Paradoxul lui Bertrand

Paradoxul lui Bertrand este o problemă cu abordarea clasică a teoriei probabilității , dezvoltată inițial de Joseph Bertrand în lucrarea sa Probabilitatea din 1889, care arată cum conceptul de probabilitate nu este bine definit, nu este clar unde este mecanismul variabilelor aleatorii generat. Bertrand a propus trei abordări ale soluționării problemei bazate pe raționament care toate par intuitiv valabile, dar care duc la rezultate inconsistente.

Formulare

Având în vedere un triunghi echilateral înscris într-un cerc și o coardă a cercului ales aleatoriu, problema constă în determinarea probabilității ca frânghia să fie mai lungă decât o latură a triunghiului. Bertrand a propus trei abordări diferite:

roșu = mai lung decât latura triunghiului, albastru = mai scurt
Metoda „extreme aleatorii”: alegeți un punct pe circumferință și rotiți triunghiul astfel încât punctul ales să fie unul dintre vârfuri. Apoi alegeți un alt punct de pe circumferință și desenați coarda care unește cele două puncte. Pentru punctele de pe arc între capetele laturii opuse primului punct, coarda este mai lungă decât o parte a triunghiului. Lungimea arcului este o treime din lungimea circumferinței, deci probabilitatea ca un șir aleatoriu să fie mai lung decât o parte a triunghiului înscris este de o treime.
Metoda „razei aleatorii”: alegeți o rază a cercului și rotiți triunghiul astfel încât o parte să fie perpendiculară pe rază. Apoi alegeți un punct al razei și trageți coarda perpendiculară pe raza al cărei punct mediu este punctul ales. Acordul este mai lung decât o parte a triunghiului dacă punctul ales este mai aproape de centrul cercului decât punctul în care latura triunghiului intersectează raza. Deoarece latura triunghiului împarte raza în două părți egale, punctul ales este la fel de probabil să fie mai aproape sau mai departe. În consecință, probabilitatea ca un șir aleatoriu să fie mai lung decât o parte a triunghiului înscris este de jumătate.
Metoda „punctului de mijloc aleatoriu”: alegeți un punct aleatoriu al cercului (nu neapărat al circumferinței!). Apoi construiți un șir care are punctul ales ca punct de mijloc. Coarda este mai lungă decât latura triunghiului inscripționat dacă punctul ales se încadrează într-un cerc concentric față de primul cu raza 1/2. Aria cercului mai mic este un sfert din aria cercului inițial, deci probabilitatea ca un șir aleatoriu să fie mai lung decât latura triunghiului înscris este de un sfert.

Soluție clasică

Rezolvarea problemei, deci, depinde de metoda prin care alegem „la întâmplare” un șir. Se pare că odată specificată metoda de selecție aleatorie, problema are o soluție bine definită. Dar nu există o singură metodă de selecție, prin urmare nu poate exista o singură soluție. Cele trei soluții prezentate de Bertrand corespund diferitelor metode de selecție și, în absența unor informații suplimentare, nu există niciun motiv să preferăm una peste alta.

Metodele de selecție pot fi afișate după cum urmează. În plus față de diametrul său, o coardă este identificată în mod unic prin punctul său mediu. Fiecare dintre cele trei metode de selecție prezentate mai sus conduce la o distribuție diferită a punctelor medii. Metodele 1 și 2 conduc la două distribuții diferite neuniforme, în timp ce metoda trei conduce la o distribuție uniformă. Alte distribuții pot fi imaginate cu ușurință, dintre care multe vor duce la o proporție diferită a șirurilor mai lungi ale laturii triunghiului înscris peste total.

Punctele medii ale șirurilor alese aleatoriu, metoda 1	Punctele medii ale șirurilor alese aleatoriu, metoda 2	Punctele medii ale șirurilor alese aleatoriu, metoda 3
Șiruri alese aleatoriu, metoda 1	Șiruri alese aleator, metoda 2	Șiruri alese aleatoriu, metoda 3

Soluție de bun simț

În publicația sa din 1973 The Well-Posed Problem [1] , ET Jaynes s-a întrebat dacă într-adevăr nu este posibil să spunem ce „întâmplător”. El a scris că știm mai multe despre acest „dezinvolt” decât ar putea părea la început.

Dacă analizăm teoretic un experiment aleatoriu, putem încerca să-l înțelegem gândindu-ne la modul în care am efectua efectiv acel experiment. În acest caz, am putea încerca să aruncăm șuvițe mici de paie pe o monedă care se află destul de departe de noi încât să putem spune că felul în care cade paia pe monedă este suficient de „aleatoriu”. În acest moment, este de bun simț să spunem că soluția este aceeași indiferent dacă luăm o monedă mare sau mică și indiferent dacă moneda este plasată puțin mai departe la dreapta sau puțin mai mult la stânga.

Dacă admitem aceste informații suplimentare de bun simț, atunci există o singură soluție la problemă și aceasta este cea bazată pe a doua metodă de selecție văzută mai sus: metoda „razelor aleatorii”.

Mai exact, argumentul se dezvoltă în acest fel: dacă am ales acorduri aleatorii într-un cerc de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , iar în acest moment considerăm un cerc concentric cu primul, de rază $r/2$ ${\ displaystyle r / 2}$ ${\ displaystyle r / 2}$ , apoi unele dintre corzile cercului mai mare vor tăia și cercul mai mic. Dacă alegerea acordurilor urmează ceea ce se înțelege prin bun simț pentru „aleatoriu”, atunci ne-am aștepta ca setul de acorduri alese aleatoriu să dea aceeași probabilitate atât în cercurile mari, cât și în cele mici. Soluția care ar trebui să fie scalarea invarianței.

În mod similar, dacă mutăm centrul cercului mic departe de centrul cercului mare, atunci ar trebui să avem aceeași probabilitate din nou. Soluția, adică ar trebui să fie, de asemenea, invariantă pentru traducere.

Mai detaliat, Jaynes a remarcat, de asemenea, că soluția ar trebui să fie invariantă la rotație.

El a demonstrat că există o singură distribuție a punctelor medii ale acordurilor, care este invariantă prin scară și invariantă prin traducere. Poate fi derivat direct din ecuația integrală pentru invarianța traducerii. Această distribuție este cea descrisă mai sus în „metoda 2”.

Astfel, deși toate cele trei metode sunt perfect corecte și acceptabile, a doua este singura care îndeplinește cerințele cărora, în sensul comun, le corespunde expresia „alegerea aleatorie a unui șir”.

Evoluțiile recente

Într-o lucrare recentă,^[1] Diederik Aerts și Massimiliano Sassoli de 'Bianchi consideră o strategie comună pentru a aborda paradoxul lui Bertrand. Potrivit acestor autori, problema trebuie mai întâi dezambiguizată, specificând clar natura entității supuse randomizării. De fapt, acest lucru se face numai atunci când problema poate fi considerată ca fiind bine pusă și principiul indiferenței Laplace folosit pentru a o rezolva. În acest scop și întrucât problema nu specifică modul de selectare a coardei, principiul trebuie aplicat nu la nivelul diferitelor alegeri posibile ale unui acord, ci la cel mai profund nivel al diferitelor moduri posibile de a alege un acord. Acest lucru necesită calcularea unei (meta) medii peste toate modalitățile posibile de selectare a unui șir, pe care autorii le numesc medie universală. Pentru a-l calcula, utilizând o metodă binning care se bazează pe cea utilizată pentru a defini probabilitățile într-un proces Wiener .