Matematica relativității generale

Matematica relativității generale include structuri și tehnici matematice necesare pentru studiul și formularea teoriei relativității generale a lui Albert Einstein . Principalele instrumente utilizate în această teorie geometrică a gravitației sunt câmpurile tensoriale definite pe baza unei varietăți lorentziene reprezentând spațiu-timp .

NB - Articolele despre relativitatea generală folosind tensori vor folosi notația abstractă a indexului .

Utilizarea tensoarelor

Principiul covarianței generale stabilește că legile fizicii au aceeași formă matematică în toate sistemele de referință ; a fost unul dintre principiile cardinale în dezvoltarea relativității generale. Termenul „covarianță generală” a fost folosit în prima formulare a relativității generale, deși în zilele noastre mulți preferă termenul de covarianță pentru difeomorfism . Deși covarianța difeomorfismului nu este aspectul caracteristic al relativității generale ^[1] și deși rămân controverse cu privire la rolul său în teoria însăși, proprietatea invarianței legilor fizice implicată în principiu împreună cu faptul că teoria este în esență de o geometrie (folosind geometria non-euclidiană ) a făcut ca relativitatea generală să fie formulată folosind limbajul matematic al tensorilor . Acest lucru va fi discutat în continuare mai jos.

Spațiul-timp ca varietate

Același subiect în detaliu: Spațiul-timp și Topologia spațiului-timp .

Cele mai multe abordări moderne ale matematicii relativității generale încep prin formalizarea conceptului de varietate . Mai precis, descrierea geometrică a gravitației are loc într-o varietate Lorentziană , cu patru dimensiuni, netedă , conectată .

Rațiunea pentru alegerea unei varietăți ca structură matematică fundamentală este reflectarea proprietăților fizice dorite. De exemplu, în teoria varietății, fiecare punct este conținut într-un grafic de coordonate (nicidecum unic) și poate fi gândit ca o reprezentare a „spațiului-timp local” în jurul observatorului (reprezentat de punct). Principiul covarianței Lorentz locale , care stabilește că legile relativității speciale sunt conservate local în fiecare punct al spațiului-timp, oferă un sprijin suplimentar alegerii unei structuri multiple pentru reprezentarea spațiului-timp, dat fiind faptul că local în jurul unui punct de pe o varietate generală, regiunea „arată” sau se apropie foarte bine de spațiul Minkowski (spațiu-timp plat).

Conceptul graficelor de coordonate ca „observatori locali care pot lua măsurători în vecinătatea lor” are sens și din punct de vedere fizic, întrucât așa se colectează efectiv datele fizice - local. Pentru problemele cosmologice, un grafic de coordonate poate fi destul de mare.

Distincția între structura locală și globală

O distincție importantă în fizică este diferența dintre structurile locale și globale. Măsurătorile în fizică se fac într-o regiune relativ mică a spațiu-timpului și acesta este unul dintre motivele studierii structurii locale a spațiu-timpului în relativitatea generală, în timp ce determinarea structurii spațiu-timpului global este importantă, în special în problemele cosmologice.

O problemă importantă în relativitatea generală este aceea de a spune când două spațiu-timp sunt „aceleași”, cel puțin local. Această problemă își are rădăcinile în teoria varietății, unde se determină dacă două varietăți riemanniene de aceeași mărime sunt local izometrice („local la fel”). Ultima problemă a fost rezolvată, iar adaptarea sa pentru relativitatea generală se numește algoritmul Cartan-Karlhede .

Tensorii în relativitatea generală

Același subiect în detaliu: Tensor și Tensor (definiție intrinsecă) .

Una dintre consecințele profunde ale teoriei relativității a fost abolirea cadrului de referință privilegiat . Descrierea fenomenelor fizice nu ar trebui să depindă de cine efectuează măsurarea - orice cadru de referință ar trebui să fie în regulă. Relativitatea specială a arătat că niciun cadru de referință inerțial nu este privilegiat față de alte sisteme inerțiale, dar acestea sunt privilegiate față de cele non-inerțiale. Relativitatea generală a eliminat ulterior și privilegiul sistemelor inerțiale, afirmând definitiv că orice sistem de referință (inerțial sau de altă natură) este potrivit pentru a oferi o descriere a naturii.

Orice observator poate efectua măsurători, iar cantitatea numerică exactă obținută depinde exclusiv de sistemul de coordonate utilizat. Aceasta a sugerat o modalitate de formulare a relativității folosind „structuri invariante”, adică independent de sistemul de coordonate utilizat (reprezentat de observator). Cea mai potrivită structură matematică în acest scop este tensorul . De exemplu, atunci când se măsoară câmpurile electrice și magnetice produse de o sarcină accelerată, valorile câmpurilor vor depinde de sistemul de coordonate utilizat, dar câmpurile există independent de valorile lor și, prin urmare, pot fi reprezentate de tensorul electromagnetic .

Matematic, tensorii sunt operatori liniari generalizați - hărți multiliniare . Ca atare, acestea sunt studiate prin conceptele de algebră liniară .

Începând din fiecare punct $\,p$ ${\ displaystyle \, p}$ ${\ displaystyle \, p}$ dintr-o varietate , spațiile tangente și cotangente ale varietății pot fi construite. Vectorii (uneori numiți vectori contravarianți ) sunt definiți ca elemente ale spațiului tangent, iar covectorii (uneori numiți vectori covarianți , dar mai frecvent vectori duali sau cu o formă ) sunt elemente ale cotangentei, spațiului dual al tangentei.

