Problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

În fizică , problema Fermi- Pasta- Ulam- Tsingou , cunoscută anterior ca problema Fermi- Pasta- Ulam , a fost paradoxul aparent în teoria haosului că multe sisteme fizice destul de complicate au prezentat un comportament aproape exact periodic , numit recurență. -Ulam-Tsingou (sau recidiva Fermi-Pasta-Ulam ), în locul comportamentului ergodic așteptat. Aceasta a fost o surpriză, deoarece Fermi se aștepta cu siguranță că sistemul se va încălzi într-un timp destul de scurt. Aceasta înseamnă că toate modurile vibraționale ale sistemului ar fi trebuit să apară în cele din urmă cu aceeași greutate, așa cum a prezis teorema echipației sau, mai general, ipoteza ergodică . Totuși, acesta a fost cazul cu un sistem care părea să ignore ipoteza ergodică. Deși fenomenele de recurență sunt ușor de observat, în cele din urmă a devenit evident că, pe perioade mult mai lungi de timp, sistemul se termalizează în cele din urmă. Au fost propuse mai multe teorii concurente pentru a explica comportamentul sistemului și acesta rămâne un subiect activ de cercetare.

Intenția inițială a fost de a găsi o problemă de fizică care trebuia simulată numeric pe noul computer MANIAC de atunci. Fermi a crezut că termalizarea este un argument valid. Ca atare, reprezintă una dintre primele utilizări ale computerelor digitale în cercetarea matematică și fizică; în același timp, rezultatele neașteptate au stimulat studiul sistemelor neliniare .

Experimentul FPUT

În absența neliniarității (violet), amplitudinea asociată cu un mod va rămâne așa. Dacă se introduce o neliniaritate pătratică în lanțul elastic, energia se poate difuza între toate modurile de vibrație, dar prin așteptarea unui timp suficient de lung (două minute, în această animație), va fi posibil să vedem cum toate amplitudinile revin la mod original.

În vara anului 1953 Enrico Fermi , John Pasta, Stanislaw Ulam și Mary Tsingou au efectuat experimente numerice (adică simulări pe computer ) ale unui șir vibrant care includea un termen neliniar (pătratic într-un test, cubic în altul și o funcție liniară în bucăți, care a aproximat o dependență cubică, într-o treime) în forța elastică. Ei au descoperit că comportamentul sistemului era foarte diferit de ceea ce intuiția i-a determinat să presupună. Fermi a crezut că, după multe iterații, sistemul s-ar fi dovedit a fi termalizat , un comportament ergodic în care importanța modurilor de vibrație inițiale dispare și sistemul devine mai mult sau mai puțin aleator, cu toate modurile excitate în același mod . În schimb, sistemul a prezentat un comportament aproape periodic aproape complicat. Ei și-au publicat rezultatele într-un raport tehnic Los Alamos în 1955 ^[1] ( Enrico Fermi a murit în 1954, astfel încât acest raport tehnic a fost publicat după moartea sa).

Experimentul FPUT sa dovedit a fi foarte important atât pentru că a arătat modul în care neliniaritatea a provocat un comportament deosebit de complex, cât și pentru că a arătat utilitatea simulărilor computerizate în analiza sistemelor.

Schimbarea numelui

Raportul original îi citează pe Fermi, Pasta și Ulam ca autori (deși Fermi a murit înainte ca raportul să fie scris) cu mulțumiri lui Tsingou pentru munca sa de programare a simulărilor MANIAC. Contribuțiile lui Mary Tsingou la problema FPUT au rămas în mare parte trecute cu vederea de către comunitatea științifică până când Thierry Dauxois (în 2008) a publicat informații suplimentare cu privire la dezvoltarea problemei și a solicitat ca problema să fie redenumită pentru a asigura și atribuirea ei.

