Metoda multiplicatorilor Lagrange

Caută maximele de

f(x,y)

{\ displaystyle f (x, y)}

f (x, y)

dată fiind constrângerea (reprezentată în roșu)

g(x,y)=c

{\ displaystyle g (x, y) = c}

g (x, y) = c

.

Reprezentarea curbei de nivel a problemei. Liniile albastre reprezintă linii de contur ale

f(x,y)

{\ displaystyle f (x, y)}

f (x, y)

. Soluția problemei este dată de punctele de tangență dintre linia roșie și linia albastră.

În analiza matematică și programarea matematică , metoda multiplicatorului Lagrange permite reducerea punctelor staționare ale unei funcții $f({\vec {x}})$ ${\ displaystyle f ({\ vec {x}})}$ ${\ displaystyle f ({\ vec {x}})}$ în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ variabile e $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ constrângeri de frontieră ${\vec {g}}({\vec {x}})={\vec {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} ({\ vec {x}}) = {\ vec {0}}}$ $\ vec g (\ vec x) = \ vec 0$ , numite obiective, la cele ale unei a treia funcții în $I+J$ ${\ displaystyle I + J}$ ${\ displaystyle I + J}$ variabile nelimitate, numite Lagrangian :

$\Lambda ({\vec {x}},{\vec {\lambda }})=f({\vec {x}})+{\vec {\lambda }}\cdot \,{\vec {g}}({\vec {x}})=f({\vec {x}})+\sum _{j=1}^{J}\lambda _{j}g_{j}({\vec {x}})$ ${\ displaystyle \ Lambda ({\ vec {x}}, {\ vec {\ lambda}}) = f ({\ vec {x}}) + {\ vec {\ lambda}} \ cdot \, {\ vec {g}} ({\ vec {x}}) = f ({\ vec {x}}) + \ sum _ {j = 1} ^ {J} \ lambda _ {j} g_ {j} ({\ vec {x}})}$ $\ Lambda (\ vec x, \ vec \ lambda) = f (\ vec x) + \ vec \ lambda \ cdot \, \ vec g (\ vec x) = f (\ vec x) + \ sum_ {j = 1 } ^ J \ lambda_j g_j (\ vec x)$ ,

introducerea a câte noi variabile scalare λ , numite multiplicatori , cu cât există constrângeri.

De sine ${\vec {x}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} ^ {*}}$ $\ vec x ^ *$ este staționar, de exemplu un maxim , pentru problema constrânsă originală, atunci există un ${\vec {\lambda }}^{*}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ lambda}} ^ {*}}$ $\ vec \ lambda ^ *$ astfel încât $({\vec {x}}^{*},{\vec {\lambda }}^{*})$ ${\ displaystyle ({\ vec {x}} ^ {*}, {\ vec {\ lambda}} ^ {*})}$ $(\ vec x ^ *, \ vec \ lambda ^ *)$ este staționar chiar dacă nu neapărat de același tip, adică în exemplul maxim, pentru lagrangian. Nu toate punctele staționare conduc la o soluție a problemei inițiale. Astfel, metoda multiplicatorului Lagrange oferă o condiție necesară , dar nu suficientă, pentru optimizare în probleme constrânse. ^[1]

Introducere

Luați în considerare cazul bidimensional. Vrei să maximizezi unul $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ sub rezerva constrângerii:

g\left(x,y\right)=c,

{\ displaystyle g \ left (x, y \ right) = c,}

g \ left (x, y \ right) = c,

Unde $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o constantă. Liniile de nivel ^[2] ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ dat de

f\left(x,y\right)=d_{n}

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) = d_ {n}}

f \ left (x, y \ right) = d_n

pentru diferite valori ale $d_{n}$ ${\ displaystyle d_ {n}}$ $d_n$ , și liniile de contur ale $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ dat de $g(x,y)=c$ ${\ displaystyle g (x, y) = c}$ $g (x, y) = c$ .

