Fluxul potențial

În dinamica fluidelor , teoria fluxului potențial descrie câmpul vitezei ca gradient al unei funcții scalare numite potențial . În consecință, un flux potențial este caracterizat de un câmp de viteză irotațională , care este o aproximare validă pentru diferite aplicații, atât în condiții staționare, cât și non-staționare. Rotația unui debit potențial se datorează faptului că rotorul unui gradient este întotdeauna zero.

În cazul unui flux incompresibil (în multe texte tehnice este raportată și dicția incompresibilă ), potențialul satisface ecuația Laplace . Pe de altă parte, teoria potențială a fost folosită și pentru a descrie fluxurile compresibile. Abordarea poate modela, de asemenea, atât fluxurile staționare, cât și fluxurile instabile.

Aplicațiile schematizării debitului potențial sunt, de exemplu: fluxurile externe pe suprafețe aerodinamice, valurile mării și fluxurile de apă subterană. Pentru debitele (sau zonele de curgere) cu efecte marcate de turbionare, aproximarea potențială a debitului nu este aplicabilă.

Caracteristici și aplicații

Linii aerodinamice pentru un flux potențial incompresibil în jurul unui cilindru circular într-un flux uniform.

Descriere și caracteristici

În dinamica fluidelor, un flux potențial este descris prin intermediul unei funcții potențiale φ , o funcție a coordonatelor spațiale și a timpului . Viteza debitului ${\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}(x,y,z,t)$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} (x, y, z, t)}$ $\ frac {\ operatorname d \ bar r} {\ operatorname dt} (x, y, z, t)$ este definit prin definiție egal cu gradientul potențialului φ :

{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=\nabla \varphi .

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = \ nabla \ varphi.}

\ frac {\ operatorname d \ bar r} {\ operatorname dt} = \ nabla \ varphi.

În unele cazuri se folosește definiția

{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=-\nabla \varphi

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = - \ nabla \ varphi}

\ frac {\ operatorname d \ bar r} {\ operatorname dt} = - \ nabla \ varphi

cu un semn minus. Din calculul vectorului se știe că rotorul unui gradient este zero:

\nabla \times \nabla \varphi =0

{\ displaystyle \ nabla \ times \ nabla \ varphi = 0}

\ nabla \ times \ nabla \ varphi = 0

și, în consecință, vorticitatea este zero:

\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=0.

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = 0.}

\ nabla \ times \ frac {\ operatorname d \ bar r} {\ operatorname dt} = 0.

Aceasta implică faptul că fluxul potențial este un flux irotațional . Acest lucru are consecințe directe asupra aplicabilității metodei. De fapt, în regiunile de curgere în care în mod normal vorticitatea nu este neglijabilă, cum ar fi într-o trezire , o recirculare sau în interiorul stratului limită , teoria fluxului potențial nu este capabilă să reprezinte fluxul cu o precizie suficientă. În ciuda acestui fapt, în multe aplicații există porțiuni suficiente de debit în care este probabilă asumarea debitului irotațional, cum ar fi în unele aplicații de aerodinamică , hidraulică sau acustică .

Flux incompresibil

Același subiect în detaliu: flux de potențial incompresibil .

În cazul unui debit incompresibil - cum ar fi un debit al unui lichid sau al unui gaz cu un număr Mach scăzut - viteza are o divergență zero:

\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

\ nabla \ cdot \ frac {\ operatorname d \ bar r} {\ operatorname dt} = 0

unde punctul indică funcționarea produsului punct. În consecință, potențialul φ trebuie să satisfacă ecuația Laplace

{\nabla }^{2}\varphi =0

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi = 0}

{\ nabla} ^ 2 \ varphi = 0

unde este ${\nabla }^{2}$ ${\ displaystyle {\ nabla} ^ {2}}$ ${\ nabla} ^ 2$ este operatorul Laplace (sau Laplacian). În acest caz, fluxul poate fi complet determinat de cinematica sa: presupunerea irotației și divergența zero. Dinamica poate fi evaluată în consecință, dacă cineva este interesat de câmpul de presiune, ca de exemplu în studiul suprafețelor aerodinamice, folosind principiul Bernoulli .

Într-un flux bidimensional (în care efectele celei de-a treia dimensiuni sunt neglijabile) fluxul potențial este redus la un sistem foarte simplu.

Debit compresibil

Același subiect în detaliu: fluxul potențial comprimabil .