Rețeaua FPUT

Fermi, Pasta, Ulam și Tsingou au simulat șirul vibrator rezolvând următorul sistem discret format din oscilatoare cuplate între primii vecini. Să urmărim explicația din articolul lui Richard Palais. Să luăm în considerare N oscilatoare reprezentând o coardă de lungime $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ , având poziții de echilibru $p_{j}=jh,\ j=0,\dots ,N-1$ ${\ displaystyle p_ {j} = jh, \ j = 0, \ dots, N-1}$ ${\ displaystyle p_ {j} = jh, \ j = 0, \ dots, N-1}$ , unde este $h=\ell /(N-1)$ ${\ displaystyle h = \ ell / (N-1)}$ ${\ displaystyle h = \ ell / (N-1)}$ este pasul zăbrelei. Atunci poziția j- oscilatorului, în funcție de timp, este $X_{j}(t)=p_{j}+x_{j}(t)$ ${\ displaystyle X_ {j} (t) = p_ {j} + x_ {j} (t)}$ ${\ displaystyle X_ {j} (t) = p_ {j} + x_ {j} (t)}$ , astfel încât $x_{j}(t)$ ${\ displaystyle x_ {j} (t)}$ ${\ displaystyle x_ {j} (t)}$ descrie deplasarea din poziția de echilibru. FPUT a folosit următoarele ecuații de mișcare:

m{\ddot {x}}_{j}=k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} _ {j} = k (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j}) [1+ \ alpha (x_ {j + 1} - x_ {j-1})].}

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} _ {j} = k (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j}) [1+ \ alpha (x_ {j + 1} - x_ {j-1})].}

(Notă: această ecuație nu este echivalentă cu cea clasică găsită în versiunea franceză a articolului)

Aceasta este pur și simplu a doua lege a lui Newton pentru j- a particulă. Primul termen $k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})$ ${\ displaystyle k (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j})}$ ${\ displaystyle k (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j})}$ este doar forma obișnuită a legii lui Hooke pentru forța elastică. Factorul cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în schimb, este termenul de forță neliniar. Putem rescrie această ecuație în termeni de mărimi continue definind viteza undei $c={\sqrt {\kappa /\rho }}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ kappa / \ rho}}}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ kappa / \ rho}}}$ , unde este $\kappa =k/h$ ${\ displaystyle \ kappa = k / h}$ ${\ displaystyle \ kappa = k / h}$ este modulul lui Young pentru coardă, e $\rho =m/h^{3}$ ${\ displaystyle \ rho = m / h ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ rho = m / h ^ {3}}$ este densitatea masei:

{\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].

{\ displaystyle {\ ddot {x}} _ {j} = {\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ { j}) [1+ \ alpha (x_ {j + 1} -x_ {j-1})].}

{\ displaystyle {\ ddot {x}} _ {j} = {\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ { j}) [1+ \ alpha (x_ {j + 1} -x_ {j-1})].}

Conexiune la ecuația KdV

Limita continuă a ecuațiilor care descriu coarda (cu neliniaritate pătratică) este ecuația Korteweg - de Vries (ecuația KdV). Descoperirea acestei conexiuni și prezența soluțiilor de soliton ale ecuației KdV, de Martin David Kruskal și Norman Zabusky în 1965 , a fost un pas important înainte în studiul sistemelor neliniare. Iată o derivare destul de complicată a acestei limite, așa cum se găsește în articolul lui Palais. Plecând de la „forma continuă” a ecuațiilor de rețea de mai sus, definim mai întâi u ( x , t ) ca deplasarea coardei la poziția x și la timpul t . Atunci vrei asta $u(p_{j},t)$ ${\ displaystyle u (p_ {j}, t)}$ ${\ displaystyle u (p_ {j}, t)}$ chibrituri $x_{j}(t)$ ${\ displaystyle x_ {j} (t)}$ ${\ displaystyle x_ {j} (t)}$ .

{\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].