Să presupunem că mergeți de-a lungul conturului cu $g=c$ ${\ displaystyle g = c}$ $g = c$ . În general, liniile de contur ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt distincte, de aici și conturul pentru $g=c$ ${\ displaystyle g = c}$ $g = c$ poate intersecta liniile de contur ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Acest lucru este echivalent cu a spune asta pe măsură ce vă deplasați de-a lungul liniei de contur pentru $g=c$ ${\ displaystyle g = c}$ $g = c$ valoarea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Se poate schimba. Numai când conturul pentru $g=c$ ${\ displaystyle g = c}$ $g = c$ este tangentă la una dintre liniile de contur ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (fără trecere), valoarea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nici nu crește, nici nu scade.

Acest lucru se întâmplă exact în punctele în care componenta tangentă a derivatei totale dispare: $df_{\parallel }=0$ ${\ displaystyle df _ {\ parallel} = 0}$ $d f_ \ parallel = 0$ , adică în punctele staționare constrânse ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care includ maxime și minime locale, presupunând că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ fii diferențiat. În ecuații, acest lucru se întâmplă atunci când gradientul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este perpendicular pe constrângere sau constrângeri sau când $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ este o combinație liniară a $\nabla g_{i}$ ${\ displaystyle \ nabla g_ {i}}$ $\ nabla g_i$ .

Un exemplu familiar este acela de a de temperatură și presiune de contur liniile de hărți meteorologice: apar maxime și minime constrânsă unde hărți suprapuse prezintă liniile tangente ( isopletes ).

Geometric, condiția de tangență se traduce spunând că gradienții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt vectori paraleli unde există un maxim, deoarece gradienții sunt întotdeauna perpendiculari pe liniile de contur. Introducerea scalarului incognito $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , trebuie să rezolvăm sistemul de ecuații :

{\frac {\partial }{\partial x}}\left[f\left(x,y\right)+\lambda g\left(x,y\right)\right]=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [f \ left (x, y \ right) + \ lambda g \ left (x, y \ right) \ right] = 0}

\ frac {\ partial} {\ partial x} \ left [f \ left (x, y \ right) + \ lambda g \ left (x, y \ right) \ right] = 0

{\frac {\partial }{\partial y}}\left[f\left(x,y\right)+\lambda g\left(x,y\right)\right]=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left [f \ left (x, y \ right) + \ lambda g \ left (x, y \ right) \ right] = 0}

\ frac {\ partial} {\ partial y} \ left [f \ left (x, y \ right) + \ lambda g \ left (x, y \ right) \ right] = 0

pentru $\lambda \neq 0$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ ; după ce și-a asumat, fără pierderea generalității, $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ .

Odată ce valorile pentru $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ au fost determinate, revenim la numărul inițial de variabile și putem găsi punctele staționare ale Lagrangianului:

\Lambda \left(x,y\right)=f\left(x,y\right)+\lambda g\left(x,y\right)

{\ displaystyle \ Lambda \ left (x, y \ right) = f \ left (x, y \ right) + \ lambda g \ left (x, y \ right)}

\ Lambda \ left (x, y \ right) = f \ left (x, y \ right) + \ lambda g \ left (x, y \ right)

în mod tradițional. Acesta este $\Lambda (x,y,\lambda )=f(x,y)$ ${\ displaystyle \ Lambda (x, y, \ lambda) = f (x, y)}$ $\ Lambda (x, y, \ lambda) = f (x, y)$ pentru fiecare punct care satisface constrângerea din moment ce $g(x,y)$ ${\ displaystyle g (x, y)}$ $g (x, y)$ este egal cu zero pe constrângere, dar punctele staționare ale $\Lambda (x,y,\lambda )$ ${\ displaystyle \ Lambda (x, y, \ lambda)}$ $\ Lambda (x, y, \ lambda)$ toate sunt aprinse $g(x,y)=0$ ${\ displaystyle g (x, y) = 0}$ $g (x, y) = 0$ , așa cum se poate vedea prin setarea gradientului egal cu zero.

Diferențe între maxime, minime și puncte de șa

Soluțiile sunt puncte staționare ale Lagrangianului $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ și pot fi, de asemenea, puncte de șa , adică nici maximum, nici minim de $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ sau $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .

$\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ este nelimitat: dat un punct $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ care nu se află pe constrângere, făcând limita pentru $\lambda \to \pm \infty$ ${\ displaystyle \ lambda \ to \ pm \ infty}$ $\ lambda \ to \ pm \ infty$ o face $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ arbitrar mare sau mic.

