Sfera fotonilor

Reprezentarea unei sfere fotonice

O sferă de fotoni (sau sferă de fotoni ) este o regiune sferică a spațiului în care gravitația este suficient de puternică pentru a forța fotonii să se deplaseze în interiorul orbitelor. Formula pentru găsirea razei pentru o orbită circulară de fotoni este: r = 3GM / c ² . Din cauza acestei ecuații, sferele fotonice pot exista numai în spațiul care înconjoară un obiect extrem de compact, cum ar fi o gaură neagră .

Deoarece fotonii se deplasează aproape de orizontul evenimentelor unei găuri negre, ei pot scăpa de atracția gravitațională călătorind într-o direcție aproape verticală cunoscută sub numele de conul de ieșire . Un foton de la marginea acestui con nu va scăpa complet de gravitatea găurii negre, dimpotrivă va orbita în jurul ei, deși cu orbite instabile.

Sfera fotonică este situată mai departe de centrul unei găuri negre decât orizontul evenimentelor și ergosfera . Pentru găurile negre care nu se rotesc, sfera fotonică este o sferă cu raza 3/2 R _s , unde R _s denotă raza Schwarzschild (raza orizontului evenimentelor) - vezi mai jos pentru o derivare a acestui rezultat. Nu este posibilă nicio orbită neaccelerată cu o axă semi-majoră mai mică decât această distanță, dar în interiorul sferei fotonice, accelerarea constantă va permite unei nave spațiale sau a unei nave spațiale să plutească deasupra orizontului evenimentelor.

O gaură neagră rotativă are două sfere de fotoni și, pe măsură ce se rotește, trage spațiul înconjurător în spatele ei. Sfera fotonilor care este cea mai apropiată de gaura neagră se mișcă în aceeași direcție ca rotația, în timp ce sfera fotonilor se îndepărtează mai departe în direcția opusă. Cu cât este mai mare viteza de rotație unghiulară a unei găuri negre, cu atât este mai mare distanța dintre cele două sfere fotonice. Dar, deoarece gaura neagră are o axă de rotație, această afirmație este adevărată numai dacă se apropie gaura neagră în direcția ecuatorului. Dacă îl abordăm dintr-un unghi diferit, cum ar fi de la unul dintre poli spre ecuator, apare doar o sferă de fotoni. Acest lucru se întâmplă pentru că atunci când vă apropiați cu acest unghi, nu există posibilitatea de a călători cu sau împotriva rotației.

Derivarea razei sferei fotonice

Această derivare implică utilizarea metricei Schwarzschild , dată de:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+{\textrm {sin}}^{2}\theta d\phi ^{2})$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + {\ textrm {sin}} ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + {\ textrm {sin}} ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}$

Pentru un foton care călătorește pe o rază constantă r (de exemplu, în direcția coordonatei Φ), ds, dr și dθ trebuie să fie toate egale cu zero (consecința lui ds = 0 este un „interval egal cu lumina”).

Prin adaptarea ds, dr și dθ la zero, avem:

$\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}=r^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta d\phi ^{2}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} = r ^ {2} {\ textrm {sin}} ^ { 2} \ theta d \ phi ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} = r ^ {2} {\ textrm {sin}} ^ { 2} \ theta d \ phi ^ {2}}$

Reordonarea oferă:

${\frac {d\phi }{dt}}={\frac {c}{r{\textrm {sin}}\theta }}{\sqrt {1-{\frac {R_{s}}{r}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {c} {r {\ textrm {sin}} \ theta}} {\ sqrt {1 - {\ frac {R_ {s}} {r}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {c} {r {\ textrm {sin}} \ theta}} {\ sqrt {1 - {\ frac {R_ {s}} {r}}}}}$

unde R _s este raza Schwarzschild

Ce trebuie să știi pentru a continua este relația ${\frac {d\phi }{dt}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}}}$ . Pentru a-l găsi vom folosi ecuația geodezică radială

${\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{r}u^{\mu }u^{\nu }=0.$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {r} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = 0.}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {r} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = 0.}$

