Tensor electromagnetic

În fizică , în special în electromagnetism , tensorul electromagnetic , denumit și tensorul câmpului electromagnetic, tensorul de tensiune al câmpului , tensorul Faraday sau bivectorul lui Maxwell , este un tensor care descrie câmpul electromagnetic .

Tensorul de câmp a fost folosit pentru prima dată de Hermann Minkowski și vă permite să scrieți legi fizice într-un mod foarte concis și general.

Definiție

Tensorul electromagnetic $F_{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta}}$ este definit ca: ^[1]

F_{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial A_{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }

{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial A _ {\ beta}} {\ partial x ^ {\ alpha}} } - {\ frac {\ partial A _ {\ alpha}} {\ partial x ^ {\ beta}}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha}}

{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial A _ {\ beta}} {\ partial x ^ {\ alpha}} } - {\ frac {\ partial A _ {\ alpha}} {\ partial x ^ {\ beta}}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha}}

unde este $A_{\alpha }$ ${\ displaystyle A _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle A _ {\ alpha}}$ este potențialul cu patru vectori :

A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right)}

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right)}

in care $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ este potențialul magnetic , un potențial vector și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este potențialul electric , un potențial scalar . Forma tensorului exprimă faptul că câmpul electric și câmpul magnetic sunt definite pornind de la cvadripotențial în felul următor: ^[2]

\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \phi \qquad \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} - \ mathbf {\ nabla} \ phi \ qquad \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla } \ times \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} - \ mathbf {\ nabla} \ phi \ qquad \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla } \ times \ mathbf {A}}

De exemplu, componentele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Sunt:

E_{x}=-{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\qquad B_{x}={\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}

{\ displaystyle E_ {x} = - {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} \ qquad B_ {x} = { \ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}}}

{\ displaystyle E_ {x} = - {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} \ qquad B_ {x} = { \ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}}}

care poate fi rescris ca:

E_{1}=c\left(\partial _{0}A_{1}-\partial _{1}A_{0}\right)\qquad B_{1}=\partial _{2}A_{3}-\partial _{3}A_{2}

{\ displaystyle E_ {1} = c \ left (\ partial _ {0} A_ {1} - \ partial _ {1} A_ {0} \ right) \ qquad B_ {1} = \ partial _ {2} A_ {3} - \ partial _ {3} A_ {2}}

{\ displaystyle E_ {1} = c \ left (\ partial _ {0} A_ {1} - \ partial _ {1} A_ {0} \ right) \ qquad B_ {1} = \ partial _ {2} A_ {3} - \ partial _ {3} A_ {2}}

Prin urmare, tensorul electromagnetic poate fi definit și ca derivată externă a formei 1-diferențiale $A_{\mu }$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ :

F_{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ dA_{\mu }

{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ dA _ {\ mu}}

{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ dA _ {\ mu}}

Deoarece tensorul electromagnetic este o formă 2-diferențială pe spațiu-timp, într-un cadru de referință inerțial matricea care îl reprezintă este: ^[3]

F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=\left({\mathbf {E}  \over c},\mathbf {B} \right)

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}} = \ left ({\ mathbf {E} \ peste c}, \ mathbf {B} \ right)}

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}} = \ left ({\ mathbf {E} \ peste c}, \ mathbf {B} \ right)}

sau:

F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=\left(-{\mathbf {E}  \over c},\mathbf {B} \right)

{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & E_ {x} / c & E_ {y} / c & E_ {z} / c \\ - E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ - E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ - E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}} = \ left (- {\ mathbf {E} \ peste c}, \ mathbf {B} \ right)}

{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & E_ {x} / c & E_ {y} / c & E_ {z} / c \\ - E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ - E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ - E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}} = \ left (- {\ mathbf {E} \ peste c}, \ mathbf {B} \ right)}

Din forma matricială a tensorului de câmp se poate deduce că tensorul electromagnetic este un tensor antisimetric :

F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }

{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = - F _ {\ beta \ alpha}}

{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = - F _ {\ beta \ alpha}}

a cărei urmă este nulă și are șase componente independente. Produsul intern al tensorilor de câmp este, de asemenea, un invariant Lorentz :

F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)=\mathrm {invariante}

{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} = \ 2 \ left (B ^ {2} - {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} \ dreapta) = \ mathrm {invariant}}

