Kerr metric

În relativitatea generală , metrica Kerr (sau vidul Kerr ) descrie geometria spațiu-timpului în jurul unui corp masiv rotativ. Conform acestei metrici, astfel de corpuri rotative trebuie să prezinte un efect de reportare (glisare cadru), o predicție neobișnuită a relativității generale. Măsurările acestui efect de tragere au constituit principalul accent al experimentului Gravity Probe B. Pur și simplu, acest efect prezice că obiectele care se apropie de o masă rotativă vin să participe la rotația sa, nu datorită vreunei forțe sau cupluri aplicate care poate fi resimțită, ci mai degrabă datorită curburii spațiului-timp asociată cu corpurile în rotație. La distanțe destul de apropiate, toate obiectele - lumina în sine - trebuie să se rotească cu corpul; regiunea în care se produce acest lucru se numește ergosferă .

Metrica Kerr este adesea utilizată pentru a defini găurile negre rotative , care prezintă fenomene și mai exotice. Aceste găuri negre au suprafețe diferite în care metrica pare să aibă o singularitate ; dimensiunea și forma acestor suprafețe depind de masa și impulsul unghiular al găurii negre. Suprafața exterioară închide ergosfera și are o formă similară cu o sferă turtită. Suprafața interioară marchează „raza fără întoarcere” cunoscută altfel ca „ orizontul evenimentelor ”; obiectele care trec prin această rază nu se mai pot întoarce niciodată pentru a comunica cu lumea exterioară. Cu toate acestea, nici o suprafață nu este o adevărată singularitate, deoarece singularitatea sa aparentă poate fi eliminată într-un sistem de coordonate diferit. Obiectele dintre aceste două orizonturi trebuie să co-rotească cu corpul care se rotește, așa cum s-a menționat mai sus; acest aspect poate fi folosit pentru a extrage energia dintr-o gaură neagră rotativă, până la energia sa de masă în repaus , Mc ² . Chiar și cele mai ciudate fenomene pot fi observate în regiunea cea mai interioară a acestui spațiu-timp, cum ar fi unele forme de călătorie în timp. De exemplu, metrica Kerr permite o curbă spațiu-timp închisă de tipul timpului , în care o bandă de călători se întoarce în același loc după ce se deplasează pentru o anumită oră în funcție de ceas; cu toate acestea, se întorc în același loc și timp , așa cum este perceput de un observator extern.

Soluție exactă

Metrica Kerr este o soluție exactă a ecuațiilor de relativitate generală ale lui Einstein; aceste ecuații sunt foarte neliniare, ceea ce face foarte dificilă găsirea soluțiilor exacte. Metrica Kerr este o generalizare a metricei Schwarzschild , descoperită de Karl Schwarzschild în 1916 și care descrie geometria spațiului-timp în jurul unui corp fără sarcină, perfect sferic și care nu se rotește. Soluția corespunzătoare pentru un corp încărcat , sferic, care nu se rotește, metrica Reissner-Nordström , a fost descoperită la scurt timp după (1916-1918). Cu toate acestea, soluția exactă pentru un corp neîncărcat și rotativ , metrica Kerr , a rămas nerezolvată până în 1963, când a fost descoperită de Roy Kerr . Extensia naturală pentru un corp încărcat și rotativ, metrica Kerr-Newman , a fost descoperită la scurt timp după aceea, în 1965. Aceste patru soluții conexe pot fi rezumate de următorul tabel:

	Non-rotativ ( J = 0)	Rotativ ( J ≠ 0)
Fără taxă ( Q = 0)	Schwarzschild	Kerr
Cu încărcare ( Q ≠ 0)	Reissner-Nordström	Kerr-Newman

unde Q reprezintă sarcina electrică a corpului și J reprezintă momentul său unghiular de rotație ( rotire ).

Forma matematică

Metrica Kerr ^[1] ^[2] descrie geometria spațiu-timp în vecinătatea unei mase rotative M cu impuls unghiular J

c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}-

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s} r} {\ rho ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {\ rho ^ {2}} {\ Delta}} dr ^ {2} - \ rho ^ {2} d \ theta ^ {2} -}

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s} r} {\ rho ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {\ rho ^ {2}} {\ Delta}} dr ^ {2} - \ rho ^ {2} d \ theta ^ {2} -}

\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{s}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}+{\frac {2r_{s}r\alpha \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\,c\,dt\,d\phi

{\ displaystyle \ left (r ^ {2} + \ alpha ^ {2} + {\ frac {r_ {s} r \ alpha ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ theta \ right) \ sin ^ {2} \ theta \ d \ phi ^ {2} + {\ frac {2r_ {s} r \ alpha \ sin ^ {2} \ theta} {\ rho ^ {2}} } \, c \, dt \, d \ phi}

