Unda inerțială

Secțiunea unui mod inerțial într-o sferă. Săgețile arată direcția fluxului și forța în plan: roșu indică fluxul în afara planului, albastru indică fluxul în plan. Axa de rotație este în stânga.

O undă inerțială , numită și oscilație inerțială , este un tip de undă mecanică care este posibilă în fluidele rotative. Spre deosebire de undele gravitaționale inerțiale observate în mod obișnuit pe plajă sau în cadă, unda inerțială se mișcă în interiorul unui fluid și nu în suprafața acestuia.

Ca orice alt tip de undă, o undă inerțială este cauzată de o forță de restaurare și caracterizată de o lungime de undă și o frecvență. În acest caz, forța de refacere este forța Coriolis, iar undele inerțiale se încadrează în categoria undelor transversale . Ele pot fi observate în atmosferă, oceane, lacuri și în experimente de laborator.
Exemple de unde inerțiale sunt valurile Rossby , curenții și vânturile geostrofe ; se crede, de asemenea, că se pot forma și în miezul Pământului.

Recuperarea forței

Undele inerțiale sunt readuse în echilibru de către forța Coriolis, după o rotație. Mai exact, forța Coriolis, împreună cu forța centrifugă , își are originea într-un sistem rotativ datorită faptului că un astfel de sistem este supus unei accelerații continue. Prin urmare, undele inerțiale nu pot exista în absența rotației. Într-un mod mai complex decât în cazul tensiunii pe o coardă, forța Coriolis acționează la un unghi de 90 ° față de direcția de mișcare și intensitatea acesteia depinde de viteza de rotație a fluidului. Aceste două proprietăți dau naștere caracteristicilor specifice undelor inerțiale.

Caracteristici

Undele inerțiale se pot forma numai atunci când un fluid este în rotație și sunt generate în interiorul acestuia și nu la suprafață. La fel ca undele luminoase, acele unde inerțiale sunt de tip transversal , ceea ce înseamnă că vibrațiile lor sunt perpendiculare pe direcția de propagare. O particularitate geometrică a undelor inerțiale este că viteza de fază a acestora, care oferă informații despre mișcarea crestelor și a burților valului, este perpendiculară pe viteza grupului lor, care este corelată cu propagarea energiei.

În timp ce undele sonore și electromagnetice pot prelua orice frecvență, undele inerțiale pot exista numai în intervalul de frecvență între zero și dublul vitezei de rotație a fluidului.
Frecvența undei este, de asemenea, determinată de direcția de propagare în așa fel încât:

undele care se propagă într-o direcție perpendiculară pe axa de rotație au frecvență zero și se mai numesc și moduri geostrofice ;
undele care se propagă într-o direcție paralelă cu axa de rotație au frecvența maximă, care este egală cu dublul vitezei de rotație;
toate celelalte unde care se propagă în unghiuri intermediare au frecvențe intermediare între aceste două extreme.

Într-un spațiu deschis, undele inerțiale pot asuma orice valoare de frecvență între zero și dubla viteza de rotație, în timp ce într-un container închis pot exista limitări ale frecvențelor posibile atât pentru undele inerțiale, cât și pentru orice alt tip de undă. Undele inerțiale dintr-un container închis se mai numesc și moduri inerțiale . Într-o sferă, de exemplu, modurile inerțiale sunt forțate să-și asume doar unele frecvențe unice, lăsând găuri libere pentru valorile în care un mod inerțial nu poate exista.

Exemple de unde inerțiale

Undele inerțiale se pot forma în orice tip de fluid: apă, petrol, metale lichide, aer și alte gaze. Acestea sunt observate în mod obișnuit în atmosfere planetare ( valuri Rossby și vânturi geostrofice ) și în oceane și lacuri ( curenți geostrofici ) unde sunt responsabile de cea mai mare parte a amestecării care are loc în aceste ape. Undele inerțiale cauzate de schimbarea pantei fundului oceanului se încadrează în valurile Rossby.
Undele inerțiale pot fi observate și în experimente de laborator sau în fluxuri industriale stabilite în rotație.

Se crede că valurile inerțiale există în miezul exterior al Pământului și au fost raportate că au fost identificate. ^[1] Se crede că există unde inerțiale similare în fluidele rotative astronomice, cum ar fi discurile de acumulare , inelele planetare și galaxiile .