Explicație analitică

Fii obiectivul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție definită pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , și sunt constrângerile date de $g_{j}(x)=0$ ${\ displaystyle g_ {j} (x) = 0}$ ${\ displaystyle g_ {j} (x) = 0}$ (obținut dintr-o ecuație de tip $h_{j}(x)=c_{j}$ ${\ displaystyle h_ {j} (x) = c_ {j}}$ ${\ displaystyle h_ {j} (x) = c_ {j}}$ cu $g_{j}(x)=h_{j}(x)-c_{j}$ ${\ displaystyle g_ {j} (x) = h_ {j} (x) -c_ {j}}$ ${\ displaystyle g_ {j} (x) = h_ {j} (x) -c_ {j}}$ ). Definiți Lagrangianul , $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , ca:

\Lambda (\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\lambda }})=f+\sum _{j}\lambda _{j}g_{j}.

{\ displaystyle \ Lambda (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ lambda}}) = f + \ sum _ {j} \ lambda _ {j} g_ {j}.}

\ Lambda (\ mathbf x, \ boldsymbol \ lambda) = f + \ sum_j \ lambda_j g_j.

Atât criteriul de optimizare, cât și constrângerile $g_{j}$ ${\ displaystyle g_ {j}}$ $g_ {j}$ sunt înțelese compact ca puncte staționare ale Lagrangianului:

\nabla _{\mathbf {x} }\Lambda =0\Leftrightarrow \nabla _{\mathbf {x} }f=-\sum _{j}\lambda _{j}\nabla _{\mathbf {x} }g_{j},

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {x}} \ Lambda = 0 \ Leftrightarrow \ nabla _ {\ mathbf {x}} f = - \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ nabla _ {\ mathbf {x}} g_ {j},}

\ nabla _ {\ mathbf x} \ Lambda = 0 \ Leftrightarrow \ nabla _ {\ mathbf x} f = - \ sum_j \ lambda_j \ nabla _ {\ mathbf x} g_j,

în gradienții funcțiilor originale, e

\nabla _{\mathbf {\lambda } }\Lambda =0\Rightarrow {\vec {g}}={\vec {0}}.

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {\ lambda}} \ Lambda = 0 \ Rightarrow {\ vec {g}} = {\ vec {0}}.}

\ nabla _ {\ mathbf \ lambda} \ Lambda = 0 \ Rightarrow \ vec g = \ vec 0.

Adesea multiplicatorii Lagrange pot fi interpretați ca o anumită cantitate interesantă. De exemplu, rețineți că:

{\frac {\partial \Lambda }{\partial {g_{j}}}}=\lambda _{j}.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial {g_ {j}}}} = \ lambda _ {j}.}

\ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial {g_j}} = \ lambda_j.

$\lambda _{j}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$ $\ lambda _ {j}$ este rata la care se modifică cantitatea de optimizat în funcție de variabila constrânsă. De exemplu, în mecanica lagrangiană , ecuațiile mișcării sunt obținute prin găsirea punctelor staționare ale acțiunii , integrala în timp a diferenței dintre energia cinetică și cea potențială. Prin urmare, forța asupra unei particule datorată unui potențial scalar, $\mathbf {F} =-\nabla V$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla V}$ poate fi interpretat ca un multiplicator Lagrange care determină schimbarea acțiunii (transferul energiei potențiale în energie cinetică) în urma unei modificări a traiectoriei legate a particulei. În economie, profitul optim pentru un jucător este calculat pe baza unui spațiu de acțiune constrâns, unde un multiplicator Lagrange indică relaxarea unei constrângeri date, de exemplu prin luare de mită sau alte mijloace.

Metoda multiplicatorului Lagrange este generalizată de condițiile Karush-Kuhn-Tucker .

Exemple

Exemplul 1

Figura 3. Ilustrația problemei de optimizare constrânsă.

Vrei să maximizezi $f(x,y)=x+y$ ${\ displaystyle f (x, y) = x + y}$ ${\ displaystyle f (x, y) = x + y}$ cu legătura $x^{2}+y^{2}-1=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$ $x ^ 2 + y ^ 2-1 = 0$ . Constrângerea este circumferința unității, iar liniile de nivel țintă sunt linii drepte cu pantă $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ : vedeți imediat grafic că maximul este atins în $({\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2)$ ${\ displaystyle ({\ sqrt {2}} / 2, {\ sqrt {2}} / 2)}$ $(\ sqrt {2} / 2, \ sqrt {2} / 2)$ iar minimul este atins în $(-{\sqrt {2}}/2,-{\sqrt {2}}/2)$ ${\ displaystyle (- {\ sqrt {2}} / 2, - {\ sqrt {2}} / 2)}$ $(- \ sqrt {2} / 2, - \ sqrt {2} / 2)$ .

