Ecuația Korteweg-de Vries

În fizica matematică , ecuația Korteweg-de Vries (prescurtată în KdV ) este o ecuație diferențială parțială neliniară utilizată pentru a modela valurile mării , printre altele. Sistemul pe care îl descrie este integrabil .

Introdus inițial de Joseph Boussinesq în 1877 ^[1] , a fost redescoperit ulterior de Diderik Korteweg și Gustav de Vries în 1895. ^[2] ^[3]

Studiul ecuației s-a dezvoltat considerabil după ce Zabuski și Kruskal (1965) au descoperit, printr-un algoritm de integrare numerică a ecuației, descompunerea soluțiilor în solitoni. Ecuația a găsit un număr mare de aplicații în fizică și alte științe: de la valurile mării până la perioadele de inundații în râuri, până la undele sonore din plasme și cristale. Poate fi obținut și în limita continuă a problemei Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou .

Soluția unei unde knoidale pentru ecuația Korteweg - de Vries, în ceea ce privește pătratul funcției eliptice Jacobi

\mathrm {cn}

{\ displaystyle \ mathrm {cn}}

\ mathrm {cn}

cu parametru

m=0.9

{\ displaystyle m = 0.9}

m = 0,9

.

Soluția numerică a ecuației KdV

u_{t}+uu_{x}+\delta ^{2}u_{xxx}=0

{\ displaystyle u_ {t} + uu_ {x} + \ delta ^ {2} u_ {xxx} = 0}

u_t + uu_x + \ delta ^ 2 u_ {xxx} = 0

(

\delta =0.022

{\ displaystyle \ delta = 0,022}

\ delta = 0,022

) cu condiție inițială

u(x,0)=\cos(\pi x)

{\ displaystyle u (x, 0) = \ cos (\ pi x)}

u (x, 0) = \ cos (\ pi x)

. Calculul a fost făcut cu metoda Zabusky-Kruskal. ^[4] Unda cosinus inițială evoluează într-un pachet de unde de soliton.

Definiție

KdV este o ecuație neliniară și dispersivă pentru o funcție $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ cu două variabile (spațiale și temporale): ^[5]

\partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi +6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,}

\ partial_t \ phi + \ partial ^ 3_x \ phi + 6 \, \ phi \, \ partial_x \ phi = 0 \,

In care $\partial _{x}$ ${\ displaystyle \ partial _ {x}}$ $\ partial_x$ Și $\partial _{t}$ ${\ displaystyle \ partial _ {t}}$ $\ partial_t$ indicați derivate parțiale cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Constanta $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ plasat în fața ultimului termen este prezent din motive istorice, dar poate fi pur și simplu eliminat prin redimensionarea variabilelor.

Ecuația KdV poate fi obținută pornind de la cea a lui Boussinesq , impunând o direcție precisă în propagarea undei.

Solitoni

Soluții în care un val de formă dată $f(X)$ ${\ displaystyle f (X)}$ $f (X)$ își menține geometria mișcându-se cu viteza de fază $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ se numesc solitoni . Astfel de soluții sunt scrise în formă

\phi (x,t)=f(x-ct-a)=f(X)

{\ displaystyle \ phi (x, t) = f (x-ct-a) = f (X)}

\ phi (x, t) = f (x-ct-a) = f (X)

Înlocuind în KdV obținem ecuația diferențială obișnuită

-c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}+6f{\frac {df}{dX}}=0

{\ displaystyle -c {\ frac {df} {dX}} + {\ frac {d ^ {3} f} {dX ^ {3}}} + 6f {\ frac {df} {dX}} = 0}

-c \ frac {df} {dX} + \ frac {d ^ 3f} {dX ^ 3} + 6f \ frac {df} {dX} = 0

sau, integrându-se în ceea ce privește $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ,

-cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}+3f^{2}=A

{\ displaystyle -cf + {\ frac {d ^ {2} f} {dX ^ {2}}} + 3f ^ {2} = A}

-cf + \ frac {d ^ 2 f} {dX ^ 2} + 3f ^ 2 = A

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o constantă de integrare. Interpretarea variabilei $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ca parametru de timp, funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ satisface ecuația de mișcare a lui Newton pentru o particulă de masă unitară în prezența unui potențial cubic.

