Unda cnoidală

Soluția unei unde knoidale pentru ecuația Korteweg - de Vries, în ceea ce privește pătratul funcției eliptice Jacobi " cn " cu parametrul elipticității

m=0,9

{\ displaystyle m = 0.9}

{\ displaystyle m = 0.9}

.

În dinamica fluidelor , o undă knoidală este o soluție neliniară , exactă și periodică a ecuației Korteweg-de Vries . Aceste soluții sunt în termeni de funcții eliptice Jacobi „ cn ”, motiv pentru care sunt desemnate ca unde chnoidale . Acestea sunt folosite pentru a descrie unde gravitaționale de suprafață cu lungime de undă relativ mare în raport cu adâncimea apei.

Soluțiile de unde cnoidale au fost derivate de la Diederik Korteweg și Gustav de Vries în lucrarea lor din 1895 în care au propus și ecuația lor dispersivă a undelor lungi, cunoscută acum sub numele de ecuația Korteweg - de Vries. În cazul unei limite de lungime de undă infinită, unda cnoidală devine unda solitară de translație sau soliton .

Ecuația Benjamin - Bona - Mahony a îmbunătățit comportamentul la lungimi de undă scurte în comparație cu ecuația Korteweg - de Vries și reprezintă un alt caz al unei ecuații de undă unidirecțională cu soluții de undă cnoidală. Mai mult, din moment ce ecuația Korteweg-de Vries este o aproximare a ecuației Boussinesq pentru propagarea undelor unidirecționale, undele cnoidale sunt soluții aproximative ale ecuațiilor Boussinesq .

Soluțiile de undă cnoidală pot apărea și în alte aplicații în afară de undele gravitaționale de suprafață, cum ar fi descrierea undelor acustice ionice în fizica plasmei . ^[1]

Soluții cnoidale ale ecuației Korteweg-de Vries

Profilurile undei cnoidale pentru valorile parametrului eliptic m .

albastru deschis	: m = 0,
roșu	: m = 0,9
negru	: m = 0,99999.

Soluțiile de unde knoidale ale ecuației Korteweg-de Vries (prescurtate în KdV) au fost prezentate de Korteweg și de Vries în 1895 în publicația lor pe baza tezei de Vries din 1894. ^[2] Soluțiile de unde solitare pentru unde lungi neliniare și dispersive au avut găsit deja anterior de Boussinesq în 1872 și de Rayleigh în 1876. Căutarea acestor soluții fusese declanșată de observațiile lui Russell asupra undei solitare (sau undei de traducere), atât în natură, cât în experimentele de laborator. ^[3] Soluțiile de undă knoidală ale ecuației KdV sunt stabile în ceea ce privește perturbările mici. ^[4]

Cota de suprafață η ( x , t ), în funcție de poziția orizontală x și de timpul t , pentru o undă knoidală este dată de: ^[5]

\eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle 2\,K(m)\,{\frac {x-c\,t}{\lambda }}&m\end{array}}\right),

{\ displaystyle \ eta (x, t) = \ eta _ {2} + H \, \ operatorname {cn} ^ {2} \, \ left ({\ begin {array} {c | c} \ displaystyle 2 \ , K (m) \, {\ frac {xc \, t} {\ lambda}} & m \ end {array}} \ right),}

{\ displaystyle \ eta (x, t) = \ eta _ {2} + H \, \ operatorname {cn} ^ {2} \, \ left ({\ begin {array} {c | c} \ displaystyle 2 \ , K (m) \, {\ frac {xc \, t} {\ lambda}} & m \ end {array}} \ right),}

unde H este amplitudinea undei, λ este lungimea de undă , c este viteza de fază și η ₂ este cota de la o burtă. Mai mult, „ cn ” este una dintre funcțiile eliptice ale lui Jacobi și K ( m ) este integralul eliptic complet de primul fel ; ambele depind de parametrul eliptic m , care determină forma undei knoidale. Pentru m egal cu zero, unda knoidală devine o funcție cosinus, în timp ce pentru valori apropiate de unda unda capătă creste accentuate și burți aproape plate. Pentru valori de m mai mici de 0,95 funcția cnoidală poate fi aproximată cu funcții trigonometrice. ^[6]

Un parametru important adimensional pentru undele lungi neliniare ( λ ≫ h ) este parametrul Ursell :

U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {H}{h}}\,\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}.

