Principiul Huygens-Fresnel

Principiul Huygens-Fresnel , sau mai simplu principiul Huygens (numit după fizicianul olandez Christiaan Huygens ), este o metodă de analiză aplicată problemelor de propagare a undelor .

Din perspectiva valului , are următoarea formulare:

Fiecare element dΣ al unui front de undă Σ poate fi considerat formal ca o sursă secundară de unde sferice în fază cu amplitudinea primară și proporțională cu cea a undei primare și cu zona dΣ. Perturbarea produsă într-un punct al spațiului poate fi întotdeauna obținută ca o suprapunere a tuturor undelor sferice secundare care ajung la acel punct .

Principiul exprimat este un instrument de calcul foarte util, deoarece vă permite să determinați direct frontul de undă la un anumit moment, odată ce este cunoscut cel din orice moment anterior (sau ulterior). Calculul cifrei de interferență produsă de anvelopa undelor sferice secundare este posibilă atât atunci când unda se propagă liber, cât și când este limitată de un obstacol impenetrabil și, prin urmare, poate fi utilizată la determinarea efectelor de difracție produse de o radiație, vizibile pe o ecran.

Descriere

Având în vedere o sursă (S) care generează o undă sferică în spațiu, fiecare punct al frontului de undă primar se comportă ca o sursă secundară generând alte unde cu aceleași caracteristici ca unda primară (lungime de undă, frecvență, viteză) dacă nu există o schimbare a mediului (în acest caz lungimea de undă și viteza se vor adapta la schimbarea mediului); suprapunerea acestor unde secundare generează alte fronturi de undă, numite secundare care la rândul lor vor produce altele, determinând expansiunea undei. NB Noul front de undă care trebuie luat în considerare este evident linia neagră cu caractere aldine. (Ecranul în acest caz nu ne interesează.)

Clarificări

Sursele elementare de radiație plasate pe frontul de undă produc undele sferice, dar este, de asemenea, evident că astfel de perturbații trebuie într-un anumit mod să fie proiectate în direcția de propagare a undei primare. Acest fapt este luat în considerare de așa-numitul factor de oblicitate , care modulează amplitudinea undei sferice în funcție de unghiul θ identificat de vectorul de propagare al primarului și de cel care unește centrul de emisie cu punctul spațiul P în care intenționați să evaluați câmpul

f(\theta )={\frac {1+\cos {\theta }}{2}}

{\ displaystyle f (\ theta) = {\ frac {1+ \ cos {\ theta}} {2}}}

{\ displaystyle f (\ theta) = {\ frac {1+ \ cos {\ theta}} {2}}}

prin urmare, principiul Huygens-Fresnel pentru câmpul rezultat poate fi exprimat matematic, în termeni fazorici , în următoarea formă

{\frac {u_{0}}{i\lambda }}\int _{\Sigma }{\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta ){\mbox{d}}\Sigma

{\ displaystyle {\ frac {u_ {0}} {i \ lambda}} \ int _ {\ Sigma} {\ frac {e ^ {ikr}} {r}} f (\ theta) {\ mbox {d} } \ Sigma}

{\ displaystyle {\ frac {u_ {0}} {i \ lambda}} \ int _ {\ Sigma} {\ frac {e ^ {ikr}} {r}} f (\ theta) {\ mbox {d} } \ Sigma}

unde k este modulul vectorului de undă al primarului, r distanța care separă punctul generic al frontului de undă cu P și u ₀ amplitudinea primarului pe frontul de undă; constanta de multiplicare (iλ) ^-1 , unde λ este lungimea de undă, derivă din impunerea condițiilor de radiație la infinit . ^[1]

Interpretarea fizică conform lui Feynman

Există o explicație fizică a principiului lui Huygens, aici indicat doar la nivel calitativ, descris de Richard Feynman .

Imaginați-vă, de exemplu, că aveți un ecran opac cu o singură fantă, pe care este gravată o undă plană monocromatică. Conform principiului Huygens, frontul de undă care se propagă dincolo de această fantă se datorează interferenței create exclusiv de punctele din fantă, surse secundare de unde sferice. Acest fenomen poate fi interpretat și după cum urmează. Unda incidentă pe ecranul opac este absorbită de electronii prezenți pe ecran. Ele intră în oscilație și, în consecință, emit unde electromagnetice în principal la aceeași frecvență cu care oscilează. Se constată că efectul datorat sumei tuturor contribuțiilor acestor valuri coincide cu cel obținut considerând doar sursele punctelor fantei.

Utilizare în soluția problemelor de împrăștiere

Același subiect în detaliu: Difracție (fizică) .