În sens $\,p$ ${\ displaystyle \, p}$ ${\ displaystyle \, p}$ , aceste două spații vectoriale pot fi utilizate pentru a construi tensori de tip $\,(r,s)$ ${\ displaystyle \, (r, s)}$ ${\ displaystyle \, (r, s)}$ , care sunt hărți multiliniare cu valoare reală care acționează asupra sumei directe a $\,r$ ${\ displaystyle \, r}$ ${\ displaystyle \, r}$ copii ale spațiului cotangent cu $\,s$ ${\ displaystyle \, s}$ ${\ displaystyle \, s}$ copii ale spațiului tangent. Setul tuturor acestor hărți multiliniare formează un spațiu vectorial, numit spațiu tip tensor produs $\,(r,s)$ ${\ displaystyle \, (r, s)}$ ${\ displaystyle \, (r, s)}$ în $\,p$ ${\ displaystyle \, p}$ ${\ displaystyle \, p}$ și notat cu $\,(T_{p})^{r}{}_{s}M$ ${\ displaystyle \, (T_ {p}) ^ {r} {} _ {s} M}$ ${\ displaystyle \, (T_ {p}) ^ {r} {} _ {s} M}$ . Dacă spațiul tangent este n-dimensional, se poate arăta că $\dim(T_{p})^{r}{}_{s}M=n^{r+s}$ ${\ displaystyle \ dim (T_ {p}) ^ {r} {} _ {s} M = n ^ {r + s}}$ ${\ displaystyle \ dim (T_ {p}) ^ {r} {} _ {s} M = n ^ {r + s}}$ .

În literatura relativității generale , sintaxa componentă pentru tensori este utilizată în mod convențional.

Un tensor de tip (r, s) poate fi scris ca

$T\;\!=\;\!{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{{b_{1}}\ldots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \ldots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \ldots \otimes dx^{b_{s}}$ ${\ displaystyle T \; \! = \; \! {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {{b_ {1}} \ ldots {b_ {s}}} {\ frac { \ partial} {\ partial x ^ {a_ {1}}}} \ otimes \ ldots \ otimes {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a_ {r}}}} \ otimes dx ^ {b_ {1 }} \ otimes \ ldots \ otimes dx ^ {b_ {s}}}$ ${\ displaystyle T \; \! = \; \! {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {{b_ {1}} \ ldots {b_ {s}}} {\ frac { \ partial} {\ partial x ^ {a_ {1}}}} \ otimes \ ldots \ otimes {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a_ {r}}}} \ otimes dx ^ {b_ {1 }} \ otimes \ ldots \ otimes dx ^ {b_ {s}}}$

unde este $\;\!{\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}$ ${\ displaystyle \; \! {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a_ {i}}}}}$ ${\ displaystyle \; \! {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a_ {i}}}}}$ este o bază pentru spațiul i și tangent $\;\!dx^{b_{j}}$ ${\ displaystyle \; \! dx ^ {b_ {j}}}$ ${\ displaystyle \; \! dx ^ {b_ {j}}}$ o bază pentru al doilea spațiu cotangent.

Deoarece spațiul-timp este presupus a fi cu patru dimensiuni, orice indice pe un tensor poate fi una dintre cele patru valori. Prin urmare, numărul total de elemente pe care le are un tensor este egal cu 4 ^R , unde R este suma numărului de indici covarianți și contravarianți pe tensor (un număr numit rangul tensorului).

Tensori simetrici și antisimetrici

Același subiect în detaliu: tensorul antisimetric și tensorul simetric .

Unele mărimi fizice sunt reprezentate de tensori care au unele componente neindependente. Exemple importante de tensori de acest tip sunt tensorii simetrici și antisimetrici. Tensorii antisimetrici sunt folosiți în mod obișnuit pentru a reprezenta rotații (de exemplu, tensorul de vorticitate ).

Într-un tensor generic 4-dimensional de rang R având 4 componente ^R , constrângerile asupra tensorului, cum ar fi simetria sau antisimetria, reduc numărul de componente distincte. De exemplu, un tensor simetric $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de rangul 2 satisface T _ab = T _ba și are 10 componente independente, în timp ce un tensor antisimetric (oblic-simetric) $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de rangul doi satisface P _ab = - P _ba și are 6 componente independente. Pentru rangurile mai mari de 2, perechile de indici simetrici sau antisimetrici trebuie identificați în mod explicit.

Tensorii antisimetrici de rangul 2 joacă roluri importante în teoria relativității. Ansamblul tuturor acestor tensori - adesea numiți bivectori - formează un spațiu vectorial de dimensiunea 6, numit uneori un spațiu bivectoral.

Tensor metric

Același subiect în detaliu: Tensor metric .

Tensorul metric este un obiect central în relativitatea generală care descrie geometria locală a spațiului-timp (pentru a rezolva ecuația câmpului lui Einstein ). Folosind aproximarea câmpului slab , metrica poate fi de asemenea considerată ca reprezentând „potențialul gravitațional”.

Tensorul metric este un tensor simetric utilizat pentruridicarea și coborârea indicilor tensoarelor și generarea conexiunilor utilizate pentru a construi ecuațiile de mișcare ale geodeziei și tensorul de curbură Riemann .

O modalitate adecvată de a exprima tensorul metric este prin elementul linie :

$ds^{2}=g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ab} \, dx ^ {a} \, dx ^ {b}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ab} \, dx ^ {a} \, dx ^ {b}}$

Acest mod de a exprima metrica a fost folosit de pionierii geometriei diferențiale și este echivalent cu notația:

$g=g_{ab}\,dx^{a}\otimes dx^{b}$ ${\ displaystyle g = g_ {ab} \, dx ^ {a} \ otimes dx ^ {b}}$ ${\ displaystyle g = g_ {ab} \, dx ^ {a} \ otimes dx ^ {b}}$

Tensorul metric este scris în mod obișnuit ca o matrice 4 pe 4. Datorită simetriei metricei, această matrice este simetrică și are 10 componente independente.

Invarianți

Unul dintre aspectele centrale ale relativității generale este conceptul de invarianță a legilor fizice. Această invarianță poate fi descrisă în multe moduri, de exemplu, în termeni de covarianță locală Lorentz , principiul general al relativității sau covarianța difeomorfismului .

O descriere mai explicită poate fi dată prin utilizarea tensoarelor. Caracteristica crucială a tensorilor utilizați în această abordare este faptul că (odată ce metrica este dată) operația de contractare a unui tensor de rang R pe toți indicii R produce un număr - un "invariant" - care este independent de grafic de coordonate utilizat pentru realizarea contracției. Fizic, aceasta înseamnă că invariantul calculat de fiecare observator va avea aceeași valoare, sugerând o anumită semnificație independentă. Unii invarianți importanți în relativitate includ:

Urcarea lui Ricci : $R\,=R^{ab}g_{ab}$ ${\ displaystyle R \, = R ^ {ab} g_ {ab}}$ ${\ displaystyle R \, = R ^ {ab} g_ {ab}}$
Urcarea lui Kretschmann : $K\,=R^{abcd}R_{abcd}$ ${\ displaystyle K \, = R ^ {abcd} R_ {abcd}}$ ${\ displaystyle K \, = R ^ {abcd} R_ {abcd}}$

Alte exemple de invarianți în relativitate includ invarianții electromagnetici și alți invarianți de curbură ; unii dintre aceștia din urmă își găsesc aplicația în studiul entropiei gravitaționale și în ipoteza curburii Weyl .

Clasificări ale tensorilor

Clasificarea tensorilor este o problemă pur matematică. Cu toate acestea, în relativitatea generală, unii tensori care au o interpretare fizică pot fi clasificați în diferitele forme ale tensorului care corespund de obicei unor fenomene fizice. Exemple de clasificări tensoriale utile în relativitatea generală includ clasificarea Segre a tensorului de energie-impuls și clasificarea Petrov a tensorului Weyl . Există diverse metode de clasificare a acestor tensori, dintre care unele folosesc invarianți tensorali.

Câmpuri tensoriale în relativitatea generală

Același subiect în detaliu: câmpul tensorului .

Câmpurile tensoriale de pe un distribuitor sunt cărți care unesc un tensor la fiecare punct al distribuitorului . Această noțiune poate fi făcută mai precisă prin introducerea conceptului de fascicul , care în contextul actual înseamnă adunarea tuturor tensoarelor în toate punctele colectorului, astfel încât să le „legați” pe toate într-un singur obiect mare numit fascicul de tensiune . Un câmp tensorial este astfel definit ca o hartă multiplă pentru fasciculul tensorial, fiecare punct fiind $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ asociat cu un tensor în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Noțiunea de câmp tensorial are o importanță primară în relativitatea generală. De exemplu, geometria din jurul unei stele este descrisă de un tensor metric în fiecare punct, astfel încât fiecărui punct din spațiu-timp i se dă valoarea metricei pentru a rezolva căile particulelor materiale. Un alt exemplu este reprezentat de valorile câmpurilor electrice și magnetice (date de tensorul electromagnetic ) și metrica în fiecare punct din jurul unei găuri negre încărcate pentru a determina mișcarea unei particule încărcate în acel câmp.

Câmpurile vectoriale sunt câmpuri tensoriale cu un singur rang contravariant. Câmpurile vectoriale importante în relativitate includ patru viteze , $U^{a}={\dot {x}}^{a}$ ${\ displaystyle U ^ {a} = {\ dot {x}} ^ {a}}$ ${\ displaystyle U ^ {a} = {\ dot {x}} ^ {a}}$ , care este distanța coordonată parcursă pe unitate de timp adecvat, cele patru accelerări $A^{a}={\ddot {x}}^{a}$ ${\ displaystyle A ^ {a} = {\ ddot {x}} ^ {a}}$ ${\ displaystyle A ^ {a} = {\ ddot {x}} ^ {a}}$ iar al patrulea curent $\,J^{a}$ ${\ displaystyle \, J ^ {a}}$ ${\ displaystyle \, J ^ {a}}$ care descrie sarcina și densitatea curentului. Alte câmpuri tensoriale importante din punct de vedere fizic din relativitate includ următoarele:

tensorul energiei pulsului $\,T^{ab}$ ${\ displaystyle \, T ^ {ab}}$ ${\ displaystyle \, T ^ {ab}}$ , un tensor simetric de rangul doi.
tensor de câmp electromagnetic $\,F^{ab}$ ${\ displaystyle \, F ^ {ab}}$ ${\ displaystyle \, F ^ {ab}}$ , un tensor antisimetric de rangul doi.

Deși cuvântul „tensor” se referă la un obiect dintr-un punct, este o practică obișnuită să se refere la câmpurile tensoriale pe un spațiu-timp (sau o regiune a acestuia) la fel ca „tensori”.

În orice moment al spațiului-timp peste care este definită o metrică, metrica poate fi redusă la forma lui Minkowski folosind legea de inerție a lui Sylvester .

Derivați tensorali

Înainte de apariția relativității generale, modificările proceselor fizice erau în general definite prin derivate parțiale , de exemplu, în descrierea modificărilor câmpurilor electromagnetice (vezi ecuațiile lui Maxwell ). Chiar și în relativitatea specială, derivata parțială este încă suficientă pentru a defini astfel de modificări. Cu toate acestea, în relativitatea generală, s-a constatat că trebuie folosite derivate care sunt și tensori. Derivații au unele caracteristici comune, inclusiv cele de a fi derivate de-a lungul curbelor integrale ale câmpurilor vectoriale.

Problema cu definirea derivatelor pe varietăți care nu sunt plate este că nu există o modalitate naturală de a compara vectori în diferite puncte. Pentru definirea derivatelor este necesară o structură suplimentară pe o varietate generală. Două derivate importante sunt descrise mai jos, care pot fi definite prin impunerea în fiecare caz a unei structuri suplimentare asupra soiului.

Conexiuni afine

Același subiect în detaliu: conexiune afină .

Curbura unui spațiu-timp poate fi caracterizată prin luarea unui vector la un moment dat și purtarea paralelă de -a lungul unei curbe în spațiu-timp. O conexiune afină este o regulă care descrie cum să mutați în mod legitim un vector de-a lungul unei curbe pe colector fără a-i schimba direcția.

Prin definiție, o conexiune afină este o hartă biliniară $\Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\rightarrow \Gamma (TM)$ ${\ displaystyle \ Gamma (TM) \ times \ Gamma (TM) \ rightarrow \ Gamma (TM)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (TM) \ times \ Gamma (TM) \ rightarrow \ Gamma (TM)}$ , unde este $\,\Gamma (TM)$ ${\ displaystyle \, \ Gamma (TM)}$ ${\ displaystyle \, \ Gamma (TM)}$ este un spațiu al tuturor câmpurilor vectoriale pe spațiu-timp. Această hartă biliniară poate fi descrisă în termenii unui set de coeficienți de conexiune (cunoscuți și ca simboluri Christoffel ) prin specificarea a ceea ce se întâmplă cu componentele vectorilor de bază sub transport paralel infinitesimal:

$\nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = \ Gamma _ {ji} ^ {k} e_ {k}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = \ Gamma _ {ji} ^ {k} e_ {k}}$

În ciuda aspectului lor atractiv, coeficienții de conexiune nu sunt componentele unui tensor .

În general, există coeficienți de conexiune D ³ independenți în fiecare punct din spațiu-timp. Conexiunea se numește simetrică dacă $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ji} ^ {k} = \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ji} ^ {k} = \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ . O conexiune simetrică are coeficienții D ² (D + 1) / 2.

Pentru fiecare curbă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ și colon $A=\gamma (0)$ ${\ displaystyle A = \ gamma (0)}$ ${\ displaystyle A = \ gamma (0)}$ Și $B=\gamma (t)$ ${\ displaystyle B = \ gamma (t)}$ ${\ displaystyle B = \ gamma (t)}$ pe această curbă, o conexiune afină dă naștere unei hărți a vectorilor din spațiul tangent la A în vectori din spațiul tangent la B:

$X(t)\,=\Pi _{0,t,\gamma }X(0)$ ${\ displaystyle X (t) \, = \ Pi _ {0, t, \ gamma} X (0)}$ ${\ displaystyle X (t) \, = \ Pi _ {0, t, \ gamma} X (0)}$ ,

Și $\,X(t)$ ${\ displaystyle \, X (t)}$ ${\ displaystyle \, X (t)}$ poate fi calculat prin rezolvarea ecuației diferențiale

${\frac {d}{dt}}X^{i}(t)=\nabla _{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma _{jk}^{i}X^{j}(t)C^{k}(t)$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} X ^ {i} (t) = \ nabla _ {C (t)} X ^ {i} (t) = \ Gamma _ {jk} ^ {i} X ^ {j} (t) C ^ {k} (t)}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} X ^ {i} (t) = \ nabla _ {C (t)} X ^ {i} (t) = \ Gamma _ {jk} ^ {i} X ^ {j} (t) C ^ {k} (t)}$

$\,C^{j}(t)$ ${\ displaystyle \, C ^ {j} (t)}$ ${\ displaystyle \, C ^ {j} (t)}$ fiind vectorul tangent la curba din punct $\gamma (t)$ ${\ displaystyle \ gamma (t)}$ ${\ displaystyle \ gamma (t)}$ .

O conexiune afină importantă în relativitatea generală este conexiunea Levi-Civita , care este o conexiune simetrică obținută prin transportul paralel al unui vector tangent de-a lungul unei curbe, păstrând în același timp produsul interior al acelui vector de-a lungul curbei. Coeficienții de conexiune rezultați ( simboluri Christoffel ) pot fi calculați direct din metrică . Din acest motiv, acest tip de conexiune se numește adesea o conexiune metrică .

Derivată Covariantă

Același subiect în detaliu: derivat Covariant .

Să spunem asta $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ fii un punct, ${\vec {A}}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ un vector situat în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , Și ${\vec {B}}$ ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ $\ vec B$ un câmp vector. Conceptul de diferențiere ${\vec {B}}$ ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ $\ vec B$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de-a lungul direcției de ${\vec {A}}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ într-un mod semnificativ fizic se poate face prin alegerea sensului unei conexiuni afine și a unei curbe uniforme parametrizate $\gamma \,(t)$ ${\ displaystyle \ gamma \, (t)}$ ${\ displaystyle \ gamma \, (t)}$ astfel încât $X\,=\gamma (0)$ ${\ displaystyle X \, = \ gamma (0)}$ ${\ displaystyle X \, = \ gamma (0)}$ Și ${\vec {A}}={d \over dt}\gamma (0)$ ${\ displaystyle {\ vec {A}} = {d \ over dt} \ gamma (0)}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}} = {d \ over dt} \ gamma (0)}$ . Formula

$\nabla _{\vec {A}}{\vec {B}}(X)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\Pi _{(\varepsilon ,0,\gamma )}{\vec {B}}(\gamma (\varepsilon ))-{\vec {B}}(X)}{\varepsilon }}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ vec {A}} {\ vec {B}} (X) = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {\ Pi _ {(\ varepsilon, 0, \ gamma )} {\ vec {B}} (\ gamma (\ varepsilon)) - {\ vec {B}} (X)} {\ varepsilon}}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ vec {A}} {\ vec {B}} (X) = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {\ Pi _ {(\ varepsilon, 0, \ gamma )} {\ vec {B}} (\ gamma (\ varepsilon)) - {\ vec {B}} (X)} {\ varepsilon}}}$

pentru un derivat covariant de ${\vec {B}}$ ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ $\ vec B$ lung ${\vec {A}}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ asociat cu conexiunea $\,\Pi$ ${\ displaystyle \, \ Pi}$ ${\ displaystyle \, \ Pi}$ ajunge să dea rezultate care sunt independente de curbă și pot fi folosite ca „definiție fizică” a unei derivate covariante.

Poate fi exprimat folosind coeficienți de conexiune:

$\nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c})Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ vec {Y}} {\ vec {X}} = X ^ {a} {} _ {; b} Y ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a}}} = (X ^ {a} {} _ {, b} + \ Gamma _ {bc} ^ {a} X ^ {c}) Y ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ parțial x ^ {a}}}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ vec {Y}} {\ vec {X}} = X ^ {a} {} _ {; b} Y ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a}}} = (X ^ {a} {} _ {, b} + \ Gamma _ {bc} ^ {a} X ^ {c}) Y ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ parțial x ^ {a}}}}$

Expresia dintre paranteze, numită derivată covariantă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (în ceea ce privește conexiunea) și notat cu $\nabla {\vec {X}}$ ${\ displaystyle \ nabla {\ vec {X}}}$ ${\ displaystyle \ nabla {\ vec {X}}}$ , este cel mai des folosit în calcule:

$\nabla {\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}$ ${\ displaystyle \ nabla {\ vec {X}} = X ^ {a} {} _ {; b} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a}}} \ otimes dx ^ {b} = (X ^ {a} {} _ {, b} + \ Gamma _ {bc} ^ {a} X ^ {c}) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a}}} \ otimes dx ^ {b}}$ ${\ displaystyle \ nabla {\ vec {X}} = X ^ {a} {} _ {; b} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a}}} \ otimes dx ^ {b} = (X ^ {a} {} _ {, b} + \ Gamma _ {bc} ^ {a} X ^ {c}) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {a}}} \ otimes dx ^ {b}}$

O derivată covariantă a lui X poate fi astfel văzută ca un operator diferențial care acționează asupra unui câmp vectorial trimițându-l către un tensor de tip (1.1) („creșterea indicelui covariant cu 1”) și poate fi generalizat pentru a acționa asupra câmpurilor tensorice de tip (r, s) trimiterea lor către câmpurile tensorului de tip (r, s + 1). Noțiunile de transport paralel pot fi, prin urmare, definite în același mod ca și în cazul câmpurilor vectoriale. Prin definiție, o derivată covariantă a unui câmp scalar este egală cu derivata normală a câmpului.

În literatură, există trei metode comune pentru a denota diferențierea covariantă:

$D_{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=\nabla _{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=T_{d\dots e;a}^{b\dots c}$ ${\ displaystyle D_ {a} T_ {d \ dots e} ^ {b \ dots c} = \ nabla _ {a} T_ {d \ dots e} ^ {b \ dots c} = T_ {d \ dots e; a} ^ {b \ dots c}}$ ${\ displaystyle D_ {a} T_ {d \ dots e} ^ {b \ dots c} = \ nabla _ {a} T_ {d \ dots e} ^ {b \ dots c} = T_ {d \ dots e; a} ^ {b \ dots c}}$

Multe proprietăți standard ale derivatelor parțiale regulate se aplică și derivatelor covariante:

$\nabla _{a}(X^{b}+Y^{b})\,=\nabla _{a}X^{b}+\nabla _{a}Y^{b}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} (X ^ {b} + Y ^ {b}) \, = \ nabla _ {a} X ^ {b} + \ nabla _ {a} Y ^ {b}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} (X ^ {b} + Y ^ {b}) \, = \ nabla _ {a} X ^ {b} + \ nabla _ {a} Y ^ {b}}$

$\nabla _{a}(X^{b}Y^{c})\,=Y^{c}(\nabla _{a}X^{b})+X^{b}(\nabla _{a}Y^{c})$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} (X ^ {b} Y ^ {c}) \, = Y ^ {c} (\ nabla _ {a} X ^ {b}) + X ^ {b} (\ nabla _ {a} Y ^ {c})}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} (X ^ {b} Y ^ {c}) \, = Y ^ {c} (\ nabla _ {a} X ^ {b}) + X ^ {b} (\ nabla _ {a} Y ^ {c})}$

$\nabla _{a}(f(x)X^{b})\,=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}\nabla _{a}f=f\nabla _{a}X^{b}+X_{b}{\partial f \over \partial x^{a}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} (f (x) X ^ {b}) \, = f \ nabla _ {a} X ^ {b} + X ^ {b} \ nabla _ {a} f = f \ nabla _ {a} X ^ {b} + X_ {b} {\ partial f \ over \ partial x ^ {a}}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} (f (x) X ^ {b}) \, = f \ nabla _ {a} X ^ {b} + X ^ {b} \ nabla _ {a} f = f \ nabla _ {a} X ^ {b} + X_ {b} {\ partial f \ over \ partial x ^ {a}}}$

$\nabla _{a}(cX^{b})\,=c\nabla _{a}X^{b}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} (cX ^ {b}) \, = c \ nabla _ {a} X ^ {b}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} (cX ^ {b}) \, = c \ nabla _ {a} X ^ {b}}$ , dacă c este o constantă

În relativitatea generală, ne referim de obicei la "derivatul" covariant, care este cel asociat cu conexiunea afară Levi-Civita. Prin definiție, conexiunea Levi-Civita menține metrica sub transport paralel, prin urmare, derivata covariantă dă zero atunci când acționează asupra unui tensor metric (precum și pentru inversul său). Cu alte cuvinte, luăm tensorul metric (invers) în interiorul și în afara derivatei și îl folosim pentru a crește și coborî indicii:

$\nabla _{a}T^{b}=\nabla _{a}(T_{c}g^{bc})=g^{bc}\nabla _{a}T_{c}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} T ^ {b} = \ nabla _ {a} (T_ {c} g ^ {bc}) = g ^ {bc} \ nabla _ {a} T_ {c}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {a} T ^ {b} = \ nabla _ {a} (T_ {c} g ^ {bc}) = g ^ {bc} \ nabla _ {a} T_ {c}}$

Derivat de minciună

Același subiect în detaliu: derivata minciunii și simetriile spațiului-timp .

O altă derivată importantă a tensorului este derivata Lie. În timp ce derivata covariantă necesită o conexiune afină pentru a permite comparația între vectori în diferite puncte, derivata Lie folosește o congruență a unui câmp vector pentru a atinge același obiectiv. Conceptul lui Lie de a trage o funcție de-a lungul unei congruențe duce la definirea derivatei Lie, unde funcția trasă este comparată cu valoarea funcției originale într-un punct dat. Derivata Lie poate fi definită pentru câmpuri tensoriale de tip (r, s) și în acest sens poate fi văzută ca o hartă care trimite un tip (r, s) către un tensor de tip (r, s).

Derivatul Lie este de obicei notat cu ${\mathcal {L}}_{X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$ , unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este câmpul vector de-a lungul cărui congruență este luată derivata Lie.

Derivata Lie a oricărui tensor de-a lungul unui câmp vectorial poate fi exprimată prin derivatele covariante ale acelui câmp tensorial și vectorial. (De fapt, orice derivat va funcționa, dar derivatul covariant este adecvat deoarece schimbă odată cu creșterea și coborârea indicilor). Derivata Lie a unui scalar este exact derivata direcțională:

{\mathcal {L}}_{X}\phi =X^{a}\nabla _{a}\phi =X^{a}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{a}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ phi = X ^ {a} \ nabla _ {a} \ phi = X ^ {a} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {la}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ phi = X ^ {a} \ nabla _ {a} \ phi = X ^ {a} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {la}}}}

Elementele cu rang mai înalt colectează termeni suplimentari atunci când iau derivatul Lie. De exemplu, derivata Lie a unui tensor de tip (0.2) este

{\mathcal {L}}_{X}T_{ab}=X^{c}\nabla _{c}T_{ab}+(\nabla _{a}X^{c})T_{cb}+(\nabla _{b}X^{c})T_{ac}=X^{c}T_{ab,c}+X_{,a}^{c}T_{cb}+X_{,b}^{c}T_{ac}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T_ {ab} = X ^ {c} \ nabla _ {c} T_ {ab} + (\ nabla _ {a} X ^ {c}) T_ { cb} + (\ nabla _ {b} X ^ {c}) T_ {ac} = X ^ {c} T_ {ab, c} + X _ {, a} ^ {c} T_ {cb} + X_ { , b} ^ {c} T_ {ac}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T_ {ab} = X ^ {c} \ nabla _ {c} T_ {ab} + (\ nabla _ {a} X ^ {c}) T_ { cb} + (\ nabla _ {b} X ^ {c}) T_ {ac} = X ^ {c} T_ {ab, c} + X _ {, a} ^ {c} T_ {cb} + X_ { , b} ^ {c} T_ {ac}}

Mai general,

{\mathcal {L}}_{X}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+

{\mathcal {L}}_{X}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+

{\mathcal {L}}_{X}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+

+(\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}+\ldots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}

+(\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}+\ldots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}

+(\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}+\ldots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}

Uno degli usi principali della derivata di Lie nella relatività generale è nello studio delle simmetrie dello spazio-tempo in cui sono conservati tensori o altri oggetti geometrici. In particolare, la simmetria di Killing (simmetria del tensore metrico sotto il trascinamento di Lie) si verifica molto spesso nello studio dello spazio-tempo. Utilizzando la formula precedente, possiamo scrivere la condizione che deve essere soddisfatta per un campo vettoriale per generare una simmetria Killing:

{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0

{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0

{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0

\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0,

\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0,

\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0,

che è equivalente a

X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}\,=0.

X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}\,=0.

X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}\,=0.

Tensore di curvatura di Riemann

Lo stesso argomento in dettaglio: Tensore di Riemann .

Un aspetto cruciale della relatività generale è il concetto di varietà curva. Un utile modo per misurare la curvatura di una varietà è tramite un oggetto chiamato tensore (curvatura) di Riemann.

Questo tensore misura la curvatura tramite l'uso di una connessione affine che prende in considerazione l'effetto di trasportare parallelo un vettore tra due punti lungo due curve. La discrepanza tra i risultati di questi due percorsi di trasporto parallelo è essenzialmente quantificata dal tensore di Riemann .

Questa proprietà del tensore di Riemann può essere utilizzata per descrivere come le geodetiche parallele inizialmente divergano. Ciò viene espresso tramite l'equazione di deviazione geodetica e significa che le forze mareali sperimentate in un campo gravitazionale sono il risultato della curvatura dello spazio-tempo .

Utilizzando la procedura descritta sopra, il tensore di Riemann è definito come un tensore di tipo (1.3) e una volta completamente scritto contiene esplicitamente i simboli di Christoffel . Il tensore di Riemann ha 20 componenti indipendenti. La tendenza a zero di tutti questi componenti su una regione indica che lì lo spazio-tempo è piatto . Dal punto di vista della deviazione geodetica, ciò significa che inizialmente le geodetiche parallele in quella regione dello spazio-tempo resteranno parallele.

Il tensore di Riemann ha una certo numero di proprietà a volte riferite come simmetrie del tensore di Riemann . Di particolare rilevanza per la relatività generale sono le identità algebriche e differenziali di Bianchi.

La connessione e la curvatura di ogni varietà riemanniana sono strettamente correlate; la teoria di gruppi di olonomia , formati prendendo mappe lineari definite per mezzo del trasporto parallelo intorno a curve sulla varietà, fornisce una descrizione di questa correlazione.

Tensore energia-impulso

Lo stesso argomento in dettaglio: Tensore energia impulso .

Le sorgenti di un qualsiasi campo gravitazionale (materia ed energia) sono rappresentati nella relatività da un tensore simmetrico di tipo (0.2) chiamato tensore energia momento ed è strettamente correlato al tensore di Ricci . Essendo un tensore di secondo rango in quattro dimensioni, il tensore energia momento potrebbe essere visto come una matrice 4 per 4. I vari tipi di matrice ammissibili, dette forme di Jordan non possono verificarsi, dato che le condizioni energetiche che il tensore energia momento è costretto a soddisfare esclude certe forme.