{\ displaystyle U = {\ frac {H \, \ lambda ^ {2}} {h ^ {3}}} = {\ frac {H} {h}} \, \ left ({\ frac {\ lambda} {h}} \ right) ^ {2}.}

{\ displaystyle U = {\ frac {H \, \ lambda ^ {2}} {h ^ {3}}} = {\ frac {H} {h}} \, \ left ({\ frac {\ lambda} {h}} \ right) ^ {2}.}

Pentru valori U mici, cum ar fi U <5, ^[7] poate fi utilizată o teorie liniară, în timp ce la valori mai mari este necesar să se recurgă la teorii neliniare, cum ar fi teoria undelor cnoidale. Zona de demarcație între teoriile lui Stokes de ordinul trei sau cinci și undele cnoidale se află în intervalul 10-25 al parametrului Ursell. ^[8] După cum se poate vedea din formula parametrului Ursell, pentru o lungime de undă relativă H / h parametrul Ursell (și, în consecință, neliniaritatea) crește rapid pe măsură ce lungimea de undă relativă λ crește / h .

Pe baza analizei problemei total neliniare a undelor gravitaționale de suprafață în cadrul teoriei fluxului potențial , undele cnoidale pot fi considerate cel mai mic termen dintr-o serie de perturbații. Teoriile unde cnoidale de ordin superior rămân valabile pentru unde scurte și mai neliniare. O teorie , pentru a cincea a undelor cnoidal a fost dezvoltat în 1979 de către Fenton, ^[9] , care face , de asemenea , o descriere detaliată și comparație între teoriile cincea ordine ale Stokes și valuri cnoidal. ^[10]

Descrierile valurilor cnoidale, prin renormalizare, se potrivesc bine și cu valurile de adâncime, așa cum a constatat Clamond. ^[11] ^[12] O descriere a interacțiunilor valurilor cnoidale în apele puțin adânci, așa cum este cazul în mările reale, a fost dată de Osborne în 1914. ^[13]

Notă

^ MV Nezlin, Fizica fasciculelor intense în plasme , CRC Press, 1993, p. 205, ISBN 0-7503-0186-4 .
^ de Jager EM, 2006, Despre originea ecuației Korteweg - de Vries , arΧiv :math.HO / 0602661v1
^ Dingemans (1997) pp. 689–691.
^ PG Drazin, Despre stabilitatea undelor cnoidale , în Jurnal trimestrial de mecanică și matematică aplicată , vol. 30, n. 1, 1977, pp. 91-105, DOI : 10.1093 / qjmam / 30.1.91 .
^ Dingemans (1997) pp. 708–715.
^ Yunfeng Xu, Xiaohe Xia și Jianhua Wang, Calculul și aproximarea funcției cnoidale în teoria undelor cnoidale , în Computers & Fluids , vol. 68, 2012, pp. 244–247, DOI :10.1016 / j.compfluid.2012.07.012 .
^ Deoarece parametrul Ursell indică faptul că teoria liniară este aplicabilă atunci când U «32 π ^2/3 ≈ 100 a fost normalizată.
^ RM Sorensen, Mecanica de undă de bază: pentru inginerii de coastă și ocean , Wiley-Interscience, 1993, ISBN 0-471-55165-1 . , p. 61.
^ JD Fenton, O teorie a undelor cnoidale de ordin înalt , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 94, nr. 1, 1979, pp. 129–161, Bibcode : 1979JFM .... 94..129F , DOI : 10.1017 / S0022112079000975 .
^ JD Fenton, Ocean Engineering Science , editat de B. Le Méhauté și DM Hanes, The Sea, 9A, Wiley Interscience, 1990, pp. 3-25.
^ D. Clamond, unde cu amplitudine finită constantă pe un fund orizontal de adâncime arbitrară , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 398, 1999, pp. 45–60, DOI : 10.1017 / S0022112099006151 .
^ D. Clamond, unde de suprafață de tip Cnoidal în apă adâncă , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 489, 2003, pp. 101–120, Bibcode : 2003JFM ... 489..101C , DOI : 10.1017 / S0022112003005111 .
^ AR Osborne, interacțiunile undelor cnoidale de apă superficială , în Procesele neliniare în geofizică , vol. 1, nr. 4, 1994, pp. 241-251, DOI : 10.5194 / npg-1-241-1994 .

Bibliografie

TB Benjamin , JL Bona și JJ Mahony, ecuații model pentru valuri lungi în sisteme dispersive neliniare , în Tranzacțiile filozofice ale Societății Regale din Londra. Seria A, Științe matematice și fizice , vol. 272, nr. 1220, 1972, pp. 47–78, Bibcode : 1972RSPTA.272 ... 47B , DOI : 10.1098 / rsta.1972.0032 , JSTOR 74079 .
MW Dingemans, propagarea valurilor pe funduri inegale , Advanced Series on Ocean Engineering 13 , World Scientific, Singapore, 1997, ISBN 981-02-0427-2 . Adus la 27 februarie 2016 (arhivat din original la 8 februarie 2012) . A se vedea partea 2, capitolul 6 .
DJ Korteweg și G. de Vries , Despre schimbarea formei undelor lungi care avansează într-un canal dreptunghiular și asupra unui nou tip de unde staționare lungi , în Revista filozofică , vol. 39, 1895, pp. 422–443, DOI : 10.1080 / 14786449508620739 .
TB Benjamin și MJ Lighthill , Pe valuri și alezaje cnoidale , în Proceedings of the Royal Society of London. Seria A, Științe matematice și fizice , vol. 224, nr. 1159, 1954, pp. 448–460, Bibcode : 1954RSPSA.224..448B , DOI : 10.1098 / rspa.1954.0172 .
PG Drazin și RS Johnson, Solitons: an introduction , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-33655-4 .
JD Fenton, A high-order cnoidal wave theory , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 94, nr. 1, 1979, pp. 129–161, Bibcode : 1979JFM .... 94..129F , DOI : 10.1017 / S0022112079000975 .
GH Keulegan și GW Patterson, Teoria matematică a undelor de traducere irotaționale , în Jurnalul de Cercetări al Biroului Național de Standarde , vol. 24, ianuarie 1940, pp. 47-101, DOI : 10.6028 / jres.024.027 .
JW Miles , Ecuația Korteweg - de Vries: un eseu istoric , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 106, 1981, pp. 131–147, Bibcode : 1981JFM ... 106..131M , DOI : 10.1017 / S0022112081001559 .
JV Wehausen și EV Laitone, Undele de suprafață , în S. Flügge și C. Truesdell (eds), Encyclopedia of Physics , IX, Springer Verlag, 1960, pp. 446–778. Adus la 27 februarie 2016 (arhivat din original la 5 ianuarie 2009) . , vezi pp. 702–714 pentru unde cnoidale
RL Wiegel, O prezentare a teoriei undelor cnoidale pentru aplicare practică , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 7, nr. 2, 1960, pp. 273-286, Bibcode : 1960JFM ..... 7..273W , DOI : 10.1017 / S0022112060001481 .

Elemente conexe

Portalul Științelor Pământului : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu Științele Pământului

[1] MV Nezlin, Fizica fasciculelor intense în plasme , CRC Press, 1993, p. 205, ISBN 0-7503-0186-4 .

[2] Jager EM, 2006, Despre originea ecuației Korteweg - de Vries , arΧiv :math.HO / 0602661v1

[Dingemans_689-3] Dingemans (1997) pp. 689–691.

[4] PG Drazin, Despre stabilitatea undelor cnoidale , în Jurnal trimestrial de mecanică și matematică aplicată , vol. 30, n. 1, 1977, pp. 91-105, DOI : 10.1093 / qjmam / 30.1.91 .

[Dingemans_708-5] Dingemans (1997) pp. 708–715.

[6] Yunfeng Xu, Xiaohe Xia și Jianhua Wang, Calculul și aproximarea funcției cnoidale în teoria undelor cnoidale , în Computers & Fluids , vol. 68, 2012, pp. 244–247, DOI :10.1016 / j.compfluid.2012.07.012 .

[7] Deoarece parametrul Ursell indică faptul că teoria liniară este aplicabilă atunci când U «32 π ^2/3 ≈ 100 a fost normalizată.

[8] RM Sorensen, Mecanica de undă de bază: pentru inginerii de coastă și ocean , Wiley-Interscience, 1993, ISBN 0-471-55165-1 . , p. 61.

[9] JD Fenton, O teorie a undelor cnoidale de ordin înalt , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 94, nr. 1, 1979, pp. 129–161, Bibcode : 1979JFM .... 94..129F , DOI : 10.1017 / S0022112079000975 .

[10] JD Fenton, Ocean Engineering Science , editat de B. Le Méhauté și DM Hanes, The Sea, 9A, Wiley Interscience, 1990, pp. 3-25.

[11] D. Clamond, unde cu amplitudine finită constantă pe un fund orizontal de adâncime arbitrară , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 398, 1999, pp. 45–60, DOI : 10.1017 / S0022112099006151 .

[12] D. Clamond, unde de suprafață de tip Cnoidal în apă adâncă , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 489, 2003, pp. 101–120, Bibcode : 2003JFM ... 489..101C , DOI : 10.1017 / S0022112003005111 .

[13] AR Osborne, interacțiunile undelor cnoidale de apă superficială , în Procesele neliniare în geofizică , vol. 1, nr. 4, 1994, pp. 241-251, DOI : 10.5194 / npg-1-241-1994 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]