Analitic, prin plasare $g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ ${\ displaystyle g (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1}$ $g (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2-1$ , Și

\Lambda (x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda g(x,y)=x+y+\lambda (x^{2}+y^{2}-1)

{\ displaystyle \ Lambda (x, y, \ lambda) = f (x, y) + \ lambda g (x, y) = x + y + \ lambda (x ^ {2} + y ^ {2} -1 )}}

\ Lambda (x, y, \ lambda) = f (x, y) + \ lambda g (x, y) = x + y + \ lambda (x ^ 2 + y ^ 2 - 1)

Prin anularea gradientului obținem sistemul de ecuații:

{\begin{aligned}{\frac {\partial \Lambda }{\partial x}}&=1+2\lambda x&&=0,\qquad {\text{(i)}}\\{\frac {\partial \Lambda }{\partial y}}&=1+2\lambda y&&=0,\qquad {\text{(ii)}}\\{\frac {\partial \Lambda }{\partial \lambda }}&=x^{2}+y^{2}-1&&=0,\qquad {\text{(iii)}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial x}} & = 1 + 2 \ lambda x && = 0, \ qquad {\ text {(i)}} \\ { \ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial y}} & = 1 + 2 \ lambda y && = 0, \ qquad {\ text {(ii)}} \\ {\ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial \ lambda}} & = x ^ {2} + y ^ {2} -1 && = 0, \ qquad {\ text {(iii)}} \ end {align}}}

\ begin {align} \ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial x} & = 1 + 2 \ lambda x && = 0, \ qquad \ text {(i)} \\ \ frac {\ partial \ Lambda} { \ partial y} & = 1 + 2 \ lambda y && = 0, \ qquad \ text {(ii)} \\ \ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial \ lambda} & = x ^ 2 + y ^ 2 - 1 && = 0, \ qquad \ text {(iii)} \ end {align}

Derivatul cu privire la multiplicator este, ca întotdeauna, constrângerea inițială.

Combinând primele două ecuații obținem:

1+2\lambda x=1+2\lambda y,

{\ displaystyle 1 + 2 \ lambda x = 1 + 2 \ lambda y,}

{\ displaystyle 1 + 2 \ lambda x = 1 + 2 \ lambda y,}

acesta este $x=y$ ${\ displaystyle x = y}$ $x = y$ ( $x\neq 0$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ $x \ neq 0$ altfel $(i)$ ${\ displaystyle (i)}$ ${\ displaystyle (i)}$ devine $1=0$ ${\ displaystyle 1 = 0}$ ${\ displaystyle 1 = 0}$ ). Înlocuind în $(iii)$ ${\ displaystyle (iii)}$ ${\ displaystyle (iii)}$ primesti $2x^{2}=1$ ${\ displaystyle 2x ^ {2} = 1}$ $2x ^ 2 = 1$ , astfel încât $x=\pm {\sqrt {2}}/2$ ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {2}} / 2}$ $x = \ pm \ sqrt {2} / 2$ iar punctele staționare sunt $({\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2)$ ${\ displaystyle ({\ sqrt {2}} / 2, {\ sqrt {2}} / 2)}$ $(\ sqrt {2} / 2, \ sqrt {2} / 2)$ Și $(-{\sqrt {2}}/2,-{\sqrt {2}}/2)$ ${\ displaystyle (- {\ sqrt {2}} / 2, - {\ sqrt {2}} / 2)}$ $(- \ sqrt {2} / 2, - \ sqrt {2} / 2)$ . Evaluarea obiectivului $x+y$ ${\ displaystyle x + y}$ $x + y$ pe acestea obținem:

f({\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2)=x+y={\sqrt {2}}{\mbox{ e }}f(-{\sqrt {2}}/2,-{\sqrt {2}}/2)=x+y=-{\sqrt {2}},

{\ displaystyle f ({\ sqrt {2}} / 2, {\ sqrt {2}} / 2) = x + y = {\ sqrt {2}} {\ mbox {e}} f (- {\ sqrt {2}} / 2, - {\ sqrt {2}} / 2) = x + y = - {\ sqrt {2}},}

f (\ sqrt {2} / 2, \ sqrt {2} / 2) = x + y = \ sqrt {2} \ mbox {e} f (- \ sqrt {2} / 2, - \ sqrt {2} / 2) = x + y = - \ sqrt {2},

de aceea maximul este ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , a ajuns la punctul $({\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2)$ ${\ displaystyle ({\ sqrt {2}} / 2, {\ sqrt {2}} / 2)}$ $(\ sqrt {2} / 2, \ sqrt {2} / 2)$ , iar minimul este $-{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {2}}}$ $- \ sqrt {2}$ , a ajuns la punctul $(-{\sqrt {2}}/2,-{\sqrt {2}}/2)$ ${\ displaystyle (- {\ sqrt {2}} / 2, - {\ sqrt {2}} / 2)}$ $(- \ sqrt {2} / 2, - \ sqrt {2} / 2)$ .

Conform teoremei lui Weierstrass : a fi $x+y$ ${\ displaystyle x + y}$ $x + y$ o funcție continuă definită pe constrângerea care este un set închis și delimitat, admite cu siguranță un minim și un maxim absolut. Niciunul dintre cele două puncte staționare găsite nu poate fi, prin urmare, un punct de șa.

Exemplul 2: entropie

Să presupunem că dorim să găsim distribuția discretă de probabilitate cu entropie maximă de informații . Deci scopul este:

-\sum _{n=1}^{N}p_{n}\log _{2}p_{n}.

{\ displaystyle - \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ log _ {2} p_ {n}.}

- \ sum_ {n = 1} ^ N p_n \ log_2 p_n.

Constrângerea este că configurațiile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt singurele alternative posibile, adică suma lor este unitară. Funcția de constrângere este atunci:

\sum _{n=1}^{N}p_{n}-1.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} -1.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} -1.}

Pentru toți $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , ecuațiile sunt impuse:

{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}(-\sum _{n=1}^{N}p_{n}\log _{2}p_{n}+\lambda \sum _{n=1}^{N}p_{n}-\lambda )=0.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial p_ {n}}} (- \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ log _ {2} p_ {n} + \ lambda \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} - \ lambda) = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial p_ {n}}} (- \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ log _ {2} p_ {n} + \ lambda \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} - \ lambda) = 0.}

Continuând cu derivarea, obținem, pe lângă ecuația constrângerii inițiale:

-\left({\frac {1}{\ln 2}}+\log _{2}p_{n}\right)+\lambda =0\qquad \Longrightarrow \qquad p_{n}=2^{\lambda }/e.

{\ displaystyle - \ left ({\ frac {1} {\ ln 2}} + \ log _ {2} p_ {n} \ right) + \ lambda = 0 \ qquad \ Longrightarrow \ qquad p_ {n} = 2 ^ {\ lambda} / e.}

{\ displaystyle - \ left ({\ frac {1} {\ ln 2}} + \ log _ {2} p_ {n} \ right) + \ lambda = 0 \ qquad \ Longrightarrow \ qquad p_ {n} = 2 ^ {\ lambda} / e.}

Acest lucru arată că toate $p_{n}$ ${\ displaystyle p_ {n}}$ $p_n$ sunt aceleași pentru că depind doar de un parametru comun. Prin introducerea ei în ecuația constrângătoare, adică prin impunerea

\sum _{n=1}^{N}p_{n}=1,

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} = 1,}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} = 1,}

primesti:

p_{n}={\frac {1}{N}}.

{\ displaystyle p_ {n} = {\ frac {1} {N}}.}

p_n = \ frac {1} {N}.

Prin urmare, distribuția uniformă este distribuția maximă a entropiei pentru variabilele aleatorii discrete.

Economie

Optimizarea constrânsă joacă un rol central în economie . De exemplu, problema alegerii pentru un consumator este reprezentată ca aceea care maximizează o funcție de utilitate ^[3] supusă unei constrângeri bugetare. Multiplicatorul Lagrange are o interpretare economică ca un preț alternativ ( preț alternativ) ^[4] asociat cu constrângerea, în acest caz „ utilitatea marginală ^[5] ^[6] a capitalului . ^[7] .