Teoria debitului potențial poate fi, de asemenea, utilizată pentru a modela un debit compresibil, cum ar fi, de exemplu, un flux de aer care se apropie de Mach 0.3 (efectele de compresibilitate tind să devină din ce în ce mai puțin neglijabile pe măsură ce crește numărul Mach .). Ecuația completă a potențialului compresibil este

\left(1-\mathrm {Ma} _{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-\mathrm {Ma} _{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-\mathrm {Ma} _{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}-2\mathrm {Ma} _{x}\mathrm {Ma} _{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2\mathrm {Ma} _{y}\mathrm {Ma} _{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2\mathrm {Ma} _{z}\mathrm {Ma} _{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}}=0,

{\ displaystyle \ left (1- \ mathrm {Ma} _ {x} ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial x ^ {2}}} + \ left (1- \ mathrm {Ma} _ {y} ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial y ^ {2}}} + \ left (1- \ mathrm {Ma} _ {z} ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial z ^ {2}}} - 2 \ mathrm {Ma} _ {x} \ mathrm {Ma} _ {y} {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial x \, \ partial y}} - 2 \ mathrm {Ma} _ {y} \ mathrm {Ma} _ {z } {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial y \, \ partial z}} - 2 \ mathrm {Ma} _ {z} \ mathrm {Ma} _ {x} {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial z \, \ partial x}} = 0,}

\ left (1 - \ mathrm {Ma} _x ^ 2 \ right) \ frac {\ partial ^ 2 \ Phi} {\ partial x ^ 2} + \ left (1 - \ mathrm {Ma} _y ^ 2 \ right) \ frac {\ partial ^ 2 \ Phi} {\ partial y ^ 2} + \ left (1 - \ mathrm {Ma} _z ^ 2 \ right) \ frac {\ partial ^ 2 \ Phi} {\ partial z ^ 2 } - 2 \ mathrm {Ma} _x \ mathrm {Ma} _y \ frac {\ partial ^ 2 \ Phi} {\ partial x \, \ partial y} - 2 \ mathrm {Ma} _y \ mathrm {Ma} _z \ frac {\ partial ^ 2 \ Phi} {\ partial y \, \ partial z} - 2 \ mathrm {Ma} _z \ mathrm {Ma} _x \ frac {\ partial ^ 2 \ Phi} {\ partial z \, \ parțial x} = 0,

unde x este direcția fluxului netulburat; din motive de scurtă durată, numărul Mach a fost indicat cu Ma și cu derivatele parțiale :

\mathrm {Ma} _{x}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\qquad \mathrm {Ma} _{y}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\qquad \mathrm {Ma} _{z}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}},

{\ displaystyle \ mathrm {Ma} _ {x} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x}} \ qquad \ mathrm {Ma} _ {y} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}} \ qquad \ mathrm {Ma} _ {z} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}},}

\ mathrm {Ma} _x = \ frac {1} {a} \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x} \ qquad \ mathrm {Ma} _y = \ frac {1} {a} \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y} \ qquad \ mathrm {Ma} _z = \ frac {1} {a} \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z},

și unde cu a este indicată viteza locală a sunetului . Viteza de curgere este setată egală cu ∇ Φ , prin definiția potențialului Φ . Această ecuație este valabilă pentru fluxurile irsonale subsonice , transonice și supersonice , pentru orice unghi de atac .

În cazul fluxurilor subsonice sau supersonice (deci nu sunt transonice sau hipersonice ) și cu unghiuri mici de atac și corpuri subtile, este posibilă simplificarea acestei ecuații prin împărțirea potențialului într-o componentă datorită vitezei fluxului netulburat x _∞ , în direcția mișcării și o mică perturbare ∇ φ :

\nabla \Phi ={\dot {x}}_{\infty }+\nabla \varphi .

{\ displaystyle \ nabla \ Phi = {\ dot {x}} _ {\ infty} + \ nabla \ varphi.}

\ nabla \ Phi = \ dot x_ \ infty + \ nabla \ varphi.

Prin introducerea acestei simplificări în ecuația completă, ajungem la ecuația liniarizată a potențialului compresibil:

\left(1-\mathrm {Ma} _{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0

{\ displaystyle \ left (1- \ mathrm {Ma} _ {\ infty} ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial x ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial z ^ {2}}} = 0}

\ left (1- \ mathrm {Ma} _ \ infty ^ 2 \ right) \ frac {\ partial ^ 2 \ varphi} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ varphi} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ varphi} {\ partial z ^ 2} = 0

unde Ma _∞ = x _∞ / a _∞ indică numărul Mach al curentului netulburat. Această ecuație liniarizată este mult mai ușor de rezolvat decât cea completă: poate fi de fapt urmărită înapoi la ecuația Laplace printr-o schimbare de variabile.