secvențe ordonate pornind numai și numai de la conceptul de ansamblu poate fi, prin urmare, legată de problema de a putea descrie succesiunea soțiilor lui Henry, având doar pungi care conțin bilete care conțin nume, când nici bilele, nici sacii poate fi comandat în orice mod. De exemplu, vă puteți imagina că trebuie să pregătiți pungile, apoi să puneți toate pungile într-o pungă mai mare, asigurându-vă că oricine deschide punga este capabil să reconstruiască, pornind doar de la conținutul pungilor, care a fost secvența pungilor. soțiile lui Henric al VIII-lea.

Soluția acestei probleme a fost găsită pentru prima dată de Norbert Wiener în 1914 , iar câțiva ani mai târziu Kazimierz Kuratowski a găsit o soluție similară, dar mai elegantă.

Să presupunem că vrem să indicăm, într-un mod convențional, că prima soție a lui Henric al VIII-lea a fost Ecaterina de Aragon. Apoi, puteți pregăti o singură pungă, cu o minge în interior care conține numele Ecaterinei de Aragon. În acest fel, oricine deschide geanta - dacă știe convenția care se folosește - va înțelege că a existat un moment în care singura soție a lui Henry era sau fusese Catherine de Aragon. Dacă aceasta este singura pungă dintre mulți care conține un singur nume, atunci nu contează unde se află între toate celelalte: simpla existență a pungii printre toate celelalte va fi suficientă pentru a comunica că prima soție a fost Ecaterina de Aragon . O pungă cu un singur nume reprezintă în mod evident un set care conține un singur element, deci primul set de compus este acesta:

{Ecaterina de Aragon}

Apoi, dacă doriți să comunicați că a doua soție a fost Anna Bolena, atunci nu puteți pregăti o geantă doar cu mingea Anna Bolena, deoarece - așa cum am spus - în acest caz nu ar mai fi posibil să folosiți geanta cu o singură minge. pentru a indica prima soție. În schimb, va fi necesar să pregătiți o pungă cu două bile, una conținând (din nou) numele Catherinei de Aragon, iar cealaltă conținând numele Anna Bolena. Dacă aceasta este singura geantă cu două bile, oricine o găsește va înțelege că a existat un moment în care singurele două soții ale lui Henry au fost sau au fost Catherine de Aragon și Anna Bolena și au găsit deja geanta cu o singură minge de Catherine of Aragon , va deduce că Anna Bolena a fost a doua soție. Această a doua pungă corespunde următorului set:

{Ecaterina de Aragon, Anna Bolena}

În acest moment aveți deja tot ce aveți nevoie pentru a descrie cuplul ordonat al primelor două soții ale lui Henric al VIII-lea. De fapt, este suficient să puneți aceste două pungi într-o pungă mai mare și să livrați totul oricui este responsabil. Geanta mai mare înseamnă în mod evident un set care conține cele două seturi anterioare, adică:

{{Catherine of Aragon}, {Catherine of Aragon, Anna Bolena}}

Procedând astfel, folosind numai și exclusiv seturi, suntem capabili să exprimăm toate informațiile conținute într-o pereche ordonată.

Apoi este necesar să se pregătească o a treia pungă, din care se poate deduce că a treia soție a fost Jane Seymour și așa mai departe. Există diverse modalități de a proceda în practică, dar întrucât toată această discuție vizează o problemă matematică, se poate exploata posibilitatea de a exprima cu seturi toate informațiile necesare pentru a defini o pereche ordonată. De fapt, dacă perechea ordonată (a, b) a elementelor unei mulțimi A poate fi exprimată în termeni de mulțimi, atunci un triplu ordonat (a, b, c) poate fi exprimat ca o pereche ordonată de doi termeni, unul dintre care este un termen de A, iar celălalt este o pereche ordonată de termeni de A. Este o problemă de stabilire:

(a, b, c) = (a, (b, c))

și așa mai departe pentru secvențe mai mari ordonate.

Etimologie

Același subiect în detaliu: Număr adjectiv § Etimologie și paralele .

Termenul n-pla este obținut ca o generalizare a numerelor multiplicative triple , quadruple , quintuple ... multiple , care derivă din termeni analogi latini cu sufixe în -plus sau termeni greci cu sufixe în -ploos . Aceste sufixe derivă la rândul lor dintr-o rădăcină indo-europeană din care derivă majoritatea adjectivelor și substantivelor multiplicative ale limbilor indo-europene.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4660884-9

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică