Uciderea câmpului vector

În matematică , un câmp vector Killing este un câmp vector pe o varietate Riemanniană (sau pseudo-Riemanniană ) care păstrează metrica . Câmpurile de ucidere sunt generatorii infinitezimali ai izometriilor .

Vectorii Killing sunt numiți în cinstea lui Wilhelm Killing .

Definiție formală

Un câmp vector X se numește câmp Killing dacă derivata Lie a metricei g de -a lungul lui X este zero:

{\mathcal {L}}_{X}\,g=0\,.

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \, g = 0 \,.}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \, g = 0 \,.}

Într-o varietate n-dimensională, există cel mult n (n + 1) / 2 vectori independenți de ucidere.

Exemple

În $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ cu metrica $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2}}$ , există 3 vectori Killing, care corespund celor două translații de-a lungul axelor de coordonate și rotației față de origine.

În 2-sfera cu metrica $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$ , există 3 vectori de ucidere, care corespund rotațiilor în spațiu.

În general, vectorii Killing închid o algebră Lie , iar izometriile generate de aceștia formează un grup . În sfera 2, avem grupul SU (2) , în timp ce în spațiu-timp cu metrica Minkowski avem grupul Poincaré .

Bibliografie

Jost, Jurgen, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin, Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-42627-2 .

Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem, capitolele 3 și 9 , în Introducere la relativitatea generală , ediția a II-a, New York, McGraw-Hill, 1975, ISBN 0-07-000423-4 .

Charles W Misner, Kip S Thorne și John Archibald Wheeler, Gravitation , San Francisco, WH Freeman and Company, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică