Punct de echilibru
Un punct de echilibru al unui sistem dinamic este un punct în care evoluția sistemului este staționară.
Având în vedere un sistem autonom , vectorul este un punct de echilibru dacă . În acest caz, funcția este o soluție (staționară) pentru fiecare . Soluțiile staționare sunt toate și numai punctele de echilibru ale ecuației, a căror căutare coincide deci cu găsirea zerourilor câmpului vectorial .
Definiție
Dacă sistemul dinamic este determinat de o ecuație diferențială (sau un sistem de ecuații):
un punct de echilibru este un punct astfel încât pentru fiecare . De fapt, această condiție implică faptul că:
din care, prin integrare, obținem indiferent de vreme , adică sistemul tinde să rămână neschimbat în condițiile descrise la punctul . Un interes deosebit îl are studiul derivatelor (sau iacobianului ) la punctele de echilibru, deoarece oferă diverse informații despre comportamentul local al soluției.
Dacă sistemul dinamic este determinat de o ecuație de recurență :
atunci un punct de echilibru este un punct că este un punct fix al hărților , sau astfel încât pentru fiecare n .
Stabilitate
Punctele de echilibru pot fi clasificate prin liniarizarea ecuației și observarea semnului valorilor proprii ale matricei iacobiene (relativ la sistemul liniarizat) evaluate la punctul de echilibru.
Un punct de echilibru este hiperbolic dacă niciuna dintre valorile proprii nu are vreo parte reală. Dacă toate valorile proprii au o parte reală negativă, punctul de echilibru este stabil , în timp ce dacă cel puțin o valoare proprie are o parte reală pozitivă, echilibrul este instabil . În cele din urmă, dacă există cel puțin o valoare proprie care are o parte reală pozitivă și una care are o parte reală negativă, punctul este un punct de șa .
Elemente conexe
- Criteriul Dirichlet-Lagrange
- Punct critic (matematică)
- Punct de echilibru hiperbolic
- Punct de șa
- Punct fix
- Stabilitate internă
- Soi stabil
Alte proiecte
- Wikicitată conține citate din sau despre punctul de echilibru
linkuri externe
- Antonio Giorgilli - Echilibru și stabilitate ( PDF ), pe mat.unimi.it .
- ( RO ) Jason Frank - Puncte de echilibru și puncte fixe ( PDF ), pe staff.science.uu.nl .
- ( RO ) Norman Lebovitz - Puncte de echilibru ( PDF ), pe people.cs.uchicago.edu .