Formalismul ADM

Richard Arnowitt , Stanley Deser și Charles Misner la ADM-50: o sărbătoare a inovației relativității generale ^[1] la Texas A & M University , în cinstea a 50 de ani de la publicare, în noiembrie 2009 ^[2]

Formalismul ADM, de la inițialele autorilor Richard Arnowitt , Stanley Deser și Charles W. Misner , este o formulare hamiltoniană a relativității generale care joacă un rol important atât în gravitația cuantică , cât și în relativitatea numerică . ^[3]

Opera originală din 1959 poate fi găsită în arhivele Physical Review . ^[3] ^[4] ^[5] ^[6] ^[7] ^[8] ^[9] ^[10] ^[11] O revizuire extinsă a acestui formalism a fost publicată de aceiași autori în 1962. ^[12] Această contribuție a fost republicată în 2008. ^[13]

Introducere

Formalismul presupune că spațiu-timp este foliat într-o suprafață spațială de tip familial $\Sigma _{t}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$ , definite de coordonatele lor de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , Și cu coordonatele spațiale ale fiecărei secțiuni (felie) date prin $x^{i}$ ${\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ i$ . Variabilele dinamice ale acestei teorii sunt tensorul metric al secțiunilor spațiale tridimensionale $\gamma _{ij}(t,x^{k})$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij} (t, x ^ {k})}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij} (t, x ^ {k})}$ și momenta lor conjugată $\pi ^{ij}(t,x^{k})$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$ . Folosind aceste variabile este posibilă definirea funcției hamiltoniene, care stă la baza hamiltonianului mecanic și care permite derivarea ecuațiilor de mișcare pentru relativitatea generală.

Pe lângă cele douăsprezece variabile $\gamma _{ij}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$ Și $\pi ^{ij}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$ , Există patru multiplicatori Lagrangieni : funcția intervalului de timp $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ (care reprezintă variația timpului adecvat al unui observator în mișcare în raport cu timpul coordonat, în raport cu sistemul de referință fixat cu secțiunile spațiale ale foliatului) ^[14] ^[15] și componentele de deplasare a câmpului vectorial $N_{i}$ ${\ displaystyle N_ {i}}$ $N_ {i}$ , tangente la suprafețele foliate. Acestea descriu modul în care fiecare dintre „frunze” $\Sigma _{t}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$ a foliației spațiului-timp este sudată împreună cu celelalte. Ecuațiile de mișcare pentru aceste variabile pot fi specificate în mod liber; aceasta corespunde libertății de a specifica în mod liber sistemul de coordonate dorit în spațiu și timp.

Derivare

Notaţie

Majoritatea referințelor adoptă notația în care tensorii cu patru dimensiuni sunt scrise în notația abstractă a indicilor, în care indicii greci sunt indicii spațiu-timp care iau valori (0, 1, 2, 3) și indicii latini sunt indici spațiali care își asumă valori (1, 2, 3). În derivarea prezentată aici, un exponent (4) este precedat de cantitatea pe care o au atât versiunile tridimensionale, cât și cele cu patru dimensiuni, cum ar fi tensorul metric pentru secțiuni tridimensionale $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ și tensorul metric pentru spațiu-timp complet cu patru dimensiuni ${^{(4)}}g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle {^ {(4)}} g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle {^ {(4)}} g _ {\ mu \ nu}}$ .

Textul, în cele ce urmează, utilizează notația Einstein în care își asumă sumarea peste indicii repetați.

Sunt utilizate două tipuri de derivate: derivatele parțiale sunt notate fie de operator $\partial _{i}$ ${\ displaystyle \ partial _ {i}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {i}}$ sau de exponenți precedați de o virgulă. Derivatele covariante sunt notate de operator $\nabla _{i}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {i}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {i}}$ sau de exponentul precedat de punct și virgulă.

Determinantul tensorului metric este reprezentat de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ (fără indici). Alte simboluri tensoriale scrise fără indici reprezintă urma tensorului corespunzător ca $\pi =g^{ij}\pi _{ij}$ ${\ displaystyle \ pi = g ^ {ij} \ pi _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ pi = g ^ {ij} \ pi _ {ij}}$ .

Formulare lagrangiană

Punctul de plecare pentru formularea ADM este Lagrangianul

{\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {^{(4)}g}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {^ {(4)} R} {\ sqrt {^ {(4)} g}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {^ {(4)} R} {\ sqrt {^ {(4)} g}}}

care este un produs al determinantului tensorului metric dimensional pentru spațiul-timp global și scalarul său Ricci . Acesta este Lagrangianul „ Acțiunii Einstein-Hilbert .