{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} = \ 2 \ left (B ^ {2} - {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} \ dreapta) = \ mathrm {invariant}}

în timp ce produsul tensorului $F^{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta}}$ cu tensorul său dual dă un invariant pseudoscalar :

{\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)=\mathrm {invariante}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} F ^ {\ alpha \ beta} F ^ {\ gamma \ delta} = - {\ frac {4} {c}} \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \ right) = \ mathrm {invariant}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} F ^ {\ alpha \ beta} F ^ {\ gamma \ delta} = - {\ frac {4} {c}} \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \ right) = \ mathrm {invariant}}

unde este $\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}}$ este tensorul unitar complet antisimetric de ordinul patru sau tensorul Levi-Civita . Rețineți că:

\det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}

{\ displaystyle \ det \ left (F \ right) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ det \ left (F \ right) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \ right) ^ {2}}

Derivare

Același subiect în detaliu: principiul variațional al lui Hamilton și acțiunea (fizica) .

Luați în considerare o particulă cu sarcină electrică $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ si masa $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ plasat într-o regiune în care există un câmp electromagnetic . Este $\mathbf {v} =\mathbf {\dot {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ dot {r}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ dot {r}}}$ viteza particulei e $\mathbf {p} =e\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = e \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = e \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$ impulsul , cu $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ potențialul vectorial . Energia sa potențială și energia cinetică au forma:

U=e\phi (\mathbf {r} ,t)-e\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} \qquad T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}}

{\ displaystyle U = e \ phi (\ mathbf {r}, t) -e \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} \ qquad T = {\ frac {m} {2}} \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}}}

{\ displaystyle U = e \ phi (\ mathbf {r}, t) -e \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} \ qquad T = {\ frac {m} {2}} \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}}}

unde este $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este potențialul electric . Lagrangianul ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ permite descrierea mișcării sale și este definit ca: ^[4]

{\mathcal {L}}=T-U={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +e\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -e\phi

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = YOU = {\ frac {m} {2}} \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} + e \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} -e \ phi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = YOU = {\ frac {m} {2}} \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} + e \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} -e \ phi}

adică:

{\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+e({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-e\phi

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {m} {2}} ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot { z}} ^ {2}) + e ({\ dot {x}} A_ {x} + {\ dot {y}} A_ {y} + {\ dot {z}} A_ {z}) - e \ phi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {m} {2}} ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot { z}} ^ {2}) + e ({\ dot {x}} A_ {x} + {\ dot {y}} A_ {y} + {\ dot {z}} A_ {z}) - e \ phi}

În notație relativistă, exploatarea intervalului spațiu-timp (scalar) $ds={\sqrt {x_{i}x^{i}}}$ ${\ displaystyle ds = {\ sqrt {x_ {i} x ^ {i}}}}$ ${\ displaystyle ds = {\ sqrt {x_ {i} x ^ {i}}}}$ , unde este $x^{i}$ ${\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ i$ este poziția, acțiunea ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ este definit ca integral al Lagrangianului în timpul dintre instanțele inițiale și finale ale evoluției sistemului: ^[5]

{\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{a}^{b}\left(-mcds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} dt = \ int _ {a} ^ {b} \ left (- mcds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} dt = \ int _ {a} ^ {b} \ left (- mcds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right)}

cu $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ cele patru potențiale . Principiul acțiunii minime stabilește că mișcarea unui sistem fizic între două instanțe ale spațiului de fază este astfel încât acțiunea este staționară în corespondență cu traiectoria mișcării pentru perturbații mici ale aceluiași ( $\delta {\mathcal {S}}=0$ ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = 0}$ $\ delta \ mathcal {S} = 0$ ) sau: ^[6]

\delta {\mathcal {S}}=\delta \int \left(-mc\,ds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)=-\int _{a}^{b}\left(mc\,{\frac {dx_{i}d\delta x^{i}}{ds}}+{e \over c}A_{i}d\delta x^{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)=0

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int \ left (-mc \, ds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right) = - \ int _ { a} ^ {b} \ left (mc \, {\ frac {dx_ {i} d \ delta x ^ {i}} {ds}} + {e \ over c} A_ {i} d \ delta x ^ { i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int \ left (-mc \, ds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right) = - \ int _ { a} ^ {b} \ left (mc \, {\ frac {dx_ {i} d \ delta x ^ {i}} {ds}} + {e \ over c} A_ {i} d \ delta x ^ { i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) = 0}

Dacă te integrezi prin piese obții:

\int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}dA_{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)-\left(mcu_{i}+{e \over c}A_{i}\right)\delta x^{i}|=0

{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} dA_ {i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) - \ left (mcu_ {i} + {e \ over c} A_ {i} \ right) \ delta x ^ {i} | = 0}

{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} dA_ {i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) - \ left (mcu_ {i} + {e \ over c} A_ {i} \ right) \ delta x ^ {i} | = 0}

cu $u_{i}={dx_{i} \over ds}$ ${\ displaystyle u_ {i} = {dx_ {i} \ over ds}}$ ${\ displaystyle u_ {i} = {dx_ {i} \ over ds}}$ cele cu patru trepte . Deoarece al doilea termen este nul și că:

\delta A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}\qquad dA_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}

{\ displaystyle \ delta A_ {i} = {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} \ qquad dA_ {i} = {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} dx ^ {k}}

{\ displaystyle \ delta A_ {i} = {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} \ qquad dA_ {i} = {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} dx ^ {k}}

avem:

\int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}+{e \over c}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}dx^{i}\right)=\left[mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}\left({\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\right)u^{k}\right]\delta x^{i}ds=0

{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} dx ^ {k} + {e \ over c} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} dx ^ { i} \ right) = \ left [mc {du_ {i} \ over ds} - {e \ over c} \ left ({\ frac {\ partial A_ {k}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ right) u ^ {k} \ right] \ delta x ^ {i} ds = 0}

{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} dx ^ {k} + {e \ over c} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} dx ^ { i} \ right) = \ left [mc {du_ {i} \ over ds} - {e \ over c} \ left ({\ frac {\ partial A_ {k}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ right) u ^ {k} \ right] \ delta x ^ {i} ds = 0}

unde în al doilea pas faptul că $du_{i}=(du_{i}/ds)ds$ ${\ displaystyle du_ {i} = (du_ {i} / ds) ds}$ ${\ displaystyle du_ {i} = (du_ {i} / ds) ds}$ Și $dx^{i}=du^{i}ds$ ${\ displaystyle dx ^ {i} = du ^ {i} ds}$ ${\ displaystyle dx ^ {i} = du ^ {i} ds}$ . Prin plasarea:

F_{ik}\equiv {\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}

{\ displaystyle F_ {ik} \ equiv {\ frac {\ partial A_ {k}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k} }}}

{\ displaystyle F_ {ik} \ equiv {\ frac {\ partial A_ {k}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k} }}}

avem:

mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}F_{ik}u_{k}=0

{\ displaystyle mc {du_ {i} \ over ds} - {e \ over c} F_ {ik} u_ {k} = 0}

{\ displaystyle mc {du_ {i} \ over ds} - {e \ over c} F_ {ik} u_ {k} = 0}

care este ecuația mișcării unei particule încărcate într-un câmp electromagnetic. ^[7]

În electrodinamica cuantică , Lagrangianul îl extinde pe cel clasic, iar în formă relativistă este dat de:

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \, \ gamma ^ {\ alpha} D _ {\ alpha} -mc ^ {2}) \ psi - { \ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \, \ gamma ^ {\ alpha} D _ {\ alpha} -mc ^ {2}) \ psi - { \ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta}}

încorporând crearea și anihilarea fotonilor (și electronilor).

Ecuațiile lui Maxwell în formă tensorială

Același subiect în detaliu: ecuațiile lui Maxwell .

Electromagnetismul clasic și ecuațiile lui Maxwell pot fi derivate dintr-un principiu de acțiune staționară pornind de la acțiune:

{\mathcal {S}}=\int \left(-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)\mathrm {d} ^{4}x

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int \ left (- {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} \ dreapta) \ mathrm {d} ^ {4} x}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int \ left (- {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} \ dreapta) \ mathrm {d} ^ {4} x}

unde este $\mathrm {d} ^{4}x\;$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} x \;}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} x \;}$ este setat în spațiu-timp. Aceasta înseamnă că densitatea Lagrangiană este:

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} & = - {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu } \\ & = - {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ right) \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) \\ & = - {\ tfrac {1} { 4 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} + \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} & = - {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu } \\ & = - {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ right) \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) \\ & = - {\ tfrac {1} { 4 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} + \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) \ end {align}}}

Primul și al patrulea termen sunt aceiași, deoarece $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ sunt indici muti. Restul sunt, de asemenea, aceleași și, prin urmare, Lagrangianul este:

{\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ tfrac {1} {2 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu } A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ tfrac {1} {2 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu } A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} \ right)}

Folosind ecuația Euler-Lagrange pentru un câmp avem:

\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ mu}}} = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ mu}}} = 0}

unde al doilea termen este zero, deoarece lagrangianul nu conține în mod explicit câmpurile, ci doar derivatele lor. Apoi ecuația Euler-Lagrange ia forma:

\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) = 0}

unde termenul dintre paranteze este tensorul de câmp $F^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ $F ^ {{\ mu \ nu}}$ , prin urmare:

\partial _{\nu }F^{\mu \nu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu} = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu} = 0}

Această ecuație este un alt mod de a scrie cele două ecuații Maxwell neomogene în absența surselor în vid, folosind substituții:

~E^{i}/c\ \ =-F^{0i}\qquad \varepsilon ^{ijk}B^{k}=-F^{ij}

{\ displaystyle ~ E ^ {i} / c \ \ = -F ^ {0i} \ qquad \ varepsilon ^ {ijk} B ^ {k} = - F ^ {ij}}

{\ displaystyle ~ E ^ {i} / c \ \ = -F ^ {0i} \ qquad \ varepsilon ^ {ijk} B ^ {k} = - F ^ {ij}}

unde este $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ luați valorile 1, 2 și 3. În prezența surselor, ecuațiile neomogene Maxwell sunt:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} - { \ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} - { \ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

și se reduce la: ^[8]

\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=\mu _{0}J^{\mu }

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu \ mu} = \ mu _ {0} J ^ {\ mu}}

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu \ mu} = \ mu _ {0} J ^ {\ mu}}

unde este:

J^{\nu }=(c\,\rho ,\mathbf {J} )

{\ displaystyle J ^ {\ nu} = (c \, \ rho, \ mathbf {J})}

{\ displaystyle J ^ {\ nu} = (c \, \ rho, \ mathbf {J})}

este cvadricurentul . Ecuațiile omogene:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0\qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =0

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ qquad {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf { E} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ qquad {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf { E} = 0}

în schimb, acestea sunt reduse la:

\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} F _ {\ alpha \ beta} + \ partial _ {\ alpha} F _ {\ beta \ gamma} + \ partial _ {\ beta} F _ {\ gamma \ alpha} = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} F _ {\ alpha \ beta} + \ partial _ {\ alpha} F _ {\ beta \ gamma} + \ partial _ {\ beta} F _ {\ gamma \ alpha} = 0}

Transformări ale câmpului electromagnetic

Același subiect în detaliu: transformarea Lorentz .

Când trecem de la descrierea câmpului în termeni de coordonate cu privire la un sistem inerțial $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ la aceeași descriere cu privire la un alt sistem inerțial ${K.}^{'}$ ${\ displaystyle K '}$ $K '$ , tensorul electromagnetic este transformat conform legii:

F'^{\alpha \beta }={\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}{\frac {\partial x'^{\beta }}{\partial x^{\delta }}}F^{\gamma \delta }

{\ displaystyle F '^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial x' ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} {\ frac {\ partial x '^ {\ beta }} {\ partial x ^ {\ delta}}} F ^ {\ gamma \ delta}}

{\ displaystyle F '^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial x' ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} {\ frac {\ partial x '^ {\ beta }} {\ partial x ^ {\ delta}}} F ^ {\ gamma \ delta}}

Spus $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ matricea de transformare a transformării relative Lorentz are loc într-un mod echivalent:

F'=AFA^{*}

{\ displaystyle F '= AFA ^ {*}}

{\ displaystyle F '= AFA ^ {*}}

unde asteriscul denotă matricea transpusă .