{\ displaystyle {\ ddot {x}} _ {j} = {\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ { j}) [1+ \ alpha (x_ {j + 1} -x_ {j-1})].}

{\ displaystyle {\ ddot {x}} _ {j} = {\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ { j}) [1+ \ alpha (x_ {j + 1} -x_ {j-1})].}

Teorema lui Taylor poate fi utilizată pentru a rescrie al doilea factor pentru $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ mici (indicele u denotă derivate parțiale):

{\begin{aligned}\left({\frac {x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j}}{h^{2}}}\right)&={\frac {u(x+h,t)+u(x-h,t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&=u_{xx}(x,t)+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}(x,t)+O(h^{4}).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j}} {h ^ {2}}} \ right) & = {\ frac {u (x + h, t) + u (xh, t) -2u (x, t)} {h ^ {2}}} \\ & = u_ {xx} (x, t) + \ left ( {\ frac {h ^ {2}} {12}} \ right) u_ {xxxx} (x, t) + O (h ^ {4}). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j}} {h ^ {2}}} \ right) & = {\ frac {u (x + h, t) + u (xh, t) -2u (x, t)} {h ^ {2}}} \\ & = u_ {xx} (x, t) + \ left ( {\ frac {h ^ {2}} {12}} \ right) u_ {xxxx} (x, t) + O (h ^ {4}). \ end {align}}}

În mod similar, al doilea termen al celui de-al treilea factor este

\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})=2\alpha hu_{x}(x,t)+\left({\frac {\alpha h^{3}}{3}}\right)u_{xxx}(x,t)+O(h^{5}).

{\ displaystyle \ alpha (x_ {j + 1} -x_ {j-1}) = 2 \ alpha hu_ {x} (x, t) + \ left ({\ frac {\ alpha h ^ {3}} { 3}} \ dreapta) u_ {xxx} (x, t) + O (h ^ {5}).}

{\ displaystyle \ alpha (x_ {j + 1} -x_ {j-1}) = 2 \ alpha hu_ {x} (x, t) + \ left ({\ frac {\ alpha h ^ {3}} { 3}} \ dreapta) u_ {xxx} (x, t) + O (h ^ {5}).}

Prin urmare, sistemul FPUT devine

{\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}+O(\alpha h^{2},h^{4}).

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} u_ {tt} -u_ {xx} = (2 \ alpha h) u_ {x} u_ {xx} + \ left ({\ frac {h ^ {2}} {12}} \ right) u_ {xxxx} + O (\ alpha h ^ {2}, h ^ {4}).}

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} u_ {tt} -u_ {xx} = (2 \ alpha h) u_ {x} u_ {xx} + \ left ({\ frac {h ^ {2}} {12}} \ right) u_ {xxxx} + O (\ alpha h ^ {2}, h ^ {4}).}

Dacă cineva ar menține termenii până la O ( h ) și ar presupune $2\alpha h$ ${\ displaystyle 2 \ alpha h}$ ${\ displaystyle 2 \ alpha h}$ se apropie de o limită, ecuația rezultată este una care dezvoltă unde de șoc , care nu sunt observate. Deci, alegem să păstrăm și termenul O ( h ² ):

{\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}.

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} u_ {tt} -u_ {xx} = (2 \ alpha h) u_ {x} u_ {xx} + \ left ({\ frac {h ^ {2}} {12}} \ right) u_ {xxxx}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} u_ {tt} -u_ {xx} = (2 \ alpha h) u_ {x} u_ {xx} + \ left ({\ frac {h ^ {2}} {12}} \ right) u_ {xxxx}.}

Acum facem următoarele substituții, motivate de descompunerea în soluții a undelor călătoare ( a ecuației de undă obișnuită , la care aceasta este redusă dacă $\alpha ,h$ ${\ displaystyle \ alpha, h}$ ${\ displaystyle \ alpha, h}$ dispare) în valuri care se mișcă la stânga și la dreapta, astfel încât este luată în considerare o singură undă care se deplasează spre dreapta. Prin plasare $\xi =x-ct,\ \tau =(\alpha h)ct,\ y(\xi ,\tau )=u(x,t)$ ${\ displaystyle \ xi = x-ct, \ \ tau = (\ alpha h) ct, \ y (\ xi, \ tau) = u (x, t)}$ ${\ displaystyle \ xi = x-ct, \ \ tau = (\ alpha h) ct, \ y (\ xi, \ tau) = u (x, t)}$ , sub această schimbare de coordonate, ecuația devine

y_{\xi \tau }-\left({\frac {\alpha h}{2}}\right)y_{\tau \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\left({\frac {h}{24\alpha }}\right)y_{\xi \xi \xi \xi }.