Conservazione dell'energia

Nella relatività generale, c'è un legge locale per la conservazione dell'energia-momento che può essere sinteticamente espressa attraverso l'equazione tensoriale:

$T^{ab}{}_{;b}\,=0.$ $T^{ab}{}_{;b}\,=0.$ $T^{ab}{}_{;b}\,=0.$

La relazione corrispondente della conservazione dell'energia locale nella relatività speciale è:

$T^{ab}{}_{,b}\,=0.$ $T^{ab}{}_{,b}\,=0.$ $T^{ab}{}_{,b}\,=0.$

Ciò indica la regola empirica secondo la quale le "derivate parziali vanno alle derivative covarianti".

Equazioni di campo di Einstein

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di campo di Einstein e Soluzioni delle equazioni di campo di Einstein .

Le equazioni di campo di Einstein (ECE) sono il nocciolo della teoria della relatività generale. Le ECE descrivono come massa ed energia (come rappresentato nel tensore stress energia ) sono correlate alla curvatura dello spazio-tempo (come rappresentato nel tensore di Einstein ). Nella notazione astratta degli indici , la ECE si legge come segue:

G_{ab}+\Lambda g_{ab}={8\pi G \over c^{4}}T_{ab}

G_{ab}+\Lambda g_{ab}={8\pi G \over c^{4}}T_{ab}

G_{ab}+\Lambda g_{ab}={8\pi G \over c^{4}}T_{ab}

dove $G_{ab}$ $G_{ab}$ $G_{{ab}}$ è il tensore di Einstein , $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ è la costante cosmologica , $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ è la velocità della luce nel vuoto e $G$ ${\displaystyle G}$ $G$ è la costante gravitazionale , che deriva dalla legge di gravitazione universale di Newton .

Le soluzioni delle ECE sono tensori metrici che, essendo equazioni differenziali non-lineari per la metrica, sono spesso difficili da risolvere. Ci sono un certo numero di strategie utilizzate per trovarne le soluzioni. Per esempio, una strategia è iniziare con un ansatz (o ipotesi) della metrica finale, e perfezionarla fino a quando non sia abbastanza specifica da sostenere un sistema di coordinate, ma ancora abbastanza generale per produrre un insieme di equazioni differenziali simultanee con incognite che possano essere risolte. I tensori metrici che si ottengono, nei casi in cui le equazioni differenziali che ne derivano possano essere risolte esattamente per una distribuzione fisicamente ragionevole di energia-momento, sono chiamati soluzioni esatte . Esempi notevoli di soluzioni esatte comprendono la soluzione di Schwarzschild e la soluzione di Friedman-Lemaître-Robertson-Walker . ^[1]

Equazioni geodetiche

Lo stesso argomento in dettaglio: Geodetica .

Una volta che le equazioni di campo di Einstein sono risolte per ottenere una metrica, resta da determinare il moto degli oggetti inerziali nello spazio-tempo. Nella relatività generale, si ipotizza che il moto inerziale si verifica lungo geodetiche dello spazio-tempo nulle e di tipo tempo come parametrizzato dal tempo proprio . Le geodetiche sono curve che trasportano parallele il loro proprio vettore tangente ${\vec {U}}$ ${\vec {U}}$ ${\vec {U}}$ , vale a dire $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$ $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$ $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$ . Questa condizione - l' equazione geodetica - può essere scritta mediante i termini di un sistema di coordinate $x^{a}$ $x^{a}$ $x^{a}$ col il vettore tangente $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ :

${\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0$ ${\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0$ ${\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0$

dove ${\dot {}}=d/d\tau$ ${\dot {}}=d/d\tau$ ${\dot {}}=d/d\tau$ , τ parametrizza il tempo proprio lungo la curva ed è resa evidente la presenza dei simboli di Christoffel .

Una caratteristica principale della relatività generale è quella di determinare i percorsi di particelle e radiazioni nei campi gravitazionali. Ciò è realizzato dalla risoluzioni per le equazioni geodetiche .

Le ECE riguardano la distribuzione della materia (energia) complessiva per la curvatura dello spazio-tempo . la loro non-linearità porta a un problema nel determinare il moto preciso della materia nello spazio-tempo risultante. Per esempio, in un sistema composto da un pianeta orbitante una stella , il moto del pianeta è determinato risolvendo le equazioni di campo con il tensore energia-momento la somma di quello per il pianeta e la stella. Il campo gravitazionale del pianeta influenza la geometria complessiva dello spazio-tempo e dunque il moto degli oggetti. È quindi ragionevole supporre che le equazioni di campo possano essere utilizzate per ricavare le equazioni geodetiche.

Quando il tensore energia-momento per un sistema è quello del fluido perfetto , esso può essere dimostrato usando la legge di conservazione locale per il tensore energia-momento in modo che le equazioni geodetiche siano soddisfatte in modo esatto.

Formulazione lagrangiana

Lo stesso argomento in dettaglio: Metodi variazionali nella relatività generale .

Il problema di ricavare le equazioni di moto o le equazioni di campo in ogni teoria fisica è considerato da molti ricercatori attraente. Un modo abbastanza universale di eseguire tali derivazioni è quello di utilizzare le tecniche di calcolo variazionale , essendo Lagrangiani gli oggetti principali usati a questo scopo.

Molti considerano questo approccio un modo elegante di costruire una teoria, altri semplicemente un modo formale di esprimerla (di solito, la costruzione lagrangiana è eseguita dopo lo sviluppo della teoria).

Tecniche matematiche per l'analisi degli spazio-tempo

Dopo aver delineato le strutture matematiche di base utilizzate nella formulazione della teoria, adesso verranno prese in considerazione alcune importanti tecniche matematiche impiegate nella ricerca sullo spazio-tempo.