V(f)=-(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af)

{\ displaystyle V (f) = - (f ^ {3} + {\ frac {1} {2}} cf ^ {2} + Af)}

{\ displaystyle V (f) = - (f ^ {3} + {\ frac {1} {2}} cf ^ {2} + Af)}

Dacă parametrii sunt setați în așa fel încât potențialul $V(f)$ ${\ displaystyle V (f)}$ $V (f)$ are maxim local pentru $f=0$ ${\ displaystyle f = 0}$ $f = 0$ există o soluție în care $f(X)$ ${\ displaystyle f (X)}$ $f (X)$ începând de la $X=-\inf$ ${\ displaystyle X = - \ inf}$ $X = - \ inf$ , curge la minimul local, apoi reia de cealaltă parte, atingând aceeași valoare, apoi revine la maximul local la momentul respectiv $X=\inf$ ${\ displaystyle X = \ inf}$ $X = \ inf$ . Cu alte cuvinte, $f(X)\to 0$ ${\ displaystyle f (X) \ to 0}$ $f (X) \ la 0$ pentru $X\to \infty$ ${\ displaystyle X \ to \ infty}$ $X \ to \ infty$ . Aceasta este forma caracteristică a solitonului ^[6]

Se poate demonstra că soluția este valabilă

\phi (x,t)={\frac {1}{2}}\,c\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]

{\ displaystyle \ phi (x, t) = {\ frac {1} {2}} \, c \, \ mathrm {sech} ^ {2} \ left [{{\ sqrt {c}} \ over 2} (xc \, ta) \ dreapta]}

\ phi (x, t) = \ frac12 \, c \, \ mathrm {sech} ^ 2 \ left [{\ sqrt {c} \ over 2} (x-c \, t-a) \ right]

unde este $\mathrm {sech} (x)$ ${\ displaystyle \ mathrm {sech} (x)}$ $\ mathrm {sech} (x)$ este secanta hiperbolica e $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o constantă arbitrară. ^[7] Acesta este un soliton care se extinde spre dreapta.

Integrale ale mișcării

KdV are un număr infinit de integrale prime ^[8] , constante în timp. Se scriu singuri

\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} P_ {2n-1} (\ phi, \, \ partial _ {x} \ phi, \, \ partial _ {x} ^ {2} \ phi, \, \ ldots) \, {\ text {d}} x \,}

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} P_ {2n-1} (\ phi, \, \ partial_x \ phi, \, \ partial_x ^ 2 \ phi, \, \ ldots) \, \ text { d} x \,

unde polinoamele $P_{n}$ ${\ displaystyle P_ {n}}$ $P_ {n}$ sunt definite recursiv

{\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ per }}n\geq 2.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {1} & = \ phi, \\ P_ {n} & = - {\ frac {dP_ {n-1}} {dx}} + \ sum _ {i = 1 } ^ {n-2} \, P_ {i} \, P_ {n-1-i} \ quad {\ text {per}} n \ geq 2. \ end {align}}}

\ begin {align} P_1 & = \ phi, \\ P_n & = - \ frac {dP_ {n-1}} {dx} + \ sum_ {i = 1} ^ {n-2} \, P_i \, P_ {n-1-i} \ quad \ text {for} n \ ge 2. \ end {align}

Prin urmare, primele integrale ale mișcării sunt:

masa $\int \phi \,{\text{d}}x,$ ${\ displaystyle \ int \ phi \, {\ text {d}} x,}$ $\ int \ phi \, \ text {d} x,$
impulsul $\int \phi ^{2}\,{\text{d}}x,$ ${\ displaystyle \ int \ phi ^ {2} \, {\ text {d}} x,}$ $\ int \ phi ^ 2 \, \ text {d} x,$
energie $\int {\frac {1}{3}}\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\,{\text{d}}x.$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {3}} \ phi ^ {3} - \ left (\ partial _ {x} \ phi \ right) ^ {2} \, {\ text {d}} x .}$ $\ int \ frac {1} {3} \ phi ^ 3 - \ left (\ partial_x \ phi \ right) ^ 2 \, \ text {d} x.$

Doar polinoame cu indice impar ( $P_{2n+1}$ ${\ displaystyle P_ {2n + 1}}$ $P_ {2n + 1}$ ) corespund integralelor non-banale (altele decât zero) ^[9] .