Rezultatul dorit al derivării este de a defini o „ imersie a porțiunilor spațiale tridimensionale în spațiul-timp cu patru dimensiuni. Metricele secțiunilor tridimensionale

g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}

{\ displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}

{\ displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}

Vor fi coordonatele generalizate ale formulării hamiltoniene. Momentele conjugate pot fi calculate

\pi ^{ij}={\sqrt {^{(4)}g}}({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs})g^{ip}g^{jq}

{\ displaystyle \ pi ^ {ij} = {\ sqrt {^ {(4)} g}} ({^ {(4)}} \ Gamma _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} {^ { (4)}} \ Gamma _ {rs} ^ {0} g ^ {rs}) g ^ {ip} g ^ {jq}}

{\ displaystyle \ pi ^ {ij} = {\ sqrt {^ {(4)} g}} ({^ {(4)}} \ Gamma _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} {^ { (4)}} \ Gamma _ {rs} ^ {0} g ^ {rs}) g ^ {ip} g ^ {jq}}

folosind tehnici standard și definiții ale mecanicii hamiltoniene . Simbolurile ${^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}$ ${\ displaystyle {^ {(4)}} \ Gamma _ {ij} ^ {0}}$ ${\ displaystyle {^ {(4)}} \ Gamma _ {ij} ^ {0}}$ sunt simbolurile Christoffel asociate cu metrica asamblării în patru dimensiuni spațiu-timp. Intervalul de timp

N=(-{^{(4)}g^{00}})^{-1/2}

{\ displaystyle N = (- {^ {(4)} g ^ {00}}) ^ {- 1/2}}

{\ displaystyle N = (- {^ {(4)} g ^ {00}}) ^ {- 1/2}}

și vectorul de deplasare

N_{i}={^{(4)}g_{0i}}

{\ displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}}}

{\ displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}}}

sunt elementele suplimentare ale tensorului metric cu patru dimensiuni.

După identificarea cantităților utile pentru formulare, pasul următor este rescrierea Lagrangianului în termenii acestor variabile. Noua expresie a Lagrangianului devine astfel:

{\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}})

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - g_ {ij} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2 \ partial _ {i} (\ pi ^ {ij} N_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ pi N ^ {i} + \ nabla ^ {i} N {\ sqrt {g}})}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - g_ {ij} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2 \ partial _ {i} (\ pi ^ {ij} N_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ pi N ^ {i} + \ nabla ^ {i} N {\ sqrt {g}})}

Acest Lagrangian este astfel rescris în funcție de cele două cantități noi:

H=-{\sqrt {g}}[R+g^{-1}({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij})]

{\ displaystyle H = - {\ sqrt {g}} [R + g ^ {- 1} ({\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} - \ pi ^ {ij} \ pi _ { ij})]}

{\ displaystyle H = - {\ sqrt {g}} [R + g ^ {- 1} ({\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} - \ pi ^ {ij} \ pi _ { ij})]}

Și

P^{i}=-2\pi _{\ ;j}^{ij}

{\ displaystyle P ^ {i} = - 2 \ pi _ {\; j} ^ {ij}}

{\ displaystyle P ^ {i} = - 2 \ pi _ {\; j} ^ {ij}}

care sunt cunoscute, respectiv, ca constrângere hamiltoniană și constrângere la timp (numită și impuls ). Este cunoscut sub numele de interval temporal și deplasare care apar în hamiltonien ca multiplicatori Lagrange .

Ecuații de mișcare

Deși variabilele din Lagrangian reprezintă tensorul metric al spațiilor tridimensionale înconjurate de spațiu-timp cu patru dimensiuni, este posibil (și de dorit) să se utilizeze procedurile obișnuite ale mecanicii lagrangiene pentru a deriva „ecuațiile de mișcare” care descrie evoluția în timp atât a metricii $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ , și momentul său liniar conjugat $\pi ^{ij}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$ . Rezultatul:

\partial _{t}g_{ij}=2Ng^{-1/2}(\pi _{ij}-{\frac {1}{2}}\pi g_{ij})+N_{i;j}+N_{j;i}

{\ displaystyle \ partial _ {t} g_ {ij} = 2Ng ^ {- 1/2} (\ pi _ {ij} - {\ frac {1} {2}} \ pi g_ {ij}) + N_ { i; j} + N_ {j; i}}

{\ displaystyle \ partial _ {t} g_ {ij} = 2Ng ^ {- 1/2} (\ pi _ {ij} - {\ frac {1} {2}} \ pi g_ {ij}) + N_ { i; j} + N_ {j; i}}

Și

\partial _{t}\pi ^{ij}=-N{\sqrt {g}}(R^{ij}-{\frac {1}{2}}Rg^{ij})+{\frac {1}{2}}Ng^{-1/2}g^{ij}(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\frac {1}{2}}\pi ^{2})-2Ng^{-1/2}(\pi ^{in}\pi _{n}^{\ j}-{\frac {1}{2}}\pi \pi ^{ij})

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} = - N {\ sqrt {g}} (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} Rg ^ {ij}) + { \ frac {1} {2}} Ng ^ {- 1/2} g ^ {ij} (\ pi ^ {mn} \ pi _ {mn} - {\ frac {1} {2}} \ pi ^ { 2}) - 2Ng ^ {- 1/2} (\ pi ^ {în} \ pi _ {n} ^ {\ j} - {\ frac {1} {2}} \ pi \ pi ^ {ij}) }

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} = - N {\ sqrt {g}} (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} Rg ^ {ij}) + { \ frac {1} {2}} Ng ^ {- 1/2} g ^ {ij} (\ pi ^ {mn} \ pi _ {mn} - {\ frac {1} {2}} \ pi ^ { 2}) - 2Ng ^ {- 1/2} (\ pi ^ {în} \ pi _ {n} ^ {\ j} - {\ frac {1} {2}} \ pi \ pi ^ {ij}) }

-{\sqrt {g}}(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N)+\nabla _{n}(\pi ^{ij}N^{n})-N_{\ ;n}^{i}\pi ^{nj}-N_{\ ;n}^{j}\pi ^{ni}

{\ displaystyle - {\ sqrt {g}} (\ nabla ^ {i} \ nabla ^ {j} Ng ^ {ij} \ nabla ^ {n} \ nabla _ {n} N) + \ nabla _ {n} (\ pi ^ {ij} N ^ {n}) - N _ {\; n} ^ {i} \ pi ^ {nj} -N _ {\; n} ^ {j} \ pi ^ {ni}}

{\ displaystyle - {\ sqrt {g}} (\ nabla ^ {i} \ nabla ^ {j} Ng ^ {ij} \ nabla ^ {n} \ nabla _ {n} N) + \ nabla _ {n} (\ pi ^ {ij} N ^ {n}) - N _ {\; n} ^ {i} \ pi ^ {nj} -N _ {\; n} ^ {j} \ pi ^ {ni}}

Este un set neliniar de ecuații diferențiale parțiale .

Luând variațiile față de intervalul de timp și de deplasare, obținem ecuațiile care constituie constrângerea:

H=0

{\ displaystyle H = 0}

H = 0

Și

P^{i}=0

{\ displaystyle P ^ {i} = 0}

{\ displaystyle P ^ {i} = 0}

iar intervalul de timp și deplasarea în sine pot fi specificate în mod liber, ca o consecință a faptului că sistemele de coordonate pot fi determinate după bunul plac atât în spațiu, cât și în timp.

Aplicarea în gravitația cuantică

Folosind formularea ADM, este posibil să bâjbâi să construim o teorie cuantică a gravitației , în același mod în care construim o ecuație ' Schrödinger corespunzătoare unui Hamiltonian dat în mecanica cuantică . Anume, înlocuind momentele canonice $\pi ^{ij}(t,x^{k})$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$ și funcțiile metrice spațiale cu operatori funcționali diferențiali liniari relativi:

{\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\to g_{ij}(t,x^{k})

{\ displaystyle {\ hat {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) \ to g_ {ij} (t, x ^ {k})}

{\ displaystyle {\ hat {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) \ to g_ {ij} (t, x ^ {k})}

{\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\to -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}

{\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) \ to -i {\ frac {\ delta} {\ delta g_ {ij} (t, x ^ {k} )}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) \ to -i {\ frac {\ delta} {\ delta g_ {ij} (t, x ^ {k} )}}}

Mai precis, înlocuirea variabilelor clasice de către operatori este limitată de relațiile de comutare . „Pălăriile” (^) reprezintă operatorii în teoria cuantică. Acest lucru duce la „ ecuația Wheeler-DeWitt . ^[16] ^[17]

Aplicație pentru soluții numerice ale ecuațiilor lui Einstein

Există relativ puține soluții analitice exacte la ecuațiile câmpului Einstein . Pentru a găsi alte soluții, există un câmp activ de studiu cunoscut sub numele de relativitate numerică în care sunt folosite supercomputere pentru a găsi soluții aproximative la ecuațiile de câmp. Pentru a realiza astfel de soluții numerice, majoritatea cercetătorilor folosesc o formulare a ecuațiilor lui Einstein, care este strâns legată de formularea ADM. Cele mai frecvente abordări pornesc de la o problemă cu valoarea inițială bazată pe formalismul ADM.