Constrângeri monolaterale

Dacă constrângerile prezentate impun inegalități, procedați după cum urmează:

În caz de maximizare, plasați constrângerea în forma normală $g_{j}(\mathbf {x} )\leq 0$ ${\ displaystyle g_ {j} (\ mathbf {x}) \ leq 0}$ $g_j (\ mathbf x) \ le 0$
În caz de minimizare, plasați constrângerea în forma normală $g_{j}(\mathbf {x} )\geq 0$ ${\ displaystyle g_ {j} (\ mathbf {x}) \ geq 0}$ $g_j (\ mathbf x) \ ge 0$
Sistemul de rezolvat devine

\nabla _{\mathbf {x} }\Lambda =0\quad \nabla _{\mathbf {\lambda } }\Lambda =0\quad \lambda _{j}\geq 0_{j}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {x}} \ Lambda = 0 \ quad \ nabla _ {\ mathbf {\ lambda}} \ Lambda = 0 \ quad \ lambda _ {j} \ geq 0_ {j}}

\ nabla _ {\ mathbf x} \ Lambda = 0 \ quad \ nabla _ {\ mathbf \ lambda} \ Lambda = 0 \ quad \ lambda_j \ ge 0_j

Continuăm cu calculul caracterului matricei hessiene tivite.

Notă

^ (EN) IB Vapnyarskii, multiplicatori Lagrange , în Encyclopedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002 ..
^ Courant, Richard, Herbert Robbins și Ian Stewart. Ce este matematica?: O abordare elementară a ideilor și metodelor . New York: Oxford University Press, 1996. p. 344.
^ Alfred Marshall. 1920. Principiile economiei. Un volum introductiv. Ediția a VIII-a. Londra: Macmillan.
^ Shadow Price: definiție și multe altele de la Answers.com
^ Stigler, George Joseph ; „The Development of Utility Theory”, I and II, Journal of Political Economy (1950), numerele 3 și 4.
^ Stigler, George Joseph ; „Adopția teoriei utilității marginale” Istoria economiei politice (1972).
^ • Paul A. Samuelson și William D. Nordhaus (2004). Economics , ediția a XVIII-a, [Sfârșit] Glosar de termeni, „Capital (bunuri de capital, echipamente de capital”).
• Glosarul de economie internațională al lui Deardorff, Capital.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe metoda multiplicatorului Lagrange

linkuri externe

Introducere conceptuală (plus o scurtă discuție a multiplicatorilor Lagrange în calculul variațiilor așa cum se utilizează în fizică)
Explicație simplă, cu un exemplu al guvernelor care utilizează impozite ca multiplicatori Lagrange , su umiacs.umd.edu .
Applet , la ocw.mit.edu .
Lectură video a multiplicatorilor Lagrange , pe midnighttutor.com .
Conferință video MIT despre multiplicatorii Lagrange ^{[ link rupt ]} , pe academicearth.com .
Diapozitive care însoțesc textul de optimizare neliniar al lui Bertsekas , cu detalii despre multiplicatorii Lagrange (prelegeri 11 și 12)
http://eom.springer.de/L/l057190.htm

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) IB Vapnyarskii, multiplicatori Lagrange , în Encyclopedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002 ..

[2] Courant, Richard, Herbert Robbins și Ian Stewart. Ce este matematica?: O abordare elementară a ideilor și metodelor . New York: Oxford University Press, 1996. p. 344.

[3] Alfred Marshall. 1920. Principiile economiei. Un volum introductiv. Ediția a VIII-a. Londra: Macmillan.

[4] Shadow Price: definiție și multe altele de la Answers.com

[5] Stigler, George Joseph ; „The Development of Utility Theory”, I and II, Journal of Political Economy (1950), numerele 3 și 4.

[6] Stigler, George Joseph ; „Adopția teoriei utilității marginale” Istoria economiei politice (1972).

[7] • Paul A. Samuelson și William D. Nordhaus (2004). Economics , ediția a XVIII-a, [Sfârșit] Glosar de termeni, „Capital (bunuri de capital, echipamente de capital”).
• Glosarul de economie internațională al lui Deardorff, Capital.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]