Coeficienții de conexiune diferiți de zero $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ Sunt $\Gamma _{tt}^{r}={\frac {BB^{\prime }}{2}},\;\Gamma _{rr}^{r},\;\Gamma _{\theta \theta }^{r},\;\Gamma _{\phi \phi }^{r}=-Br\sin ^{2}\theta$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {tt} ^ {r} = {\ frac {BB ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {rr} ^ {r}, \; \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {r}, \; \ Gamma _ {\ phi \ phi} ^ {r} = - Br \ sin ^ {2} \ theta}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {tt} ^ {r} = {\ frac {BB ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {rr} ^ {r}, \; \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {r}, \; \ Gamma _ {\ phi \ phi} ^ {r} = - Br \ sin ^ {2} \ theta}$ , unde este $B^{\prime }={\frac {dB}{dr}},B=1-{\frac {R_{s}}{R}}$ ${\ displaystyle B ^ {\ prime} = {\ frac {dB} {dr}}, B = 1 - {\ frac {R_ {s}} {R}}}$ ${\ displaystyle B ^ {\ prime} = {\ frac {dB} {dr}}, B = 1 - {\ frac {R_ {s}} {R}}}$ . Tratăm geodezica radială a fotonului cu re constantă $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , asa de

${\frac {dr}{d\tau }},\;{\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}},\;{\frac {d\theta }{d\tau }}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {d \ tau}}, \; {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}}, \; {\ frac {d \ theta} {d \ tau}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {d \ tau}}, \; {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}}, \; {\ frac {d \ theta} {d \ tau}} = 0}$ .

Punând totul în ecuația geodezică r obținem

$\left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}={\frac {R_{s}c^{2}}{2r^{3}\sin ^{2}\theta }}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {R_ {s} c ^ {2}} {2r ^ {3} \ sin ^ { 2} \ theta}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {R_ {s} c ^ {2}} {2r ^ {3} \ sin ^ { 2} \ theta}}}$

Comparându-l cu ceea ce a fost obținut anterior, avem:

$c{\sqrt {\frac {R_{s}}{2r}}}=c{\sqrt {1-{\frac {R_{s}}{r}}}}$ ${\ displaystyle c {\ sqrt {\ frac {R_ {s}} {2r}}} = c {\ sqrt {1 - {\ frac {R_ {s}} {r}}}}$ ${\ displaystyle c {\ sqrt {\ frac {R_ {s}} {2r}}} = c {\ sqrt {1 - {\ frac {R_ {s}} {r}}}}$

unde am intrat în radiani $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ (imaginați-vă că masa centrală, în jurul căreia orbitează fotonul, este situată în centrul axei de coordonate. Apoi, când fotonul se deplasează de-a lungul liniei de coordonate $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , pentru masa situată direct în centrul orbitei fotonului, trebuie să avem $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ radiani).

Prin urmare, rearanjând, această expresie finală dă:

$r={\frac {3}{2}}R_{s}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {3} {2}} R_ {s}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {3} {2}} R_ {s}}$

care este rezultatul pe care l-am propus pentru dovadă.

Bibliografie

Relativitatea generală: o introducere pentru fizicieni

linkuri externe

( EN ) Pas cu pas într-o gaură neagră , pe spacetimetravel.org .
( RO ) Călătorii virtuale către găurile negre și stelele neutronice , la antwrp.gsfc.nasa.gov .
( EN ) Guide to Black Holes , su gothosenterreste . Adus la 12 mai 2009 (arhivat din original la 28 septembrie 2007) .

V · D · M Găuri negre
Formare	Evoluție stelară · prăbușire · stea degenerată · limită Tolman-Oppenheimer-Volkoff · gaură neagră primordială · rază de trăsnet
Proprietate	Termodinamică · Orizont de evenimente · Singularitate ( inel ) · sferă fotonică · ergosferă · Radiație Hawking · Creștere discotecă
Dimensiune	Micro · Stellare · Massa intermediar · Supermasiv ( nucleu galactic activ · Quasar · Blazar )
Tipuri	Schwarzschild · Rotary · Load · Primordial · Supermassive
Metric	Schwarzschild · Kerr · Reissner-Nordström · Kerr-Newman
Probleme e modele alternative	Teorema fără păr · Informații despre paradox ·Protecție cronologică · ipoteză de cenzură cosmică · Gaură albă · Selecție cosmologică · Gaură neagră lipsită de singularitate · Stea neagră · Stea de energie întunecată
Asemănări	gaura neagra optica · gaura neagra acustica