Campi di sistema

Lo stesso argomento in dettaglio: Campi di sistema nella relatività generale .

Un campo di sistema è un insieme ortonormale di 4 campi vettoriali (1 di tipo tempo, 3 di tipo spazio) definiti su uno spazio-tempo . Ogni campo di sistema può essere pensato come rappresentante un osservatore nello spazio-tempo che si muove lungo curve integrali del campo vettoriale di tipo tempo. Ogni grandezza tensoriale può essere espressa in termini di campo di sistema, in particolare, il tensore metrico prende una forma particolarmente adatta. Quando si uniscono insieme ai campi di co-sistema , i campi di sistema forniscono un potente strumento per analizzare gli spazio-tempo e interpretare fisicamente i risultati matematici.

Campi vettoriali di simmetria

Lo stesso argomento in dettaglio: Simmetrie spazio-temporali .

Alcune tecniche moderne per l'analisi degli spazio-tempo fanno molto assegnamento sull'utilizzo di simmetrie spazio-temporali, che sono infinitamente generate da campi vettoriali (di solito definiti in modo locale) su uno spazio-tempo [particolare] che conserva [solo] alcune delle caratteristiche dello spazio-tempo. Il tipo più comune di tali campi vettoriali di simmetria comprendono campi vettoriali di Killing (che conservano la struttura metrica) e loro generalizzazioni chiamati campi vettoriali di Killing generalizzati . I campi vettoriali di simmetria trovano estesa applicazione nello studio delle esatte soluzioni nella relatività generale e l'insieme di tutti questi campi vettoriali di solito forma un' algebra di Lie finita-dimensionale.

Problema di Cauchy

Lo stesso argomento in dettaglio: Problema di Cauchy nella relatività generale .

Il problema di Cauchy (talvolta chiamato problema del valore iniziale ) è il tentativo di trovare una soluzione per un' equazione differenziale date le condizioni iniziali. Nel contesto della relatività generale , vuol dire il problema di trovare soluzioni alle equazioni di campo di Einstein - un sistema di equazioni differenziali parziali iperboliche - forniti alcuni dati iniziali su una ipersuperficie. Studiare il problema di Cauchy permette di formulare il concetto di causalità nella relatività generale, così come "parametrizzare" le soluzioni delle equazioni di campo. Idealmente, si desiderano soluzioni globali , ma di solito le soluzioni locali sono il meglio che si può sperare. In genere, la soluzione di questo problema di valore iniziale richiede la selezione di particolari condizioni coordinate .

Formalismo di spinori

Gli spinori trovano diverse importanti applicazioni nella relatività. Il loro uso come metodo per l'analisi dello spazio-tempo che utilizza tetradi è importante, in particolare, nel formalismo di Newman-Penrose .

Un'altra caratteristica interessante degli spinori nella relatività generale è il modo condensato in cui alcune equazioni tensoriali possono essere scritte usando il formalismo di spinore. Per esempio, nel classificare il tensore di Weyl, determinando i vari tipi di Petrov , diventa molto più facile se confrontato con la controparte tensoriale.

Calcolo di Regge

Lo stesso argomento in dettaglio: Calcolo di Regge .

Il calcolo di Regge è un formalismo che sminuzza una varietà lorentziana dentro 'grandi blocchi' ( chunks ) discreti ( blocchi simpliciali quadri-dimensionali) e le lunghezze del bordo del blocco sono prese come variabili di base. Una versione discreta dell' azione di Einstein-Hilbert è ottenuta prendendo in considerazione i cosiddetti 'angoli mancanti' di questi blocchi, un angolo mancante zero che non corrisponde a nessuna curvatura. Questo concetto nuovo trova applicazione nei metodi di approssimazione nella relatività numerica e nella gravità quantistica , usando quest'ultima una generalizzazione del calcolo Regge.

Teoremi della singolarità

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoremi della singolarità di Penrose-Hawking .

Nella relatività generale, un nuovo concetto scorga nel campo della fisica in merito al fatto che, in condizioni abbastanza generiche, il collasso gravitazionale risulta inevitabilmente in una cosiddetta singolarità .

Relatività numerica

Lo stesso argomento in dettaglio: Relatività numerica .

La relatività numerica è un sottocampo della relatività generale che cerca di risolvere le equazioni di Einstein attraverso l'uso di metodi numerici. I metodi di differenza finita , dell' elemento finito e pseudo-spettrale sono usati per approssimare la soluzione per le equazioni differenziali parziali che si presentano. Le nuove tecniche sviluppate dalla relatività numerica comprendono il metodo della recisione e quello della puntura per affrontare le singolarità che sorgono negli spazio-tempo del buco nero. I comuni temi di ricerca comprendono i buchi neri e le stelle di neutroni.

Metodi di perturbazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Metodi di perturbazione nella relatività generale .

La non-linearità delle equazioni di campo di Einstein spesso conducono a prendere in considerazione metodi di approssimazione per risolverli. Per esempio, un importante approccio è linearizzare le equazioni di campo . A tale scopo trovano ampia applicazione le tecniche mutuate dalla teoria della perturbazione .

Note

^ ( EN ) L'approssimazione EIH più altri riferimenti (per es. Geroch e Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol. 16 numero 1).

Bibliografia

( EN ) Albert Einstein , Relativity: The Special and General Theory , New York, Crown, 1961, ISBN 0-517-02961-8 .
( EN ) Charles Misner, Kip Thorne e John Archibald Wheeler , Gravitation , San Francisco, WH Freeman, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 .
( EN ) Lev D. Landau e Evgenij M. Lifshitz , Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition) , Oxford, Pergamon, 1975, ISBN 0-08-018176-7 .

Portale Fisica

Portale Matematica

[1] ( EN ) L'approssimazione EIH più altri riferimenti (per es. Geroch e Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol. 16 numero 1).

[1]