Schema câmpului incident produs de o sursă punctuală în prezența unui ecran pe care a fost realizată o deschidere circulară

Principiul Huygens-Fresnel poate fi utilizat în analiza situațiilor în care propagarea undelor este limitată de prezența corpurilor opace, în special în problemele de difracție sau, prin principiul Babinet , în problemele de difuzie .

Ipotezele simplificatoare care sunt avansate în soluționarea problemelor în care o undă afectează un ecran pentru a aplica acest rezultat exclusiv, fără a recurge la alte tehnici, cum ar fi simulările numerice, privesc valoarea câmpului chiar dincolo de ecran, care este presupus a fi nul și pe porțiunile suprafețelor de undă care ar apărea în absența obstacolului împreună cu sloturile (a se vedea figura din lateral), unde se presupune că câmpul real își asumă aceeași valoare ca și incidentul unu. În realitate, cele două ipoteze sunt valabile doar aproximativ și limitat la fisuri de dimensiuni suficient de mari în ceea ce privește lungimea de undă: gândiți-vă doar că, de exemplu, prima ar fi validă, ar exista o discontinuitate în valoarea câmpului de lângă marginea deschiderilor. Ceea ce este produs, chiar dincolo de margine, este o undă evanescentă care se propagă pe suprafața ecranului, dar tinde să se estompeze destul de repede; ^{[2] în} mod similar, valoarea câmpului de lângă margine se va abate într-o oarecare măsură de cea incidentă. Cu toate acestea, toate aceste fenomene pot fi ignorate pentru lungimi de undă foarte mici comparativ cu dimensiunea găurilor.

Principiul Huygens-Fresnel se aplică prin integrarea pe o suprafață care include întregul ecran și porțiunile menționate mai sus: pentru ipotezele făcute, prima contribuție este nulă, în timp ce a doua este cunoscută odată ce sunt cunoscute detaliile câmpului incident.

Interferența maximă și minimă

Același subiect în detaliu: interferența (fizică) § Schița efectelor de difracție .

Exemplu al principiului Huygens-Fresnel în difracția unei unde plane printr-o fantă.

Să luăm în considerare cazul simplu de difracție printr-o fantă și să presupunem că vrem să calculăm în ce puncte din spațiu este detectată interferența distructivă. Pentru principiul Huygens-Fresnel, problema se reduce la cea a evaluării modului în care se suprapun undele sferice produse de punctele fantei lovite de câmp. O pereche generică a acestor unde interferează distructiv atunci când diferența de cale optică este egală cu jumătate din lungimea de undă, corespunzând unei diferențe de fază de 180 °; într-un mod similar se poate deduce că un set de trei surse dă naștere unui câmp zero în care radiațiile produse de acestea se suprapun cu diferențe de cale optică egale cu o treime din lungimea de undă.

Doar pentru a rezolva ideile, presupunem că ne aflăm într-o situație bidimensională în care fisura este redusă la un segment în care câmpul este constant: dacă fisura are exact o lungime de undă, fiecare punct al fisurii va corespunde cu unul lungimea de undă și un singur punct care este exact la jumătate de lungime de undă de la acesta. Diferența de cale optică între undele produse de acele două radiatoare elementare într-un punct situat dincolo de ecran, la o distanță mare de deschidere și într-o poziție perfect centrală față de acesta din urmă, va fi exact egală cu jumătate din lungimea d val: cele două valuri vor interfera distructiv. Deoarece acest lucru este valabil pentru orice pereche generică de puncte, pe bisectoarea fisurii se va observa o intensitate zero, în perfectă contradicție cu legile opticii geometrice . În cazul tridimensional, un astfel de efect se va obține dacă fisura are forma unui hexagon regulat cu o latură egală cu o treime din lungimea de undă ^[3] (întotdeauna dacă câmpul este uniform în interiorul găurii).

Notă

^ Landau , pp. 195-199 .
^ (EN) Henri Lezec, Tineke Thio, „model de undă evanescentă difractată pentru transmisie optică îmbunătățită și suprimată prin matrici de găuri de lungime de undă ” , pe opticsinfobase.org, Opt. Express 12 , 3629-3651 (2004). Adus 09-01-2009 .
^ Acest lucru este ușor dedus pe baza următoarei observații: ignorând cele situate pe perimetru și diagonale a , b și c , din orice punct al hexagonului începem este posibil să călătorim doar două din cele trei direcții a , b și c pentru o lungime egală la o treime din lungimea de undă fără a părăsi figura. Această procedură identifică o altă pereche de puncte care, împreună cu primul, descrie un triunghi echilateral cu latura egală cu λ / 3 . Afirmația rezultă din faptul că, prin repetarea raționamentului obișnuit pentru celelalte două vârfuri, se obține întotdeauna același triunghi