{\ displaystyle \ left (r ^ {2} + \ alpha ^ {2} + {\ frac {r_ {s} r \ alpha ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ theta \ right) \ sin ^ {2} \ theta \ d \ phi ^ {2} + {\ frac {2r_ {s} r \ alpha \ sin ^ {2} \ theta} {\ rho ^ {2}} } \, c \, dt \, d \ phi}

unde coordonatele $r,\theta ,\phi$ ${\ displaystyle r, \ theta, \ phi}$ ${\ displaystyle r, \ theta, \ phi}$ sunt un sistem de coordonate sferice standard, iar r _s este raza Schwarzschild

r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}

{\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}

{\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}

și unde scalele de lungime α, ρ și Δ au fost introduse din motive de scurtă durată

\alpha ={\frac {J}{Mc}}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {J} {Mc}}}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {J} {Mc}}}

\ \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta

{\ displaystyle \ \ rho ^ {2} = r ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}

{\ displaystyle \ \ rho ^ {2} = r ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}

\ \Delta =r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}

{\ displaystyle \ \ Delta = r ^ {2} -r_ {s} r + \ alpha ^ {2}}

{\ displaystyle \ \ Delta = r ^ {2} -r_ {s} r + \ alpha ^ {2}}

În limita non-relativistă în care M (sau, echivalent, r _s ) merge la zero, metrica Kerr devine metrica ortogonală pentru coordonatele sferoidale oblate

c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}+\alpha ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {\ rho ^ {2}} {r ^ {2} + \ alpha ^ {2 }}} dr ^ {2} - \ rho ^ {2} d \ theta ^ {2} - \ left (r ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ right) \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {\ rho ^ {2}} {r ^ {2} + \ alpha ^ {2 }}} dr ^ {2} - \ rho ^ {2} d \ theta ^ {2} - \ left (r ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ right) \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}

care sunt echivalente cu coordonatele Boyer-Lindquist ^[3]

{x}={\sqrt {r^{2}+\alpha ^{2}}}\sin \theta \cos \phi

{\ displaystyle {x} = {\ sqrt {r ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \ sin \ theta \ cos \ phi}

{\ displaystyle {x} = {\ sqrt {r ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \ sin \ theta \ cos \ phi}

{y}={\sqrt {r^{2}+\alpha ^{2}}}\sin \theta \sin \phi

{\ displaystyle {y} = {\ sqrt {r ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \ sin \ theta \ sin \ phi}

{\ displaystyle {y} = {\ sqrt {r ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \ sin \ theta \ sin \ phi}

{z}=r\cos \theta \quad

{\ displaystyle {z} = r \ cos \ theta \ quad}

{\ displaystyle {z} = r \ cos \ theta \ quad}

Operator de gradient

Deoarece chiar și o verificare directă a metricei Kerr implică calcule complicate, componentele contra $g^{ik}$ ${\ displaystyle g ^ {ik}}$ ${\ displaystyle g ^ {ik}}$ ale tensorului metric sunt prezentate mai jos în expresia pentru pătratul quadrigradientului :

g^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial {x^{\mu }}}}{\frac {\partial }{\partial {x^{\nu }}}}={\frac {1}{c^{2}\Delta }}\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{s}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\left({\frac {\partial }{\partial {t}}}\right)^{2}+{\frac {2r_{s}r\alpha }{c\rho ^{2}\Delta }}{\frac {\partial }{\partial {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial {t}}}\,\,-

{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partial} {\ partial {x ^ {\ mu}}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {x ^ {\ nu}}} } = {\ frac {1} {c ^ {2} \ Delta}} \ left (r ^ {2} + \ alpha ^ {2} + {\ frac {r_ {s} r \ alpha ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ theta \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {t}}} \ right) ^ {2} + {\ frac { 2r_ {s} r \ alpha} {c \ rho ^ {2} \ Delta}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ phi}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {t}} } \, \, -}

{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partial} {\ partial {x ^ {\ mu}}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {x ^ {\ nu}}} } = {\ frac {1} {c ^ {2} \ Delta}} \ left (r ^ {2} + \ alpha ^ {2} + {\ frac {r_ {s} r \ alpha ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ theta \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {t}}} \ right) ^ {2} + {\ frac { 2r_ {s} r \ alpha} {c \ rho ^ {2} \ Delta}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ phi}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {t}} } \, \, -}

{\frac {1}{\Delta \sin ^{2}\theta }}\left(1-{\frac {r_{s}r}{\rho ^{2}}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial {\phi }}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial {r}}}\right)^{2}-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial {\theta }}}\right)^{2}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Delta \ sin ^ {2} \ theta}} \ left (1 - {\ frac {r_ {s} r} {\ rho ^ {2}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ phi}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ Delta} {\ rho ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {r}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ theta} }} \ dreapta) ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Delta \ sin ^ {2} \ theta}} \ left (1 - {\ frac {r_ {s} r} {\ rho ^ {2}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ phi}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ Delta} {\ rho ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {r}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ theta} }} \ dreapta) ^ {2}}

Tragerea cadrelor

Același subiect în detaliu: efect de tragere .

Putem rescrie metrica Kerr sub următoarea formă:

c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}.