În formulările hamiltoniene, punctul de bază este înlocuirea sistemului de ecuații de ordinul doi (set) cu un alt sistem de ordinul întâi. Acest al doilea sistem de ecuații poate fi obținut prin intermediul formulării hamiltoniene într-un mod simplu. Acest lucru este foarte util în fizica numerică, deoarece este de dorit să se utilizeze ecuații diferențiale de prim ordin pentru a rezolva ecuații prin intermediul computerului.

Notă

^ ADM-50: A Celebration of GR Current Innovation , pe adm-50.physics.tamu.edu. Adus la 2 aprilie 2021 (depus de „url original 20 iulie 2011).
^ "Structura dinamică și definiția energiei în relativitatea generală" Arnowitt, R., Deser, S. și Misner, C., The Physical Review, 116: 1322-1330, 1959
^ ^A ^b R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Structura dinamică și definiția energiei în relativitatea generală , în Physical Review, vol. 116, nr. 5, 1959, pp. 1322-1330, cod bib : 1959PhRv..116.1322A , DOI : 10.1103 / PhysRev.116.1322 .
^ R. Arnowitt și S. Deser, Teoria cuantică a gravitației: formulare generală și teorie liniarizată în revizuirea fizică, vol. 113, nr. 2, 1959, pp. 745-750, cod bib : 1959PhRv..113..745A , DOI : 10.1103 / PhysRev.113.745 .
^ R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Canonical Variables for General Relativity , în Physical Review, vol. 117, nr. 6, 1960, pp. 1595-1602, cod bib : 1960PhRv..117.1595A , DOI : 10.1103 / PhysRev.117.1595 .
^ R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Finite Self-Energy of Classical Point Particles , în Physical Review Letters, vol. 4, nr. 7, 1960, pp. 375-377, cod bib : 1960PhRvL ... 4..375A , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.4.375 .
^ R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Energy and the Criteria for Radiation in General Relativity , în Physical Review, vol. 118, nr. 4, 1960, pp. 1100-1104, cod bib : 1960PhRv..118.1100A , DOI : 10.1103 / PhysRev.118.1100 .
^ R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Gravitational Electromagnetic-Coupling and the Classical Self-Energy Problem in Physical Review, vol. 120, 1960, pp. 313-320 , cod bib : 1960PhRv..120..313A , DOI : 10.1103 / PhysRev.120.313 .
^ R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Interior Solutions Schwarzschild and Interpretation of Source Terms in Physical Review, vol. 120, 1960, pp. 321-324, cod bib : 1960PhRv..120..321A , DOI : 10.1103 / PhysRev.120.321 .
^ R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Wave Zone in General Relativity , în Physical Review, vol. 121, nr. 5, 1961, pp. 1556-1566, cod bib : 1961PhRv..121.1556A , DOI : 10.1103 / PhysRev.121.1556 .
^ R. Arnowitt, S. C. Deser și Misner, coordonează invarianța și expresiile energetice în relativitatea generală , în Physical Review, vol. 122, nr. 3, 1961, pp. 997-1006, cod bib : 1961PhRv..122..997A , DOI : 10.1103 / PhysRev.122.997 .
^ Gravitație: o introducere în cercetările actuale Louis Witten (editor), Wiley NY (1962); capitolul 7, pp. 227-265.
^ R. Arnowitt, S. C. Deser și Misner, republicare a: Dinamica relativității generale , în Relativitate generală și gravitație, Vol. 40, nr. 9, 2008, pp. 1997-2027, cod bib : 2008GReGr..40.1997A , DOI : 10.1007 / s10714-008-0661-1 , arXiv : gr-qc / 0405109 .
^ Copiere arhivată (PDF) pe thp.uni-koeln.de. Adus 19 august 2014 (depus de „url original 20 august 2014).
^ Gasperini M., Theory of General Relativity and Gravitation: the Master's Degree in Physics, Springer-Verlag Italy, Necklace of Physics and Astronomy, 2010, p. 81, ISBN 978-88-470-1420-6
^ DeWitt, BS, The Quantum Theory of Gravity. I. Teoria canonică, Phys. Rev., 160, 1113-1148, (1967)
^ Wiltshire, D., An Introduction to Quantum Cosmology, https://arxiv.org/abs/gr-qc/0101003

Elemente conexe

[1] ADM-50: A Celebration of GR Current Innovation , pe adm-50.physics.tamu.edu. Adus la 2 aprilie 2021 (depus de „url original 20 iulie 2011).