Perechi laxe

Ecuația KdV

\partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi = 6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi - \ partial _ {x} ^ {3} \ phi}

\ partial_t \ phi = 6 \, \ phi \, \ partial_x \ phi - \ partial_x ^ 3 \ phi

poate fi reformulată în termeni de ecuație laxă

L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,

{\ displaystyle L_ {t} = [L, A] \ equiv LA-AL \,}

L_t = [L, A] \ equiv LA - AL \,

unde L este un operator Sturm-Liouville :

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-3\left[2\phi \,\partial _{x}+(\partial _{x}\phi )\right]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} L & = - \ partial _ {x} ^ {2} + \ phi, \\ A & = 4 \ partial _ {x} ^ {3} -3 \ left [2 \ phi \, \ partial _ {x} + (\ partial _ {x} \ phi) \ right] \ end {align}}}

\ begin {align} L & = - \ partial_x ^ 2 + \ phi, \\ A & = 4 \ partial_x ^ 3 - 3 \ left [2 \ phi \, \ partial_x + (\ partial_x \ phi) \ right] \ sfârșit {align}

iar acest lucru este valabil pentru fiecare dintre infinitivele ecuației KdV ^[10] .

Principiul acțiunii minime

Ecuația KdV

\partial _{t}\phi -6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,\,

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi -6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0, \,}

\ partial_t \ phi - 6 \ phi \, \ partial_x \ phi + \ partial_x ^ 3 \ phi = 0, \,

este ecuația Euler - Lagrange derivată din densitatea Lagrangiană , ${\mathcal {L}}\,$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \,}$ $\ mathcal {L} \,$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \,\partial _{t}\psi +\left(\partial _{x}\psi \right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{x}^{2}\psi \right)^{2}\,

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \, \ partial _ {t} \ psi + \ left (\ partial _ {x} \ psi \ right) ^ {3} - {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {x} ^ {2} \ psi \ right) ^ {2} \,}

\ mathcal {L} = \ frac {1} {2} \ partial_x \ psi \, \ partial_t \ psi + \ left (\ partial_x \ psi \ right) ^ 3 - \ frac {1} {2} \ left (\ partial_x ^ 2 \ psi \ right) ^ 2 \,

in care $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este definit ca

\phi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}=\partial _{x}\psi .\,

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} = \ partial _ {x} \ psi. \,}

\ phi = \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} = \ partial_x \ psi. \,

Demonstrație

Deoarece Lagrangianul conține a doua derivată, se scrie ecuația Euler-Lagrange pentru câmp

\partial _{\mu \mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu \mu }\psi )}}\right)-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu \ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu \ mu} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0}

\ partial _ {\ mu \ mu} \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial _ {\ mu \ mu} \ psi)} \ right) - \ partial_ \ mu \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ psi)} \ right) + \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ psi} = 0

unde este $\partial$ ${\ displaystyle \ partial}$ $\ parțial$ este un derivat în raport cu componenta $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Scriind integral ecuația anterioară, obținem

\partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)+\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)-\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)-\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0

{\ displaystyle \ partial _ {tt} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {tt} \ psi)}} \ right) + \ partial _ {xx } \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {xx} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {t} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0}

\ partial_ {tt} \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ {tt} \ psi)} \ right) + \ partial_ {xx} \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ {xx} \ psi)} \ right) - \ partial_t \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_t \ psi)} \ right ) - \ partial_x \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_x \ psi)} \ right) + \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ psi} = 0

și, înlocuind expresia Lagrangianului în fiecare termen al relației,

\partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0\,

{\ displaystyle \ partial _ {tt} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {tt} \ psi)}} \ right) = 0 \,}

\ partial_ {tt} \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ {tt} \ psi)} \ right) = 0 \,

\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)\,

{\ displaystyle \ partial _ {xx} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {xx} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {xx } \ left (- \ partial _ {xx} \ psi \ right) \,}

\ partial_ {xx} \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ {xx} \ psi)} \ right) = \ partial_ {xx} \ left (- \ partial_ {xx} \ psi \ dreapta) \,

\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)\,

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {t } \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right) \,}

\ partial_t \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_t \ psi)} \ right) = \ partial_t \ left (\ frac {1} {2} \ partial_x \ psi \ right) \,

\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,

{\ displaystyle \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {x } \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) \,}

\ partial_x \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_x \ psi)} \ right) = \ partial_x \ left (\ frac {1} {2} \ partial_t \ psi + 3 ( \ partial_x \ psi) ^ 2 \ right) \,

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0 \,}

\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ psi} = 0 \,

Acum, amintindu-ne că este definit $\phi =\partial _{x}\psi \,$ ${\ displaystyle \ phi = \ partial _ {x} \ psi \,}$ $\ phi = \ partial_x \ psi \,$ ,

\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi \,

{\ displaystyle \ partial _ {xx} \ left (- \ partial _ {xx} \ psi \ right) = - \ partial _ {xxx} \ phi \,}

\ partial_ {xx} \ left (- \ partial_ {xx} \ psi \ right) = - \ partial_ {xxx} \ phi \,

\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \,

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right) = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi \,}

\ partial_t \ left (\ frac {1} {2} \ partial_x \ psi \ right) = \ frac {1} {2} \ partial_t \ phi \,

\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \,

{\ displaystyle \ partial _ {x} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +3 \ partial _ {x} (\ phi) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t } \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi \,}

\ partial_x \ left (\ frac {1} {2} \ partial_t \ psi + 3 (\ partial_x \ psi) ^ 2 \ right) = \ frac {1} {2} \ partial_t \ phi + 3 \ partial_x (\ phi ) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ partial_t \ phi + 6 \ phi \ partial_x \ phi \,

Înlocuind din nou în ecuația Euler-Lagrange obținem

\left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,\,

{\ displaystyle \ left (- \ partial _ {xxx} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi \ right) = 0, \,}

\ left (- \ partial_ {xxx} \ phi \ right) - \ left (\ frac {1} {2} \ partial_t \ phi \ right) - \ left (\ frac {1} {2} \ partial_t \ phi + 6 \ phi \ partial_x \ phi \ right) = 0, \,

care corespunde exact KdV-ului

\partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0}

\ partial_t \ phi + 6 \ phi \, \ partial_x \ phi + \ partial_x ^ 3 \ phi = 0

Asimptote

Se poate arăta că orice soluție netedă care se descompune suficient de repede se împarte întotdeauna într-o suprapunere finită de solitoni care se deplasează spre dreapta plus o parte dispersivă care se descompune deplasându-se rapid spre stânga. Acest fenomen a fost observat pentru prima dată de Zabuski și Kruskal în 1965 ^[11] ^[12]

Notă

^ Boussinesq .
^ Korteweg-de Vries .
^ O. Darrigol,Worlds of Flow: A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl , Oxford University Press, 2005, p. 84 , ISBN 978-0-19-856843-8 .
^ NJ Zabusky și MD Kruskal, Phy. Rev. Lett. , 15 , 240 (1965)
^ Vezi Alan C. Newell, Solitons in matematic and physics , SIAM, 1985, ISBN 0-89871-196-7 . , p. 6. și Lax (1968), fără factorul 6.
^ Vladimir Igorevič Arnold , Metode matematice ale mecanicii clasice , Roma, Editori Riuniti University Press, 2010, p. 471.
^ Alexander F. Vakakis, Moduri normale și localizare în sisteme neliniare , Springer, 31 ianuarie 2002, pp. 105-108, ISBN 978-0-7923-7010-9 . Adus pe 27 octombrie 2012 .
^ Miura-Gardner-Kruskal .
^ Dingemans , p. 733 .
^ Lax .
^ Zabusky-Kruskal .
^ Grunert-Teschl .

