Legea lui Poiseuille

În dinamica fluidelor , legealui Poiseuille (sau chiar a lui Hagen-Poiseuille ) este o lege fizică care vă permite să raportați căderea de presiune și debitul conductelor. Legea în forma sa cea mai elementară este valabilă dacă fluidul este incompresibil , newtonian și în regim laminar . Mai mult, pentru a simplifica problema, se consideră în general că conducta are o secțiune cilindrică constantă ^[1] , această ultimă ipoteză nu este necesară.

Afirmația legii este: debitul este direct proporțional cu gradientul de presiune și cu pătratul suprafeței și invers proporțional cu lungimea conductei și cu vâscozitatea fluidului .

A fost determinată empiric în mod independent de Jean Léonard Marie Poiseuille în 1838 ^[2] și de Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen ^[3] . Explicația teoretică a legii lui Poiseuille a fost dată ulterior de George Stokes în 1845 ^[4] . Legea a fost inițial formulată pentru a studia modul în care sângele circulă în vasele de sânge și ulterior sa extins la mișcarea laminară în fluidele incompresibile.

Dintre ipotezele date (incompresibilitate, fluid newtonian, regim laminar) ar trebui adăugat că raza conductei trebuie să fie mult mai mică decât lungimea sa și că conducta este orizontală. Dacă regimul este turbulent și nu laminar, scăderea presiunii este mai mare decât cea prevăzută de legea lui Poiseuille.

Ecuaţie

Relația dintre scăderea presiunii și debitul este dată de următoarea ecuație:

\Delta p={\frac {8\mu LQ}{\pi R^{4}}}={\frac {8\pi \mu LQ}{S^{2}}}

{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {8 \ mu LQ} {\ pi R ^ {4}}} = {\ frac {8 \ pi \ mu LQ} {S ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {8 \ mu LQ} {\ pi R ^ {4}}} = {\ frac {8 \ pi \ mu LQ} {S ^ {2}}}}

$\Delta p$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ $\ Delta p$ este scăderea de presiune (sau diferența) dintre cele două extreme,
$L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este lungimea conductei,
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este vâscozitatea fluidului considerat;
$Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este debitul volumetric (volumul care trece în unitatea de timp)
$R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este raza conductei,
$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este secțiunea conductei.

Ecuația nu este exactă la începutul și la sfârșitul conductei ^[5] . De asemenea, ecuația oferă rezultate inexacte dacă țeava este prea largă sau prea scurtă. În cazul fluxului turbulent este necesar să se aplice modele mai complexe derivate din ecuația Darcy-Weisbach .

Demonstrație

Luați în considerare un fluid vâscos care curge într-un mod staționar într-o conductă orizontală cu o secțiune constantă și o formă cilindrică. Pentru a rezolva problema cantitativ este necesar ca viteza lichidului să fie suficient de mică astfel încât să se creeze un flux laminar cu simetrie cilindrică cu straturile exterioare ale lichidului, cele udate de pereți, având viteză zero și cu stratul central având viteza.maxima.

Ecuația Poiseuille este obținută din ecuațiile Navier-Stokes folosind coordonatele cilindrice pentru diferitele regiuni ale conductei: $(r,\theta ,x)$ ${\ displaystyle (r, \ theta, x)}$ ${\ displaystyle (r, \ theta, x)}$ , cu x de-a lungul axei conductei cu următoarele condiții:

Debitul este staționar, adică nici o cantitate fizică nu depinde de timp.
Componentele vitezei radiale $v_{r}$ ${\ displaystyle v_ {r}}$ ${\ displaystyle v_ {r}}$ și azimut $v_{\theta }$ ${\ displaystyle v _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle v _ {\ theta}}$ sunt nule.
Fluxul are simetrie axială, adică nu depinde de nicio mărime fizică $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$
Conservarea masei implică faptul că $\partial v_{x}/\partial x=0$ ${\ displaystyle \ partial v_ {x} / \ partial x = 0}$ ${\ displaystyle \ partial v_ {x} / \ partial x = 0}$

Presiunea este doar o funcție a coordonatei axiale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Ecuația Navier-Stokes în direcția axială este pur și simplu egală cu:

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial v_{x}}{\partial r}}\right)=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial r}} \ right) = - {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial r}} \ right) = - {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}}}

Unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este vâscozitatea dinamică a fluidului. În ecuație partea stângă depinde doar de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ iar partea dreaptă numai din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Deci amândoi sunt egali cu aceeași constantă. Așa a spus raportul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ între diferența de presiune dintre extreme (presiune ridicată minus presiune scăzută) și lungimea conductei:

G=\Delta p/L={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}

{\ displaystyle G = \ Delta p / L = {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}}}

{\ displaystyle G = \ Delta p / L = {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}}}

acest raport este o constantă pozitivă.