{\ displaystyle y _ {\ xi \ tau} - \ left ({\ frac {\ alpha h} {2}} \ right) y _ {\ tau \ tau} = - y _ {\ xi} y _ {\ xi \ xi} - \ left ({\ frac {h} {24 \ alpha}} \ right) y _ {\ xi \ xi \ xi \ xi}.}

{\ displaystyle y _ {\ xi \ tau} - \ left ({\ frac {\ alpha h} {2}} \ right) y _ {\ tau \ tau} = - y _ {\ xi} y _ {\ xi \ xi} - \ left ({\ frac {h} {24 \ alpha}} \ right) y _ {\ xi \ xi \ xi \ xi}.}

Pentru a merge la limita continuă, se presupune $\alpha /h$ ${\ displaystyle \ alpha / h}$ ${\ displaystyle \ alpha / h}$ tind spre o constantă, dacă $\alpha ,h$ ${\ displaystyle \ alpha, h}$ ${\ displaystyle \ alpha, h}$ tind spre zero. Dacă întrebăm $\delta =\lim _{h\to 0}{\sqrt {h/(24\alpha )}}$ ${\ displaystyle \ delta = \ lim _ {h \ to 0} {\ sqrt {h / (24 \ alpha)}}}$ ${\ displaystyle \ delta = \ lim _ {h \ to 0} {\ sqrt {h / (24 \ alpha)}}}$ , asa de

y_{\xi \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\delta ^{2}y_{\xi \xi \xi \xi }.

{\ displaystyle y _ {\ xi \ tau} = - y _ {\ xi} y _ {\ xi \ xi} - \ delta ^ {2} y _ {\ xi \ xi \ xi \ xi}.}

{\ displaystyle y _ {\ xi \ tau} = - y _ {\ xi} y _ {\ xi \ xi} - \ delta ^ {2} y _ {\ xi \ xi \ xi \ xi}.}

Prin plasare $v=y_{\xi }$ ${\ displaystyle v = y _ {\ xi}}$ ${\ displaystyle v = y _ {\ xi}}$ ajungem la ecuația KdV:

v_{\tau }+vv_{\xi }+\delta ^{2}v_{\xi \xi \xi }=0.

{\ displaystyle v _ {\ tau} + vv _ {\ xi} + \ delta ^ {2} v _ {\ xi \ xi \ xi} = 0.}

{\ displaystyle v _ {\ tau} + vv _ {\ xi} + \ delta ^ {2} v _ {\ xi \ xi \ xi} = 0.}

Zabusky și Kruskal au susținut că tocmai faptul că soluțiile solitonice ale ecuației KdV pot trece una în cealaltă fără ca acest lucru să afecteze tendința asimptotică, care a explicat cvasi-periodicitatea undelor în experimentul FPUT. Pe scurt, termalizarea nu a putut avea loc datorită unei anumite „simetrii solitonice” din sistem, care rupe ergodicitatea.