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = \ left (g_ {tt} - {\ frac {g_ {t \ phi} ^ {2}} {g _ {\ phi \ phi}}} \ right) dt ^ {2} + g_ {rr} dr ^ {2} + g _ {\ theta \ theta} d \ theta ^ {2} + g _ {\ phi \ phi} \ left (d \ phi + {\ frac {g_ {t \ phi}} {g _ {\ phi \ phi}}} dt \ right) ^ {2}.}

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = \ left (g_ {tt} - {\ frac {g_ {t \ phi} ^ {2}} {g _ {\ phi \ phi}}} \ right) dt ^ {2} + g_ {rr} dr ^ {2} + g _ {\ theta \ theta} d \ theta ^ {2} + g _ {\ phi \ phi} \ left (d \ phi + {\ frac {g_ {t \ phi}} {g _ {\ phi \ phi}}} dt \ right) ^ {2}.}

Această valoare este echivalentă cu un cadru de referință co-rotativ, care se rotește cu viteza unghiulară Ω, care depinde atât de raza r, cât și de colatitudinea θ, unde Ω se numește orizontul Killing .

\Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{s}r\alpha c}{\rho ^{2}\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)+r_{s}r\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta }}.

{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {g_ {t \ phi}} {g _ {\ phi \ phi}}} = {\ frac {r_ {s} r \ alpha c} {\ rho ^ {2} \ left (r ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ right) + r_ {s} r \ alpha ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}.}

{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {g_ {t \ phi}} {g _ {\ phi \ phi}}} = {\ frac {r_ {s} r \ alpha c} {\ rho ^ {2} \ left (r ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ right) + r_ {s} r \ alpha ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}.}

Apoi, un sistem de referință inerțial este tras de masa centrală rotativă pentru a participa la rotația acestuia din urmă; aceasta este glisarea cadrelor , care este în prezent capabilă să fie verificată experimental. ^[4] ^[5]

Cele două suprafețe fizice relative în care metrica Kerr pare să aibă singularitate. Suprafața interioară este orizontul evenimentelor . Suprafața exterioară este vizualizată ca un sferoid oblat . Erosfera se află între aceste două suprafețe; în cadrul acestui volum, componenta pur temporală g _tt este negativă, adică acționează ca o componentă metrică pur spațială. În consecință, particulele din această ergosferă trebuie să se rotească împreună cu masa internă pentru a-și păstra caracterul asemănător timpului.

Suprafețe importante

Metrica Kerr are două suprafețe fizice relevante pe care pare a fi singulară. Suprafața interioară corespunde unui orizont de evenimente similar cu cel observat în metrica Schwarzschild ; acest lucru se întâmplă în cazul în care componenta pur radială g _rr a metricei merge la infinit. Rezolvând ecuația pătratică 1 / g _rr = 0 obținem soluția:

r_{\mathit {interno}}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}}}}{2}}

{\ displaystyle r _ {\ mathit {internal}} = {\ frac {r_ {s} + {\ sqrt {r_ {s} ^ {2} -4 \ alpha ^ {2}}}} {2}}}

{\ displaystyle r _ {\ mathit {internal}} = {\ frac {r_ {s} + {\ sqrt {r_ {s} ^ {2} -4 \ alpha ^ {2}}}} {2}}}

O altă singularitate apare în cazul în care componenta pur temporală g _tt a metricei schimbă semnul de la pozitiv la negativ. Rezolvând din nou o ecuație pătratică g _tt = 0 obținem soluția:

r_{\mathit {esterno}}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}

{\ displaystyle r _ {\ mathit {external}} = {\ frac {r_ {s} + {\ sqrt {r_ {s} ^ {2} -4 \ alpha ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta }}} {2}}}

{\ displaystyle r _ {\ mathit {external}} = {\ frac {r_ {s} + {\ sqrt {r_ {s} ^ {2} -4 \ alpha ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta }}} {2}}}

Datorită termenului cos ² θ din rădăcina pătrată, această suprafață externă seamănă cu o sferă turtită care atinge suprafața internă la polii axei de rotație, unde este egală cu 0 sau π; spațiul dintre aceste două suprafețe se numește ergosferă . Există alte două soluții la aceste ecuații pătratice, dar acestea se găsesc în orizontul evenimentelor, unde metrica Kerr nu este utilizată, deoarece are proprietăți non-fizice (vezi mai jos).

O particulă experimentează un timp pozitiv adecvat de -a lungul liniei sale universale , calea sa prin spațiu-timp . Cu toate acestea, acest lucru este imposibil în interiorul ergosferei, unde g _tt este negativ, cu excepția cazului în care particula co-rotează cu masa internă M cu o viteză unghiulară de cel puțin Ω. Prin urmare, nici o particulă nu se poate roti în fața masei centrale din ergosferă.

La fel cu orizontul de evenimente din metrica Schwarzschild , singularitățile aparente pentru r _{în interior și} r _{în exterior} sunt o iluzie creată de alegerea coordonatelor (adică sunt singularități de coordonate ). De fapt, spațiul-timp poate fi ușor continuat prin intermediul acestora printr-o alegere adecvată a coordonatelor.

Procesul Ergosphere și Penrose

Același subiect în detaliu: procesul Penrose .

O gaură neagră este de obicei înconjurată de o suprafață, numită orizont de eveniment situat în raza Schwarzschild (pentru o gaură neagră care nu se rotește), unde viteza de evacuare este egală cu viteza luminii. Pe această suprafață, niciun observator / particulă nu poate menține o rază constantă. El este forțat să cadă în interior și, prin urmare, aceasta se numește limită statică .

O gaură neagră rotativă are aceeași limită statică pentru raza Schwarzschild, dar există o suprafață suplimentară în afara razei Schwarzschild numită „ergosurface” dată de $(r-GM)^{2}=G^{2}M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta$ ${\ displaystyle (r-GM) ^ {2} = G ^ {2} M ^ {2} -J ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}$ ${\ displaystyle (r-GM) ^ {2} = G ^ {2} M ^ {2} -J ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}$ cu coordonate Boyer-Lindquist , care pot fi caracterizate intuitiv ca sferă în care „viteza de rotație a spațiului înconjurător” este trasă împreună cu viteza luminii. În interiorul acestei sfere, tracțiunea este mai mare decât viteza luminii și fiecare observator / particulă este forțat să co-rotească.

Regiunea din afara orizontului evenimentelor, dar în interiorul sferei în care viteza de rotație este viteza luminii, se numește ergosferă (din grecul ergon care înseamnă muncă ). Particulele care cad în ergosferă sunt forțate să se rotească mai repede și astfel câștigă energie. Deoarece sunt încă în afara orizontului evenimentelor, pot scăpa de gaura neagră. Ultimul proces este că gaura neagră care se rotește emite particule energetice în detrimentul propriei energii globale. Posibilitatea de a extrage energia de rotație dintr-o gaură neagră rotativă a fost propusă de matematicianul Roger Penrose în 1969 și, prin urmare, se numește procesul Penrose . În astrofizică, găurile negre rotative sunt o sursă potențială de cantități mari de energie și sunt utilizate pentru a explica fenomene energetice, cum ar fi explozii de raze gamma .

Caracteristicile vidului Kerr

Vacuumul Kerr are multe caracteristici notabile: extensia analitică maximă include o secvență de regiuni exterioare plane asimptotic , fiecare asociată cu o ergosferă , cu suprafețe limită staționare , la orizontul evenimentelor , la orizontul Cauchy , la curbe. Închis de tipul timpului și la o singularitate inelară . Ecuația geodezică poate fi rezolvată exact în formă închisă. În plus față de cele două câmpuri vectoriale Killing (care corespund traducerii timpului și aximetriei ), vidul Kerr admite un tensor Killing notabil. Există o pereche de congruențe nule principale (una în și una în afara ). Tensorul Weyl este algebric special , de fapt are Petrov tip D. Structura generală este cunoscută. Topologic, tipul de homotopie a spațiului-timp al lui Kerr poate fi pur și simplu caracterizat ca o linie cu cercuri unite la fiecare punct întreg.

Rețineți că vidul Kerr este instabil în ceea ce privește perturbările din regiunea interioară. Această instabilitate înseamnă că, deși metrica Kerr este ax-simetrică, o gaură neagră creată prin colaps gravitațional poate să nu fie. Această instabilitate implică, de asemenea, că multe dintre aspectele vidului Kerr descrise mai sus nu ar fi nici măcar prezente în acea gaură neagră.

O suprafață pe care lumina poate orbita o gaură neagră se numește sferă fotonică . Soluția Kerr are infinit de multe sfere de fotoni , care se află între una internă și una externă. În soluția Schwarzschild care nu se rotește, cu a = 0, sferele fotonice interioare și exterioare degenerează, astfel încât toate sferele fotonice au aceeași rază. Cu cât rotația găurii negre este mai mare, cu atât sferele fotonice interioare și exterioare se mișcă mai departe. O rază de lumină care călătorește într-o direcție opusă rotației găurii negre va înconjura gaura din sfera fotonică exterioară. O rază de lumină care călătorește în aceeași direcție ca rotația găurii negre va înconjura sfera fotonică interioară. Geodezica orbitantă cu câteva momente unghiulare perpendiculare pe axa de rotație a găurii negre va orbita pe sfere fotonice între aceste două extreme. Pe măsură ce spațiul-timp se rotește, aceste orbite precesează, deoarece există o schimbare a variabilei $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ după finalizarea unei perioade în variabilă $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

Soluțiile extreme ale lui Kerr

Locația orizontului evenimentelor este determinată de rădăcina mai mare decât $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$ . Cand $M<\alpha (c^{2}/G)$ ${\ displaystyle M <\ alpha (c ^ {2} / G)}$ ${\ displaystyle M <\ alpha (c ^ {2} / G)}$ , nu există soluții (valori reale) pentru această ecuație și nu există orizont de evenimente. Fără un orizont de evenimente care să-l ascundă de restul universului, gaura neagră încetează să mai fie o gaură neagră și devine în schimb o singularitate goală . ^[6]

Găurile negre Kerr sunt găuri de vierme

Deși soluția Kerr pare a fi singulară la rădăcinile lui Δ = 0, acestea sunt într-adevăr singularități ale coordonatelor și, cu o alegere adecvată a noilor coordonate, soluția Kerr poate fi ușor extinsă prin valorile $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ corespunzătoare acestor rădăcini. Cea mai mare dintre aceste rădăcini determină poziția orizontului evenimentelor, iar cea mai mică determină poziția unui orizont Cauchy. O curbă (orientată spre înainte, de tipul timpului) poate începe din exterior și poate trece prin orizontul evenimentelor. După trecerea orizontului evenimentului, coordonata $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ acum se comportă ca o coordonată de timp, deci trebuie să scadă până când curba trece prin orizontul Cauchy.

Regiunea de dincolo de orizontul Cauchy are mai multe trăsături izbitoare. Coordonata $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ se comportă din nou ca o coordonată spațială și poate varia liber. Regiunea interioară are o simetrie de reflexie, astfel încât o curbă (direcționată către viitorul tipului de timp) poate continua de-a lungul unei căi simetrice, care continuă printr-un al doilea orizont Cauchy, printr-un al doilea orizont de evenimente și iese într-o nouă regiune exterioară care este izometrică cu regiunea exterioară originală a soluției Kerr. Curba poate apoi să scape la nesfârșit în noua regiune sau să intre în viitorul orizont de evenimente al noii regiuni exterioare și să repete procesul. Acest al doilea exterior este uneori considerat a fi un alt univers. Pe de altă parte, în soluția Kerr, singularitatea pentru $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ este un inel, iar curba ar putea trece prin centrul acestui inel. Regiunea de dincolo permite curbele închise de tip timp. Deoarece traiectoria observatorilor și a particulelor din relativitatea generală este descrisă prin curbe asemănătoare timpului, este posibil ca observatorii din această regiune să se întoarcă la trecutul lor.

În timp ce regiunea exterioară a soluției Kerr este prevăzută a fi stabilă, iar toate găurile negre rotative se vor confrunta în cele din urmă cu o valoare Kerr, regiunea interioară a soluției pare a fi instabilă, la fel ca un creion care se echilibrează la vârful său (Penrose 1968).

Raportați pentru alte soluții exacte

Vidul Kerr este un exemplu particular de soluție de vid staționară simetrică axial pentru ecuația câmpului lui Einstein . Familia tuturor soluțiilor de vid staționare axial simetrice la ecuația câmpului lui Einstein sunt aspiratoare Ernst .

Soluția Kerr este, de asemenea, legată de diverse soluții fără vid care modelează găurile negre. De exemplu, electro-vidul Kerr-Newman modelează o gaură neagră (rotativă) cu încărcare electrică, în timp ce praful nul Kerr-Vaidya modelează o gaură (rotativă) cu radiație electromagnetică în cădere.

Cazul special $\alpha =0$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ a metricei Kerr produce metrica Schwarzschild , care modelează o gaură neagră ne-rotativă , statică și sferic simetrică , în coordonatele Schwarzschild . (În acest caz, fiecare moment Geroch, dar masa tinde la zero.)

Interiorul vidului Kerr, sau mai degrabă o porțiune a acestuia, este izometric local față de aspiratorul Chandrasekhar / Ferrari CPW , un exemplu de model de undă de șoc plan . Acest lucru este deosebit de interesant, deoarece structura generală a acestei soluții CPW este destul de diferită de cea a vidului Kerr și, în principiu, un experimentator ar putea spera să studieze geometria (porțiunea exterioară) a interiorului Kerr prin organizarea coliziunii două unde gravitaționale plane potrivite.

Momente multipolare

Fiecare vid asimptotic plat Ernst poate fi caracterizat prin acordarea unei secvențe infinite de momente multipolare relativiste , dintre care primele două pot fi interpretate ca masă și moment unghiular al sursei de câmp. Există formulări alternative ale momentelor multipolare relativiste datorate lui Hansen, Thorne și Geroch, care par să fie de acord unul cu celălalt. Momentele multipolare relativiste ale vidului Kerr au fost calculate de Hansen; se dovedesc a fi

M_{n}=M\,(i\,\alpha )^{n}

{\ displaystyle M_ {n} = M \, (i \, \ alpha) ^ {n}}

{\ displaystyle M_ {n} = M \, (i \, \ alpha) ^ {n}}

În consecință, cazul special al vidului Schwarzschild (α = 0) oferă „ sursa punctului monopolar” a relativității generale.

Atenție: Nu confundați aceste momente multipolare relativiste cu momentul multipolar Weyl , rezultat din tratamentul unei anumite funcții metrice (care corespunde formal potențialului gravitațional al lui Newton), care apare în graficul Weyl-Papapetrou pentru familia Ernst a tuturor soluțiilor de staționare goluri axiale-simetrice folosind momente multipolare scalare euclidiene standard. Într-un anumit sens, momentele Weyl caracterizează doar (indirect) „distribuția de masă” a unei surse izolate și sunt dependente doar de momentele relativiste de ordin uniform. În cazul soluțiilor simetrice pe tot planul ecuatorial, momentele Weyl de ordin impar au tendința la zero. Pentru soluțiile de vid Kerr, primele momente ale lui Weyl sunt date de

a_{0}=M,\;\;a_{1}=0,\;\;a_{2}=M\,\left({\frac {M^{2}}{3}}-\alpha ^{2}\right)

{\ displaystyle a_ {0} = M, \; \; a_ {1} = 0, \; \; a_ {2} = M \, \ left ({\ frac {M ^ {2}} {3}} - \ alpha ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle a_ {0} = M, \; \; a_ {1} = 0, \; \; a_ {2} = M \, \ left ({\ frac {M ^ {2}} {3}} - \ alpha ^ {2} \ right)}

În special, vedem că vidul Schwarzschild are un moment Weyl de ordinul doi, altul decât zero, corespunzător faptului că „monopolul Weyl” este soluția de vid Chazy-Curzon , nu soluția de vid Schwarzschild, care provine din potențialul newtonian. a unei anumite tije subțiri cu densitate uniformă de lungime finită.

În relativitatea generală a câmpului slab, este convenabil să se trateze sursele izolate folosind un alt tip de multipol, care generalizează momentele Weyl pentru momentele multipolare de masă și momentele multipolare ale momentului , care caracterizează distribuția masei și a momentului momentul respectiv, sursa. Acestea sunt cantități multi-indexate ale căror părți simetrizate (anti-simetrizate) în mod adecvat pot fi legate de părțile reale și imaginare ale momentelor relativiste pentru teoria neliniară completă într-un mod destul de complicat.

Perez și Moreschi au dat o noțiune alternativă de „soluții monopolice” prin extinderea standardului tetrad NP al golurilor Ernst în puteri ale lui r (coordonata radială din graficul Weyl-Papapetrou). Conform acestei formulări:

Sursa monopolară de masă izolată cu impuls unghiular zero este familia vidului Schwarzschild (un parametru),
Sursa de masă monopolară izolată cu impuls unghiular radial este familia de vid Taub-NUT (doi parametri; nu destul de asimptotic plat),
Sursa de masă monopolară izolată cu impuls unghiular axial este familia vidului Kerr (doi parametri).

În acest sens, în relativitate generală, aspiratoarele Kerr sunt cele mai simple soluții de vid staționare asimptotic axial-simetric.

Probleme deschise

Vidul Kerr este adesea folosit ca model al unei găuri negre, dar dacă luăm soluția ca fiind valabilă doar în afara unei regiuni compacte (sub rezerva anumitor restricții), în principiu ar trebui să o putem folosi ca o soluție externă. modelează câmpul gravitațional în jurul unui obiect rotativ masiv pe lângă o gaură neagră, cum ar fi de ex. o stea de neutroni --- sau Pământul . Acest lucru funcționează foarte bine pentru carcasa care nu se rotește, unde vom putea compara exteriorul aspiratorului Schwarzschild cu un interior fluid Schwarzschild și într-adevăr cu soluții mai generale de fluid static static sferic perfect . Cu toate acestea, problema găsirii unui interior fluid perfect rotativ care poate fi echivalat cu exteriorul lui Kerr, sau cel puțin cu orice soluție de vid externă asimptotic, a întâmpinat cu mare dificultate. În special, se știe acum că fluidul Wahlquist , considerat un candidat pentru a fi cuplat la un Kerr extern, nu admite niciun fel de corespondență . În prezent, se pare că se cunosc doar soluții aproximative care modelează încet sferele rotative ale fluidului (analogul relativist al bilelor sferoidale oblate cu masă și moment unghiular altele decât zero, dar momente multipolare mai mari care tind spre zero). Cu toate acestea, exteriorul discului Neugebauer / Meinel , o soluție de pulbere exactă care modelează un disc subțire, se apropie într-un caz extrem de vidul Kerr cu a = M.

Ecuații de traiectorie

Ecuațiile traiectoriei și dependența de timp pentru o particulă din câmpul Kerr sunt după cum urmează.

În ecuația Hamilton-Jacobi scriem acțiunea S sub forma:

\ S=-E_{0}t+L\phi +S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )

{\ displaystyle \ S = -E_ {0} t + L \ phi + S_ {r} (r) + S _ {\ theta} (\ theta)}

{\ displaystyle \ S = -E_ {0} t + L \ phi + S_ {r} (r) + S _ {\ theta} (\ theta)}

unde este $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ , m și L sunt consecutiv energia conservată , masa în repaus și componenta impulsului unghiular (de-a lungul axei de simetrie a câmpului) a particulei și efectuează separarea variabilelor în ecuația Hamilton Jacobi după cum urmează:

\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+\left(aE_{0}\sin \theta -{\frac {L}{\sin \theta }}\right)^{2}+a^{2}m^{2}\cos ^{2}\theta =K