Expresiile spațiale ale câmpurilor obținute pentru o traducere a ${K.}^{'}$ ${\ displaystyle K '}$ $K '$ în comparație cu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de-a lungul axei absciselor cu viteza $c\beta$ ${\ displaystyle c \ beta}$ ${\ displaystyle c \ beta}$ Sunt:

E_{1}'=E_{1}\qquad B_{1}'=B_{1}

{\ displaystyle E_ {1} '= E_ {1} \ qquad B_ {1}' = B_ {1}}

{\ displaystyle E_ {1} '= E_ {1} \ qquad B_ {1}' = B_ {1}}

E_{2}'=\gamma (E_{2}-\beta B_{3})\qquad B_{2}'=\gamma (B_{2}+\beta E_{3})

{\ displaystyle E_ {2} '= \ gamma (E_ {2} - \ beta B_ {3}) \ qquad B_ {2}' = \ gamma (B_ {2} + \ beta E_ {3})}

{\ displaystyle E_ {2} '= \ gamma (E_ {2} - \ beta B_ {3}) \ qquad B_ {2}' = \ gamma (B_ {2} + \ beta E_ {3})}

E_{3}'=\gamma (E_{3}+\beta B_{2})\qquad B_{3}'=\gamma (B_{3}-\beta E_{2})

{\ displaystyle E_ {3} '= \ gamma (E_ {3} + \ beta B_ {2}) \ qquad B_ {3}' = \ gamma (B_ {3} - \ beta E_ {2})}

{\ displaystyle E_ {3} '= \ gamma (E_ {3} + \ beta B_ {2}) \ qquad B_ {3}' = \ gamma (B_ {3} - \ beta E_ {2})}

Pentru o transformare Lorentz generică, avem: ^[9]

\mathbf {E} '=\gamma (\mathbf {E} +{\vec {\beta }}\times \mathbf {B} )-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot \mathbf {E} )

{\ displaystyle \ mathbf {E} '= \ gamma (\ mathbf {E} + {\ vec {\ beta}} \ times \ mathbf {B}) - {\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma +1}} {\ vec {\ beta}} ({\ vec {\ beta}} \ cdot \ mathbf {E})}

{\ displaystyle \ mathbf {E} '= \ gamma (\ mathbf {E} + {\ vec {\ beta}} \ times \ mathbf {B}) - {\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma +1}} {\ vec {\ beta}} ({\ vec {\ beta}} \ cdot \ mathbf {E})}

\mathbf {B} '=\gamma (\mathbf {B} -{\vec {\beta }}\times \mathbf {E} )-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot \mathbf {B} )

{\ displaystyle \ mathbf {B} '= \ gamma (\ mathbf {B} - {\ vec {\ beta}} \ times \ mathbf {E}) - {\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma +1}} {\ vec {\ beta}} ({\ vec {\ beta}} \ cdot \ mathbf {B})}

{\ displaystyle \ mathbf {B} '= \ gamma (\ mathbf {B} - {\ vec {\ beta}} \ times \ mathbf {E}) - {\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma +1}} {\ vec {\ beta}} ({\ vec {\ beta}} \ cdot \ mathbf {B})}

Aceste expresii arată cum câmpul magnetic și câmpul electric sunt două manifestări ale aceluiași câmp, câmpul electromagnetic. În funcție de sistemul de referință, același câmp este observat diferit și este posibil să se găsească două sisteme astfel încât într-unul dintre ele câmpul să fie pur magnetic sau pur electric, în timp ce în celălalt sunt observate ambele. Cu toate acestea, nu există două sisteme în care câmpul electromagnetic este simultan electrostatic și respectiv magnetostatic.

Notă

^ Jackson , p. 556 .
^ Jackson , p. 555 .
^ Landau și Lifšic , p. 90 .
^ Mecanică clasică (ediția a doua), TWB Kibble, European Physics Series, Mc Graw Hill (Marea Britanie), 1973, ISBN 0-07-084018-0 .
^ Landau și Lifšic , p. 69 .
^ Landau și Lifšic , p. 88 .
^ Landau și Lifšic , p. 89 .
^ Jackson , p. 557 .
^ Jackson , p. 558 .

Bibliografie

( EN ) John D Jackson, Classical Electrodynamics , ed. A III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic, Theoretical Physics 2 - Field Theory , Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .

Elemente conexe

Portalul Electromagnetismului

Portalul relativității

[1] Jackson , p. 556 .

[def-2] Jackson , p. 555 .

[3] Landau și Lifšic , p. 90 .

[4] Mecanică clasică (ediția a doua), TWB Kibble, European Physics Series, Mc Graw Hill (Marea Britanie), 1973, ISBN 0-07-084018-0 .

[5] Landau și Lifšic , p. 69 .

[6] Landau și Lifšic , p. 88 .

[7] Landau și Lifšic , p. 89 .

[8] Jackson , p. 557 .

[9] Jackson , p. 558 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]