[2] "Structura dinamică și definiția energiei în relativitatea generală" Arnowitt, R., Deser, S. și Misner, C., The Physical Review, 116: 1322-1330, 1959

[ADM-3] A ^b R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Structura dinamică și definiția energiei în relativitatea generală , în Physical Review, vol. 116, nr. 5, 1959, pp. 1322-1330, cod bib : 1959PhRv..116.1322A , DOI : 10.1103 / PhysRev.116.1322 .

[4] R. Arnowitt și S. Deser, Teoria cuantică a gravitației: formulare generală și teorie liniarizată în revizuirea fizică, vol. 113, nr. 2, 1959, pp. 745-750, cod bib : 1959PhRv..113..745A , DOI : 10.1103 / PhysRev.113.745 .

[5] R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Canonical Variables for General Relativity , în Physical Review, vol. 117, nr. 6, 1960, pp. 1595-1602, cod bib : 1960PhRv..117.1595A , DOI : 10.1103 / PhysRev.117.1595 .

[6] R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Finite Self-Energy of Classical Point Particles , în Physical Review Letters, vol. 4, nr. 7, 1960, pp. 375-377, cod bib : 1960PhRvL ... 4..375A , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.4.375 .

[7] R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Energy and the Criteria for Radiation in General Relativity , în Physical Review, vol. 118, nr. 4, 1960, pp. 1100-1104, cod bib : 1960PhRv..118.1100A , DOI : 10.1103 / PhysRev.118.1100 .

[8] R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Gravitational Electromagnetic-Coupling and the Classical Self-Energy Problem in Physical Review, vol. 120, 1960, pp. 313-320 , cod bib : 1960PhRv..120..313A , DOI : 10.1103 / PhysRev.120.313 .

[9] R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Interior Solutions Schwarzschild and Interpretation of Source Terms in Physical Review, vol. 120, 1960, pp. 321-324, cod bib : 1960PhRv..120..321A , DOI : 10.1103 / PhysRev.120.321 .

[10] R. Arnowitt, S. C. Deser and Misner, Wave Zone in General Relativity , în Physical Review, vol. 121, nr. 5, 1961, pp. 1556-1566, cod bib : 1961PhRv..121.1556A , DOI : 10.1103 / PhysRev.121.1556 .

[11] R. Arnowitt, S. C. Deser și Misner, coordonează invarianța și expresiile energetice în relativitatea generală , în Physical Review, vol. 122, nr. 3, 1961, pp. 997-1006, cod bib : 1961PhRv..122..997A , DOI : 10.1103 / PhysRev.122.997 .

[12] Gravitație: o introducere în cercetările actuale Louis Witten (editor), Wiley NY (1962); capitolul 7, pp. 227-265.

[13] R. Arnowitt, S. C. Deser și Misner, republicare a: Dinamica relativității generale , în Relativitate generală și gravitație, Vol. 40, nr. 9, 2008, pp. 1997-2027, cod bib : 2008GReGr..40.1997A , DOI : 10.1007 / s10714-008-0661-1 , arXiv : gr-qc / 0405109 .

[14] Copiere arhivată (PDF) pe thp.uni-koeln.de. Adus 19 august 2014 (depus de „url original 20 august 2014).

[15] Gasperini M., Theory of General Relativity and Gravitation: the Master's Degree in Physics, Springer-Verlag Italy, Necklace of Physics and Astronomy, 2010, p. 81, ISBN 978-88-470-1420-6

[16] DeWitt, BS, The Quantum Theory of Gravity. I. Teoria canonică, Phys. Rev., 160, 1113-1148, (1967)

[17] Wiltshire, D., An Introduction to Quantum Cosmology, https://arxiv.org/abs/gr-qc/0101003

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

V · D · M Relativitatea generală
Ecuații de câmp Einstein · Formulare matematică · Resurse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$ $G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T _ {\ mu \ nu}$
Concepte fundamentale	Relativitate specială · Principiul echivalenței · Linia universului · Geometrie Riemann
Fenomene	Problema Kepler · Obiective · Waves · -cadru glisarea · efect geodezic · Event Horizon · Singularity · Black Hole
Ecuații	Gravitația liniarizată · Formalism post-newtonian · Ecuații de câmp ale lui Einstein · Ecuații Friedmann · Formalism ADM · BSSN formalism
Teorii avansate	Kaluza-Klein · Gravitatea cuantică
Soluții	Schwarzschild · Reissner-Nordström · Gödel · Kerr · Kerr-Newman · Kasner · Taub-NUT · Milne · Robertson-Walker · Waves pp
Oamenii de știință	Einstein · Minkowski · Eddington · Lemaître · Schwarzschild · Robertson · Kerr · Friedman · Chandrasekhar · Hawking