Bibliografie

J. Boussinesq, Essai sur la theorie des eaux courantes , in Memoires presentes par divers savants `l'Acad. des Sci. Inst. Nat. Franța, XXIII , 1877, pp. 1–680.
EM de Jager, Despre originea ecuației Korteweg - de Vries , 2006. arΧiv : math.HO / 0202661
MW Dingemans, Propagarea valurilor de apă pe funduri inegale , în Advanced Series on Ocean Engineering , vol. 13, World Scientific, Singapore, 1997, ISBN 981-02-0427-2 . , 2 părți, 967 pagini
PG Drazin, Undele soliton, la Londra Mathematical Society Lecture Notă Series, vol. 85, Cambridge, Cambridge University Press, 1983, pp. viii + 136, ISBN 0-521-27422-2 .
Katrin Grunert și Gerald Teschl , Asimptotici de lungă durată pentru ecuația Korteweg-de Vries prin descendența cea mai abruptă neliniară , în matematică. Fizic. Anal. Geom. , vol. 12, nr. 3, 2009, pp. 287-324, Bibcode : 2009MPAG ... 12..287G , DOI : 10.1007 / s11040-009-9062-2 , arXiv : 0807.5041 .
Thomas Kappeler și Jürgen Pöschel , KdV & KAM , în Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. O serie de anchete moderne în matematică [Rezultate în matematică și domenii conexe. Seria a 3-a. O serie de anchete moderne în matematică] , vol. 45, Berlin, New York, Springer-Verlag , 2003, ISBN 978-3-540-02234-3 .
DJ Korteweg și G. de Vries, Despre schimbarea formei valurilor lungi care avansează într-un canal dreptunghiular și asupra unui nou tip de valuri staționare lungi , în Revista filozofică , vol. 39, nr. 240, 1895, pp. 422–443, DOI : 10.1080 / 14786449508620739 .
P. Lax , Integrale ale ecuațiilor neliniare ale evoluției și ale undelor solitare , în matematica aplicată pură a comunicării. , vol. 21, n. 5, 1968, pp. 467–490, DOI : 10.1002 / cpa.3160210503 .
John W. Miles , Ecuația Korteweg - De Vries: Un eseu istoric , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 106, 1981, pp. 131–147, Bibcode : 1981JFM ... 106..131M , DOI : 10.1017 / S0022112081001559 .
Robert M. Miura, Clifford S. Gardner și Martin D. Kruskal, ecuația și generalizările Korteweg-de Vries. II. Existența legilor de conservare și a constantelor de mișcare , în J. Mathematical Phys. , vol. 9, nr. 8, 1968, pp. 1204-1209, Bibcode : 1968JMP ..... 9.1204M , DOI : 10.1063 / 1.1664701 .
( EN ) LA Takhtadzhyan, ecuația Korteweg-de Vries , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer și European Mathematical Society, 2002.
NJ Zabusky și MD Kruskal, interacțiunea „solitonilor” într-o plasmă fără coliziune și reapariția statelor inițiale , în Phys. Rev. Lett. , Vol. 15, nr. 6, 1965, pp. 240–243, Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.15.240 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre ecuația Korteweg-de Vries

linkuri externe

Ecuația Korteweg - de Vries din EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
Ecuația Korteweg - de Vries din NEQwiki, enciclopedia ecuațiilor neliniare.
Ecuația cilindrică Korteweg - de Vries din EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
Modificat ecuația Korteweg - de Vries din EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
Modificat ecuația Korteweg - de Vries din NEQwiki, enciclopedia ecuațiilor neliniare.
( EN ) Eric W. Weisstein, Korteweg - deVries Equation , în MathWorld , Wolfram Research.
Derivarea pe KdV într-un canal îngust
Trei solitoni în KdV [1]
Trei solitoni instabili în KdVThree - [2]
Discutarea aspectelor matematice ale KDV Dispersive PDE Wiki .
Solitoni din ecuația Korteweg - de Vries SM Blinder, Proiectul Wolfram Demonstrations .
Solitonii și ecuații de unde neliniare , pe lie.math.brocku.ca . Adus la 3 noiembrie 2015 (arhivat din original la 2 decembrie 2008) .

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] Boussinesq .

[2] Korteweg-de Vries .

[3] O. Darrigol,Worlds of Flow: A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl , Oxford University Press, 2005, p. 84 , ISBN 978-0-19-856843-8 .

[4] NJ Zabusky și MD Kruskal, Phy. Rev. Lett. , 15 , 240 (1965)

[5] Vezi Alan C. Newell, Solitons in matematic and physics , SIAM, 1985, ISBN 0-89871-196-7 . , p. 6. și Lax (1968), fără factorul 6.

[6] Vladimir Igorevič Arnold , Metode matematice ale mecanicii clasice , Roma, Editori Riuniti University Press, 2010, p. 471.

[Vakakis2002-7] Alexander F. Vakakis, Moduri normale și localizare în sisteme neliniare , Springer, 31 ianuarie 2002, pp. 105-108, ISBN 978-0-7923-7010-9 . Adus pe 27 octombrie 2012 .

[8] Miura-Gardner-Kruskal .

[9] Dingemans , p. 733 .

[10] Lax .

[11] Zabusky-Kruskal .

[12] Grunert-Teschl .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]