Prin urmare, avem:

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial v_{x}}{\partial r}}\right)=-{\frac {G}{\mu }}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial r}} \ right) = - {\ frac {G} {\ mu}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial r}} \ right) = - {\ frac {G} {\ mu}}}

A cărei soluție generică este:

v_{x}(r)=-{\frac {Gr^{2}}{4\mu }}+c_{1}\ln r+c_{2}

{\ displaystyle v_ {x} (r) = - {\ frac {Gr ^ {2}} {4 \ mu}} + c_ {1} \ ln r + c_ {2}}

{\ displaystyle v_ {x} (r) = - {\ frac {Gr ^ {2}} {4 \ mu}} + c_ {1} \ ln r + c_ {2}}

Impunând, ca logic, că $v_{x}(r)$ ${\ displaystyle v_ {x} (r)}$ ${\ displaystyle v_ {x} (r)}$ are o valoare finită în centrul unde $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle r = 0}$ , în consecință, avem asta $c_{1}=0$ ${\ displaystyle c_ {1} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {1} = 0}$ . Valoarea a $c_{2}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ este determinată de condiția ca viteza fluidului să fie zero pe pereți (adică pentru $r=R$ ${\ displaystyle r = R}$ ${\ displaystyle r = R}$ ), deci, ca o consecință, avem acest lucru $c_{2}=GR^{2}/(4\mu )$ ${\ displaystyle c_ {2} = GR ^ {2} / (4 \ mu)}$ ${\ displaystyle c_ {2} = GR ^ {2} / (4 \ mu)}$ . Viteza are un comportament parabolic:

v_{x}(r)={\frac {G}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})

{\ displaystyle v_ {x} (r) = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R ^ {2} -r ^ {2})}

{\ displaystyle v_ {x} (r) = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R ^ {2} -r ^ {2})}

In centru ( $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ) viteza este maximă și se aplică următoarele:

v_{max}={\frac {GR^{2}}{4\mu }}

{\ displaystyle v_ {max} = {\ frac {GR ^ {2}} {4 \ mu}}}

{\ displaystyle v_ {max} = {\ frac {GR ^ {2}} {4 \ mu}}}

Viteza medie se obține prin integrarea pe secțiunea conductei:

{v}_{avg}={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi rv_{x}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}v_{max}

{\ displaystyle {v} _ {avg} = {\ frac {1} {\ pi R ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi rv_ {x} \ mathrm {d} r = {\ frac {1} {2}} v_ {max}}

{\ displaystyle {v} _ {avg} = {\ frac {1} {\ pi R ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi rv_ {x} \ mathrm {d} r = {\ frac {1} {2}} v_ {max}}

Debitul volumetric (volumul care trece în unitatea de timp) este:

Q=\pi R^{2}{v}_{avg}

{\ displaystyle Q = \ pi R ^ {2} {v} _ {avg}}

{\ displaystyle Q = \ pi R ^ {2} {v} _ {avg}}

Prin urmare:

Q=\pi R^{2}{\frac {1}{2}}v_{max}=\pi {\frac {GR^{4}}{8\mu }}=\pi {\frac {R^{4}}{8L\mu }}\Delta p

{\ displaystyle Q = \ pi R ^ {2} {\ frac {1} {2}} v_ {max} = \ pi {\ frac {GR ^ {4}} {8 \ mu}} = \ pi {\ frac {R ^ {4}} {8L \ mu}} \ Delta p}

{\ displaystyle Q = \ pi R ^ {2} {\ frac {1} {2}} v_ {max} = \ pi {\ frac {GR ^ {4}} {8 \ mu}} = \ pi {\ frac {R ^ {4}} {8L \ mu}} \ Delta p}

care este ecuația Poiseuille.