Formalismul matematic

Fluxul unui fluid este guvernat de ecuațiile Navier-Stokes cu privire la impulsul său unghiular. Debitul ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec {u}}$ a unui fluid cu vâscozitate $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , supus presiunii $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și care se rotește cu o viteză $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , variază în timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ conform ecuației momentului:

{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial t}} + ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {u}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ vec {\ nabla}} P + \ nu \ nabla ^ {2} {\ vec {u}} - 2 {\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {u}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial t}} + ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {u}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ vec {\ nabla}} P + \ nu \ nabla ^ {2} {\ vec {u}} - 2 {\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {u}}.}

În membrul stâng există variația vitezei $\,{\vec {u}}$ ${\ displaystyle \, {\ vec {u}}}$ ${\ displaystyle \, {\ vec {u}}}$ a unei particule fluide în funcție de timp $\,t$ ${\ displaystyle \, t}$ ${\ displaystyle \, t}$ și spațiu.
În partea dreaptă a ecuației, primul termen ia în considerare schimbarea presiunii $\,P$ ${\ displaystyle \, P}$ ${\ displaystyle \, P}$ și conține în el un termen corectiv pentru forța centripetă indusă de mișcarea de rotație; al doilea termen ia în considerare difuzia vâscoasă $\,\nu$ ${\ displaystyle \, \ nu}$ ${\ displaystyle \, \ nu}$ ; al treilea și ultimul este termenul Coriolis în funcție de viteza de rotație $\,\Omega$ ${\ displaystyle \, \ Omega}$ ${\ displaystyle \, \ Omega}$ .

Pentru a fi exact, ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec {u}}$ este viteza de curgere observată în interiorul sistemului de referință rotativ. Deoarece un astfel de sistem se accelerează (adică este un sistem de referință non-inerțial ), din această transformare a coordonatelor ies două (pseudo) forțe: forța centrifugă și forța Coriolis . În ecuație, forța centrifugă este inclusă ca parte a presiunii generalizate $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , care este legat de presiunea normală $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ (care depinde de distanța față de axa de rotație $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ), prin

P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega ^{2}.

{\ displaystyle P = p + {\ frac {1} {2}} \ rho r ^ {2} \ Omega ^ {2}.}

{\ displaystyle P = p + {\ frac {1} {2}} \ rho r ^ {2} \ Omega ^ {2}.}

În cazul în care viteza de rotație este mare, forța Coriolis și forța centrifugă devin mari în comparație cu ceilalți termeni (difuzie și derivată convectivă) care pot fi neglijați. Prin aplicarea unei rotații pe ambele părți ale ecuației și luând în considerare unele identități vectoriale, obținem:

{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ times {\ vec {u}} = 2 ({\ vec {\ Omega}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) \ vec {u}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ times {\ vec {u}} = 2 ({\ vec {\ Omega}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) \ vec {u}}.}

O clasă de soluții ale acestei ecuații sunt unde care trebuie să îndeplinească două condiții.

Primul: dacă ${\vec {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ este vectorul undei,

{\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,

{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {k}} = 0,}

{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {k}} = 0,}

adică unda este transversală (perpendiculară pe mișcare) așa cum s-a văzut deja.

Al doilea: soluțiile trebuie să aibă o frecvență $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ care satisface relația de dispersie

\omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },

{\ displaystyle \ omega = 2 {\ hat {k}} \ cdot {\ vec {\ Omega}} = 2 \ Omega \ cos {\ theta},}

{\ displaystyle \ omega = 2 {\ hat {k}} \ cdot {\ vec {\ Omega}} = 2 \ Omega \ cos {\ theta},}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul dintre axa de rotație și direcția undei. Aceste soluții particulare sunt cunoscute sub numele de unde inerțiale.

Relația de dispersie este similară cu termenul Coriolis în ecuația momentului, viteza de rotație fiind factorul a două. Acest lucru are consecințe imediate atât pentru gama de frecvențe posibile pentru undele inerțiale, cât și pentru dependența frecvenței lor de direcție.

Notă

^ KD Aldridge și I. Lumb, Undele inerțiale identificate în nucleul exterior fluid al Pământului , în Nature , vol. 325, nr. 6103, 1987, pp. 421–423, Bibcode : 1987 Nat . 325..421A , DOI : 10.1038 / 325421a0 .

Bibliografie

KD Aldridge și I. Lumb, Undele inerțiale identificate în nucleul exterior fluid al Pământului , în Nature , vol. 325, nr. 6103, 1987, pp. 421–423, Bibcode : 1987 Nat . 325..421A , DOI : 10.1038 / 325421a0 .
HP Greenspan, Theory of Rotating Fluids , Cambridge University Press, 1969.
LD Landau și EM Lifschitz, Mecanica fluidelor, Ediția a doua , New York, Elsevier, 1987, ISBN 0-7506-2767-0 .
S. Galtier: O teorie a turbulenței undelor inerțiale slabe , Phys. Rev. E, vol. 68, p 015301, 2003 .

Elemente conexe

Portalul Științelor Pământului : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu Științele Pământului

[1] KD Aldridge și I. Lumb, Undele inerțiale identificate în nucleul exterior fluid al Pământului , în Nature , vol. 325, nr. 6103, 1987, pp. 421–423, Bibcode : 1987 Nat . 325..421A , DOI : 10.1038 / 325421a0 .

[1]