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ theta}} {d \ theta}} \ right) ^ {2} + \ left (aE_ {0} \ sin \ theta - {\ frac {L} { \ sin \ theta}} \ right) ^ {2} + a ^ {2} m ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta = K}

\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+\left(aE_{0}\sin \theta -{\frac {L}{\sin \theta }}\right)^{2}+a^{2}m^{2}\cos ^{2}\theta =K

\Delta \left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}-{\frac {1}{\Delta }}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)E_{0}-aL\right]^{2}+m^{2}r^{2}=-K

\Delta \left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}-{\frac {1}{\Delta }}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)E_{0}-aL\right]^{2}+m^{2}r^{2}=-K

\Delta \left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}-{\frac {1}{\Delta }}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)E_{0}-aL\right]^{2}+m^{2}r^{2}=-K

dove K è una nuova costante arbitraria. L'equazione della traiettoria e la dipendenza dal tempo delle coordinate lungo la traiettoria (equazione di moto ) possono essere ricavate dunque facilmente e direttamente da queste equazioni:

{\frac {\partial {S}}{\partial {E_{0}}}}=const

{\frac {\partial {S}}{\partial {E_{0}}}}=const

{\frac {\partial {S}}{\partial {E_{0}}}}=const

{\frac {\partial {S}}{\partial {L}}}=const

{\frac {\partial {S}}{\partial {L}}}=const

{\frac {\partial {S}}{\partial {L}}}=const

{\frac {\partial {S}}{\partial {K}}}=const

{\frac {\partial {S}}{\partial {K}}}=const

{\frac {\partial {S}}{\partial {K}}}=const

Note

^ ( EN ) RP Kerr , Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics , in Physical Review Letters , vol. 11, 1963, pp. 237-238, DOI : 10.1103/PhysRevLett.11.237 .
^ ( EN ) LD Landau , Lifshitz, EM, The Classical Theory of Fields ( Course of Theoretical Physics , Vol. 2) , 4ª inglese rivisitata, New York, Pergamon Press, 1975, pp. 321-330, ISBN 978-0-08-018176-9 .
^ ( EN ) RH Boyer, Lindquist RW, Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric , in J. Math. Phys. , vol. 8, 1967, pp. 265-281, DOI : 10.1063/1.1705193 .
^ ( EN ) NASA, Report of the 2008 Senior Review of the Astrophysics Division Operating Missions ( PDF ), su nasascience.nasa.gov . URL consultato il 13 maggio 2010 (archiviato dall' url originale il 21 settembre 2008) .
^ ( EN ) Jeff Hecht, Gravity Probe B scores 'F' in NASA review , su newscientist.com , New Scientist, 20 maggio 2008. URL consultato il 13 maggio 2010 .
^ ( EN ) S. Chandrasekhar , The Mathematical Theory of Black Holes , International Series of Monographs on Physics, vol. 69, 1983, p. 375 .

Bibliografia

( EN ) Stephani, Hans, Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard, Exact Solutions of Einstein's Field Equations , Cambridge, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-46136-7 .
( EN ) Reinhard Meinel , Ansorg, Marcus; Kleinwachter, Andreas; Neugebauer, Gernot; Petroff, David, Relativistic Figures of Equilibrium , Cambridge, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-86383-4 .
( EN ) O'Neill, Barrett, The Geometry of Kerr Black Holes , Wellesley, MA, AK Peters, 1995, ISBN 1-56881-019-9 .
( EN ) D'Inverno, Ray, Introducing Einstein's Relativity , Oxford, Clarendon Press, 1992, ISBN 0-19-859686-3 . Vedi capitolo per una introduzione leggibile a livello avanzato universitario.
( EN ) Subrahmanyan Chandrasekhar , The Mathematical Theory of Black Holes , Oxford, Clarendon Press, 1992, ISBN 0-19-850370-9 . Vedi capitoli 6--10 per uno studio molto approfondito a livello universitario.
( EN ) Griffiths, JB, Colliding Plane Waves in General Relativity , Oxford, Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853209-1 . Vedi capitolo 13 per il modello CPW di Chandrasekhar/Ferrari.
( EN ) Adler, Ronald, Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem, Introduction to General Relativity , 2ª ed., New York, McGraw-Hill, 1975, ISBN 0-07-000423-4 . Vedi capitolo 7 .
( EN ) Penrose R., Battelle Rencontres , a cura di C. de Witt e J. Wheeler, New York, WA Benjamin, 1968, p. 222.
( EN ) RM Wald , General Relativity , Chicago, The University of Chicago Press, 1984, pp. 312 –324, ISBN 0-226-87032-4 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Matt Visser: The Kerr spacetime-A brief introduction su arxiv.org
( EN ) RP Kerr , Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics , in Physical Review Letters , vol. 11, 1963, pp. 237-238, DOI : 10.1103/PhysRevLett.11.237 .
( EN ) Perez, Alejandro;, Moreschi, Osvaldo M., Characterizing exact solutions from asymptotic physical concepts ^{[ collegamento interrotto ]} , su arxiv.org , 27 dicembre 2000. URL consultato il 13 maggio 2010 . Caratterizzazione di tre famiglie standard di soluzioni di vuoto, come indicato in precedenza.
( EN ) Sotiriou, Thomas P., Apostolatos, Theocharis A., Corrections and Comments on the Multipole Moments of Axisymmetric Electrovacuum Spacetimes , in Class. Quant. Grav. , vol. 21, 2004, pp. 5727-5733, DOI : 10.1088/0264-9381/21/24/003 . URL consultato il 13 maggio 2010 . arXiv eprint Fornisce i momenti multipolari relativistici per il vuoto di Ernst (più i momenti multipolari relativistici elettromagnetici e gravitazionali per la generalizzazione con carica).
( EN ) B. Carter , Axisymmetric Black Hole Has Only Two Degrees of Freedom , in Physical Review Letters , vol. 26, 1971, pp. 331-333, DOI : 10.1103/PhysRevLett.26.331 .
( EN ) Kerr, RP, Schild, A., Republication of: A new class of vacuum solutions of the Einstein field equations , in General Relativity and Gravitation , vol. 41, n. 10, 2009, pp. 2485-2499, DOI : 10.1007/s10714-009-0857-z .
( EN ) Krasiński, Andrzej, Verdaguer, Enric; Kerr, Roy Patrick., Editorial note to: RP Kerr and A. Schild, A new class of vacuum solutions of the Einstein field equations , in General Relativity and Gravitation , vol. 41, n. 10, 2009, pp. 2469-2484, DOI : 10.1007/s10714-009-0856-0 . “… Questa nota vuole essere una guida per quei lettori che desiderano verificare tutti i dettagli [della derivazione della soluzione di Kerr]…”