Deci, definim conductanța hidraulică:

C=\pi {\frac {R^{4}}{8L\mu }}

{\ displaystyle C = \ pi {\ frac {R ^ {4}} {8L \ mu}}}

{\ displaystyle C = \ pi {\ frac {R ^ {4}} {8L \ mu}}}

În timp ce inversează rezistența dinamică a fluidului :

R_{f}={\frac {8L\mu }{\pi R^{4}}}

{\ displaystyle R_ {f} = {\ frac {8L \ mu} {\ pi R ^ {4}}}}

{\ displaystyle R_ {f} = {\ frac {8L \ mu} {\ pi R ^ {4}}}}

Făcând o analogie cu rezistivitatea electrică putem defini conductivitatea hidraulică ca:

k={L \over R_{f}S}={\frac {R^{2}}{8\mu }}

{\ displaystyle k = {L \ over R_ {f} S} = {\ frac {R ^ {2}} {8 \ mu}}}

{\ displaystyle k = {L \ over R_ {f} S} = {\ frac {R ^ {2}} {8 \ mu}}}

Legea lui Poiseuille este utilizată pe scară largă în calculul pierderilor de cap în mișcarea fluidelor din conducte.

Legea lui Poiseuille și legea lui Ohm

Legea lui Ohm are puternice analogii cu legea lui Poiseuille: fluxul de electroni se comportă ca un fluid incompresibil în mișcare laminară, a cărui viteză este proporțională cu câmpul electric local; diferența de potențial este echivalentul diferenței de presiune, în timp ce curentul electric are același rol ca și debitul volumetric.

Cele două legi diferă în funcție de dependența conductanței de rază: conductanța este proporțională cu pătratul razei conform legii lui Ohm și cu a patra sa putere de legea lui Poiseuille. Această diferență se datorează faptului că fluxul de electroni se comportă ca un fluid fără vâscozitate, a cărui viteză este deci aceeași în fiecare punct al secțiunii conductorului, indiferent de distanța de centru, în timp ce legea lui Poiseuille presupune un fluid vâscos, a cărui viteză este zero pe suprafața conductei.

Legea lui Poiseuille pentru gaze perfecte

Debitul volumetric în cazul fluidelor incompresibile și izoterme este practic egal cu cantitatea de materie care curge. În cazul unui fluid compresibil precum un gaz perfect, debitul volumetric nu mai este identificat cu cantitatea de materie, debitul este dat de produsul debitului volumetric și de presiunea care apare local. Această cantitate, dacă temperatura este constantă, este conservată de-a lungul conductei ^[6] . Dacă indicăm cu 2 punctul extrem al conductei în care presiunea este mai mică, produsul debitului volumetric de presiune este constant:

Q(x)p(x)=Q_{2}p_{2}

{\ displaystyle Q (x) p (x) = Q_ {2} p_ {2}}

{\ displaystyle Q (x) p (x) = Q_ {2} p_ {2}}

Este indicat. Local la punctul de coordonate $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Legea lui Poiseuille continuă să se aplice:

-dp={\frac {8\mu Q(x)}{\pi R^{4}}}dx={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}p}}dx

{\ displaystyle -dp = {\ frac {8 \ mu Q (x)} {\ pi R ^ {4}}} dx = {\ frac {8 \ mu Q_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4} p}} dx}

{\ displaystyle -dp = {\ frac {8 \ mu Q (x)} {\ pi R ^ {4}}} dx = {\ frac {8 \ mu Q_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4} p}} dx}

Prin separarea variabilelor:

-pdp={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}dx

{\ displaystyle -pdp = {\ frac {8 \ mu Q_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4}}} dx}

{\ displaystyle -pdp = {\ frac {8 \ mu Q_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4}}} dx}

Adică, s-a presupus că gradientul de presiune nu este prea mare pentru a produce efecte asupra compresibilității. Prin urmare, la nivel local, variația presiunii datorată variațiilor de densitate este ignorată, acest efect trebuie luat în considerare pe distanțe mari. Mai mult, în cazul gazelor ideale, vâscozitatea $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este independent de presiune. Ecuația poate fi integrată pe lungimea conductei din dreapta și pe căderea de presiune din stânga:

-\int _{p_{1}}^{p_{2}}pdp=\int _{0}^{L}{\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}dx

{\ displaystyle - \ int _ {p_ {1}} ^ {p_ {2}} pdp = \ int _ {0} ^ {L} {\ frac {8 \ mu Q_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4}}} dx}