O secvență similară de manipulări (și aproximări) duce la rețeaua Toda, renumită și pentru că este un sistem complet integrabil. De asemenea, prezintă soluții de solitonică , perechile Lax și, prin urmare, poate fi utilizat și pentru a aborda lipsa de ergodicitate în modelul FPUT. ^[2] ^[3]

Către termalizare

În 1966, Izrailev și Chirikov au speculat că sistemul se va termica dacă se va furniza suficientă energie inițială. ^[4] Ideea din spatele acesteia este că neliniaritatea modifică relația de dispersie , permițând să apară interacțiuni rezonante care determină trecerea energiei dintr-un mod în altul. O revizuire a acestor modele poate fi găsită în Livi și colab . ^[5] Cu toate acestea, în 1970, Ford și Lunsford au insistat că amestecul ar putea fi observat chiar și cu energii inițiale arbitrar mici. ^[6] Există o poveste lungă și complexă a abordărilor problemei, a se vedea Dauxois (2008) pentru o revizuire (parțială). ^[7]

O lucrare recentă a lui Onorato și colab. demonstrează o cale foarte interesantă spre termalizare. ^[8] Rescriind modelul FPUT în termeni de moduri normale, termenul neliniar este exprimat ca o interacțiune cu trei căi (folosind limbajul mecanicii statistice , aceasta ar putea fi numită „interacțiune cu trei fononi ”). Cu toate acestea, nu este o interacțiune rezonantă ^[9] și, prin urmare, este incapabilă să răspândească energia dintr-un mod în altul; nu poate provoca decât recurența FPUT. Prin urmare, interacțiunea cu trei fonuri nu poate termala sistemul.

Cu toate acestea, o perspectivă cheie este că aceste moduri sunt combinații de moduri „libere” și „constrânse”. Adică, armonicele superioare sunt „legate” de cea fundamentală, într-un mod substanțial similar cu cel cu care armonicele superioare din soluțiile ecuației KdV sunt legate de cea fundamentală. Prin urmare, nu au dinamica proprie și au în schimb o fază legată de cea a armonicii fundamentale. Termalizarea, dacă este prezentă, poate avea loc numai între modurile libere.

Pentru a obține modurile libere, este posibil să se aplice o transformare canonică care elimină toate modurile constrânse (care nu sunt implicate în interacțiuni rezonante). În acest fel, în sistemul FPUT obținem moduri de oscilație care au o interacțiune cu patru unde (interacțiunea cu trei unde a fost eliminată). Aceste cvartete interacționează într-un mod rezonant, ceea ce înseamnă că amestecă patru moduri la un moment dat. În mod ciudat, însă, în cazul în care lanțul FPUT are doar 16, 32 sau 64 de noduri, aceste cvartete sunt izolate unele de altele. Fiecare mod considerat aparține doar unui cvartet și energia nu poate trece de la un cvartet la altul. Continuând în ordine superioare de interacțiune, se găsește o interacțiune cu șase unde care este rezonantă; în plus, fiecare mod participă la cel puțin două interacțiuni diferite cu șase unde. Cu alte cuvinte, toate căile devin interconectate și energia este apoi transferată între toate căile diferite.

Interacțiunea cu trei unde este de ordin $1/\alpha$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha}$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha}$ (la fel $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ din secțiunile anterioare, de mai sus). Interacțiunea cu patru unde este de ordin $1/\alpha ^{2}$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha ^ {2}}$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha ^ {2}}$ iar interacțiunea cu șase unde este de ordine $1/\alpha ^{4}$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha ^ {4}}$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha ^ {4}}$ . Pe baza principiilor generale privind corelația interacțiunilor (derivate din ierarhia BBGKY ), timpul de termalizare este de așteptat să fie proporțional cu pătratul interacțiunii. Prin urmare, rețeaua FPUT originală (dimensiunea 16, 32 sau 64) se va termica în cele din urmă, pe o scară de timp a comenzii $1/\alpha ^{8}$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha ^ {8}}$ ${\ displaystyle 1 / \ alpha ^ {8}}$ : în mod clar, acesta devine un timp foarte lung pentru interacțiuni slabe $\alpha \ll 1$ ${\ displaystyle \ alpha \ ll 1}$ ${\ displaystyle \ alpha \ ll 1}$ ; în timp ce, între timp, recurența FPUT pare să nu se schimbe. Acest rezultat special se aplică acestor dimensiuni particulare ale rețelei; interacțiunile rezonante cu patru sau șase unde pentru diferite rețele pot amesteca sau nu diferite moduri împreună (deoarece zonele Brillouin sunt de dimensiuni diferite și, prin urmare, combinația pentru care vectorii de undă pot adăuga zero este modificată). Procedurile generice pentru obținerea transformărilor canonice care liniarizează modurile constrânse rămân un subiect activ de cercetare.

Notă

^ (EN) E. Fermi, Pasta P. și S. Ulam, STUDIES OF THE NONLINEAR PROBLEMS , THE 1940, Los Alamos Scientific Lab., N. Mex., 1 mai 1955. Adus pe 5 decembrie 2020.
^ Benettin, G., Christodoulidi, H. și Ponno, A. (2013). Problema Fermi - Pasta - Ulam și dinamica sa integrantă subiacentă . Jurnalul de Fizică Statistică, 1-18
^ Casetti, L., Cerruti-Sola, M., Pettini, M. și Cohen, EGD (1997). Problema Fermi-Pasta-Ulam revizuită: praguri de stochasticitate în sisteme hamiliene neliniare. Revizuirea fizică E, 55 (6), 6566.
^ Izrailev, FM și Chirikov, BV (1966, iulie). Proprietăți statistice ale unui șir neliniar. Soviet Physics Doklady (Vol. 11, No. 1, pp. 30-32).
^ Livi, R., Pettini, M., Ruffo, S., Sparpaglione, M. și Vulpiani, A. (1985). Pragul echipamentului în sistemele hamiliene mari neliniare: modelul Fermi - Pasta - Ulam . Revizuirea fizică A, 31 (2), 1039.
^ Ford, J. și Lunsford, GH (1970). Comportamentul stocastic al sistemelor de oscilatoare rezonante aproape liniare în limita cuplajului neliniar zero. Revizuirea fizică A, 1 (1), 59
^ Dauxois, T.; Ruffo, S. (2008) Scholarpedia
^ Miguel Onorato, Lara Vozella, Davide Proment, Yuri V. Lvov, (2015) A route to thermalization in the α-Fermi - Pasta - Ulam system ArXiv 1402.1603
^ Se spune că o interacțiune este rezonantă dacă toți vectorii de undă adună la zero, modulează zona Brillouin , precum și frecvențele corespunzătoare obținute din relația de dispersie . Deoarece se adaugă la zero, nu există o bază vectorială preferențială pentru spațiul vectorial corespunzător și, prin urmare, toate amplitudinile pot fi rearanjate liber. Într-adevăr, acest lucru aduce toate modurile la aceeași componentă ergodică, unde se pot amesteca „instantaneu”. În matricea S sau formalismul Feynman, acest lucru este echivalent cu conservarea energiei și a impulsului: suma energiei și impulsului pentru stările inițiale trebuie să fie egală cu suma pentru stările finale. Dacă nu este cazul, statele nu pot interacționa.

Bibliografie

Thierry Dauxois, Fermi, Pasta, Ulam și o doamnă misterioasă , în Physics Today , vol. 6, nr. 1, 2008, pp. 55-57, Bibcode : 2008PhT .... 61a..55D , DOI : 10.1063 / 1.2835154 , arXiv : 0801.1590 .
E. Fermi , J. Pasta și S. Ulam , Studies of Nonlinear Problems ( PDF ), Document LA-1940, Los Alamos National Laboratory, 1955.
NJ Zabusky și MD Kruskal , Interacțiuni ale solitonilor într-o plasmă fără coliziune și recurența stărilor inițiale , în Physical Review Letters , vol. 15, nr. 6, 1965, pp. 240-243, Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.15.240 .
R. Palais , The Symmetries of Solitons ( PDF ), în Buletinul Societății Americane de Matematică , vol. 34, nr. 4, 1997, pp. 339-403, DOI : 10.1090 / S0273-0979-97-00732-5 , arXiv : dg-ga / 9708004 .
T. Dauxois și S. Ruffo, Fermi - Pasta - Ulam oscilații de rețea neliniară , în Scholarpedia , vol. 3, nr. 8, 2008, p. 5538, Bibcode : 2008SchpJ ... 3.5538D , DOI : 10.4249 / scholarpedia.5538 .
G. Gallavotti (editat de), The Fermi - Pasta - Ulam Problem: A Status Report , Lecture Notes in Physics , vol. 728, Springer , 2008, ISBN 978-3-540-72994-5 .
MA Porter, NJ Zabusky , B. Hu și DK Campbell, Fermi, Pasta, Ulam și Nașterea matematicii experimentale ( PDF ), în American Scientist , vol. 97, nr. 3, 2009, pp. 214-221, DOI : 10.1511 / 2009.78.214 .
NJ Zabusky și MD Kruskal , Interacțiuni ale solitonilor într-o plasmă fără coliziune și recurența stărilor inițiale , în Physical Review Letters , vol. 15, nr. 6, 1965, pp. 240-243, Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.15.240 .
M. Onorato, L. Vozella, D. Proment și Y. Lvov, Route to thermalization in the α-Fermi - Pasta - Ulam system ( PDF ), în Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , vol. 112, nr. 14, 2015, pp. 4208-4213, Bibcode : 2015PNAS..112.4208O , DOI : 10.1073 / pnas.1404397112 , PMC 4394280 , PMID 25805822 , arXiv : 1402.1603 .

linkuri externe

Fermi-Pasta-Ulam: paradoxul care a lansat calculul științific , pe stemblab.github.io .

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] (EN) E. Fermi, Pasta P. și S. Ulam, STUDIES OF THE NONLINEAR PROBLEMS , THE 1940, Los Alamos Scientific Lab., N. Mex., 1 mai 1955. Adus pe 5 decembrie 2020.

[2] Benettin, G., Christodoulidi, H. și Ponno, A. (2013). Problema Fermi - Pasta - Ulam și dinamica sa integrantă subiacentă . Jurnalul de Fizică Statistică, 1-18

[3] Casetti, L., Cerruti-Sola, M., Pettini, M. și Cohen, EGD (1997). Problema Fermi-Pasta-Ulam revizuită: praguri de stochasticitate în sisteme hamiliene neliniare. Revizuirea fizică E, 55 (6), 6566.

[4] Izrailev, FM și Chirikov, BV (1966, iulie). Proprietăți statistice ale unui șir neliniar. Soviet Physics Doklady (Vol. 11, No. 1, pp. 30-32).

[5] Livi, R., Pettini, M., Ruffo, S., Sparpaglione, M. și Vulpiani, A. (1985). Pragul echipamentului în sistemele hamiliene mari neliniare: modelul Fermi - Pasta - Ulam . Revizuirea fizică A, 31 (2), 1039.

[6] Ford, J. și Lunsford, GH (1970). Comportamentul stocastic al sistemelor de oscilatoare rezonante aproape liniare în limita cuplajului neliniar zero. Revizuirea fizică A, 1 (1), 59

[7] Dauxois, T.; Ruffo, S. (2008) Scholarpedia

[8] Miguel Onorato, Lara Vozella, Davide Proment, Yuri V. Lvov, (2015) A route to thermalization in the α-Fermi - Pasta - Ulam system ArXiv 1402.1603

[9] Se spune că o interacțiune este rezonantă dacă toți vectorii de undă adună la zero, modulează zona Brillouin , precum și frecvențele corespunzătoare obținute din relația de dispersie . Deoarece se adaugă la zero, nu există o bază vectorială preferențială pentru spațiul vectorial corespunzător și, prin urmare, toate amplitudinile pot fi rearanjate liber. Într-adevăr, acest lucru aduce toate modurile la aceeași componentă ergodică, unde se pot amesteca „instantaneu”. În matricea S sau formalismul Feynman, acest lucru este echivalent cu conservarea energiei și a impulsului: suma energiei și impulsului pentru stările inițiale trebuie să fie egală cu suma pentru stările finale. Dacă nu este cazul, statele nu pot interacționa.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]