[kerr_1963-1] ( EN ) RP Kerr , Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics , in Physical Review Letters , vol. 11, 1963, pp. 237-238, DOI : 10.1103/PhysRevLett.11.237 .

[2] ( EN ) LD Landau , Lifshitz, EM, The Classical Theory of Fields ( Course of Theoretical Physics , Vol. 2) , 4ª inglese rivisitata, New York, Pergamon Press, 1975, pp. 321-330, ISBN 978-0-08-018176-9 .

[3] ( EN ) RH Boyer, Lindquist RW, Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric , in J. Math. Phys. , vol. 8, 1967, pp. 265-281, DOI : 10.1063/1.1705193 .

[4] ( EN ) NASA, Report of the 2008 Senior Review of the Astrophysics Division Operating Missions ( PDF ), su nasascience.nasa.gov . URL consultato il 13 maggio 2010 (archiviato dall' url originale il 21 settembre 2008) .

[5] ( EN ) Jeff Hecht, Gravity Probe B scores 'F' in NASA review , su newscientist.com , New Scientist, 20 maggio 2008. URL consultato il 13 maggio 2010 .

[Chandrasekhar_1983-6] ( EN ) S. Chandrasekhar , The Mathematical Theory of Black Holes , International Series of Monographs on Physics, vol. 69, 1983, p. 375 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Relatività generale
Equazioni di campo di Einstein · Formulazione matematica · Risorse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}$
Concetti fondamentali	Relatività speciale · Principio di equivalenza · Linea di universo · Geometria di Riemann
Fenomeni	Problema di Keplero · Lenti · Onde · Frame-dragging · Effetto geodetico · Orizzonte degli eventi · Singolarità · Buco nero
Equazioni	Gravità linearizzata · Formalismo post-newtoniano · Equazioni di campo di Einstein · Equazioni di Friedmann · Formalismo ADM · Formalismo BSSN
Teorie avanzate	Kaluza–Klein · Gravità quantistica
Soluzioni	Schwarzschild · Reissner-Nordström · Gödel · Kerr · Kerr-Newman · Kasner · Taub-NUT · Milne · Robertson-Walker · Onde pp
Scienziati	Einstein · Minkowski · Eddington · Lemaître · Schwarzschild · Robertson · Kerr · Friedman · Chandrasekhar · Hawking

V · D · M Buchi neri
Formazione	Evoluzione stellare · Collasso · Stella degenere · Limite di Tolman-Oppenheimer-Volkoff · Buco nero primordiale · Lampo gamma
Proprietà	Termodinamica · Orizzonte degli eventi · Singolarità ( ad anello ) · Sfera di fotoni · Ergosfera · Radiazione di Hawking · Disco di accrescimento
Dimensione	Micro · Stellare · Massa intermedia · Supermassiccio ( Nucleo galattico attivo · Quasar · Blazar )
Tipi	di Schwarzschild · Rotante · Carico · Primordiale · Supermassiccio
Metrica	Schwarzschild · Kerr · Reissner-Nordström · Kerr-Newman
Problemi e modelli alternativi	Teorema no-hair · Paradosso dell'informazione · Protezione cronologica · Ipotesi di censura cosmica · Buco bianco · Selezione cosmologica · Buco nero privo di singolarità · Stella nera · Stella di energia oscura
Analogie	buco nero ottico · buco nero acustico