{\ displaystyle - \ int _ {p_ {1}} ^ {p_ {2}} pdp = \ int _ {0} ^ {L} {\ frac {8 \ mu Q_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4}}} dx}

p_{1}^{2}-p_{2}^{2}={\frac {16\mu LQ_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}

{\ displaystyle p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2} = {\ frac {16 \ mu LQ_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4}}}}

{\ displaystyle p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2} = {\ frac {16 \ mu LQ_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4}}}}

Prin urmare, debitul (materiei) la ieșirea dintr-un canal pentru un gaz ideal este egal cu:

p_{2}Q_{2}={\frac {\pi R^{4}}{16\mu L}}\left(p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right)={\frac {\pi R^{4}}{8\mu L}}{\frac {(p_{1}+p_{2})}{2}}(p_{1}-p_{2})

{\ displaystyle p_ {2} Q_ {2} = {\ frac {\ pi R ^ {4}} {16 \ mu L}} \ left (p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2 } \ right) = {\ frac {\ pi R ^ {4}} {8 \ mu L}} {\ frac {(p_ {1} + p_ {2})} {2}} (p_ {1} - p_ {2})}

{\ displaystyle p_ {2} Q_ {2} = {\ frac {\ pi R ^ {4}} {16 \ mu L}} \ left (p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2 } \ right) = {\ frac {\ pi R ^ {4}} {8 \ mu L}} {\ frac {(p_ {1} + p_ {2})} {2}} (p_ {1} - p_ {2})}

Această ecuație poate fi considerată extinderea legii lui Poiseuille cu un factor de corecție care ia în considerare presiunea medie ${\frac {p_{1}+p_{2}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {1} + p_ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {1} + p_ {2}} {2}}}$ la ieșirea conductei.

Această ecuație se menține în limita așa-numitului regim vâscos al gazelor ideale. De fapt, vâscozitatea gazului ideal este independentă de presiunea gazului pe baza teoriei cinetice a gazelor care consideră calea liberă medie ca singura lungime importantă în fenomenele de transport . $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , dimensiunile fizice ale containerului în care se află gazul rarefiat sunt neglijate. Cand $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ de același ordin de mărime sau chiar mai mare decât $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ Legea lui Pouseuille, în forma sa extinsă pentru gaze perfecte, nu mai este valabilă și este necesar să se ia în considerare modul în care are loc coliziunea cu pereții. În fizica vidului , cele două comportamente diferite se disting prin numirea regimului vâscos pe cel în care se menține (extins) legea lui Pouseuille și pe cel în care nu este (calea liberă medie mai mare decât dimensiunile fizice ale containerului).

Notă

^ P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics Vol. I , Edises , 2003. cap.8
^ SP Sutera și R. Skalak, The History of Poiseuille's Law, Revista anuală a mecanicii fluidelor, 25 , 1-19 (1993).
^ István Szabó, Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen , Basel: Birkhäuser Verlag, (1979).
^ Stokes, GG (1845). Despre teoriile fricțiunii interne a fluidelor în mișcare și a echilibrului și mișcării solidelor elastice. Tranzacțiile Societății Filozofice din Cambridge, 8 , 287-341
^ Stefen Vogel, Life in Moving Fluids: The Physical Biology of Flow , PWS Kent Publishers, 1981.
^ LD Landau și EM Lifshitz , Mecanica fluidelor , Pargamon Press, 1987, pagina 55, problema 6.

Bibliografie

Paolo Silvestroni, Fundamentals of chemistry , ed. A X-a, CEA, 1996, ISBN 88-408-0998-8 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în legea lui Poiseuille

linkuri externe

( EN ) Legea lui Poiseuille , pe Enciclopedia Britanică , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics Vol. I , Edises , 2003. cap.8

[2] SP Sutera și R. Skalak, The History of Poiseuille's Law, Revista anuală a mecanicii fluidelor, 25 , 1-19 (1993).

[3] István Szabó, Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen , Basel: Birkhäuser Verlag, (1979).

[4] Stokes, GG (1845). Despre teoriile fricțiunii interne a fluidelor în mișcare și a echilibrului și mișcării solidelor elastice. Tranzacțiile Societății Filozofice din Cambridge, 8 , 287-341

[5] Stefen Vogel, Life in Moving Fluids: The Physical Biology of Flow , PWS Kent Publishers, 1981.

[6] LD Landau și EM Lifshitz , Mecanica fluidelor , Pargamon Press, 1987, pagina 55, problema 6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]