Electrodinamica clasică

În fizică, electrodinamica clasică (sau pur și simplu electrodinamica ) este teoria care descrie câmpurile electromagnetice generate de un set de sarcini electrice în mișcare , inclusiv principiile relativității speciale.

Efectele dinamice ale sarcinilor și curenților electrici au fost studiate de Pierre Simon Laplace , Michael Faraday , Heinrich Lenz și mulți alții încă de la începutul secolului al XIX-lea , totuși un studiu coerent și logic complet al fenomenelor electromagnetice poate fi realizat doar pornind de la teoria de relativitate.

Descriere

Electrodinamica clasică folosește formalismul tensorial și cu patru vectori pentru a scrie ecuațiile lui Maxwell în formă covariantă pentru transformările Lorentz , introducând un potențial de patru care extinde potențialul scalar și vectorial al cazului staționar: în acest fel sarcinile și curenții electrici sunt descriși de cei patru -densitatea curentului vectorial $j^{\mu }$ ${\ displaystyle j ^ {\ mu}}$ $j ^ {\ mu}$ unde partea „temporală” a celor patru vectori este jucată de densitatea sarcinii (înmulțită cu viteza luminii c) și partea „spațială” de densitatea curentului electric.

Potențialele au în mod similar: un potențial cu patru $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {{\ mu}}$ constă dintr-o parte spațială dată de potențialul vectorial (relativ la câmpul magnetic ) și o parte temporală de potențialul scalar (al câmpului electric ).

Ecuația fundamentală pe care o respectă quadripotențialul (în gabaritul Lorenz $\partial _{\nu }A^{\nu }=0$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ nu} A ^ {\ nu} = 0}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ nu} A ^ {\ nu} = 0}$ ) Și:

\Box A^{\mu }=\partial ^{\lambda }\partial _{\lambda }A^{\mu }=-\mu _{0}j^{\mu }

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = \ partial ^ {\ lambda} \ partial _ {\ lambda} A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = \ partial ^ {\ lambda} \ partial _ {\ lambda} A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

scris, de asemenea, explicând operatorul D'Alembertiano :

{\frac {\partial ^{2}A^{\mu }}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A^{\mu }}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A^{\mu }}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{\mu }}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}j^{\mu }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}} } {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}} } {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

Pentru liniaritatea ecuației, soluțiile posibile pentru patru-potențial sunt suma soluțiilor posibile ale ecuației omogene (soluțiile de undă) plus o soluție specială care nu se încadrează în cele anterioare (potențiale întârziate).

Pentru a găsi, atunci, o anumită soluție, se pot folosi funcțiile lui Green , transformata Fourier și proprietățile distribuției delta Dirac .

Găsiți doar o funcție $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe care o satisfaci

(1)\quad \Box _{x}G(x-x')=\delta (x-x')

{\ displaystyle (1) \ quad \ Box _ {x} G (x-x ') = \ delta (x-x')}

{\ displaystyle (1) \ quad \ Box _ {x} G (x-x ') = \ delta (x-x')}

unde este $x=(ct,\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle x = (ct, \ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle x = (ct, \ mathbf {x})}$ Și $x'=(ct',\mathbf {x'} )$ ${\ displaystyle x '= (ct', \ mathbf {x '})}$ ${\ displaystyle x '= (ct', \ mathbf {x '})}$ sunt cu patru vectori și cuadripotențial $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {{\ mu}}$ căutat va fi dat de:

(2)\quad A^{\mu }=-\mu _{0}\int d^{4}x'G(x-x')j^{\mu }(x')

{\ displaystyle (2) \ quad A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} \ int d ^ {4} x'G (x-x ') j ^ {\ mu} (x')}

{\ displaystyle (2) \ quad A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} \ int d ^ {4} x'G (x-x ') j ^ {\ mu} (x')}

de fapt, prin aplicarea operatorului $\Box _{x}$ ${\ displaystyle \ Box _ {x}}$ ${\ displaystyle \ Box _ {x}}$ la $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ avem:

\quad \Box _{x}A^{\mu }=-\mu _{0}\int d^{4}x'\Box _{x}G(x-x')j^{\mu }(x')=-\mu _{0}\int d^{4}x'\delta (x-x')j^{\mu }(x')=-\mu _{0}j^{\mu }(x)

{\ displaystyle \ quad \ Box _ {x} A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} \ int d ^ {4} x '\ Box _ {x} G (x-x') j ^ { \ mu} (x ') = - \ mu _ {0} \ int d ^ {4} x' \ delta (xx ') j ^ {\ mu} (x') = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu} (x)}

{\ displaystyle \ quad \ Box _ {x} A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} \ int d ^ {4} x '\ Box _ {x} G (x-x') j ^ { \ mu} (x ') = - \ mu _ {0} \ int d ^ {4} x' \ delta (xx ') j ^ {\ mu} (x') = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu} (x)}

in aceea $\Box _{x}$ ${\ displaystyle \ Box _ {x}}$ ${\ displaystyle \ Box _ {x}}$ nu acționează după $X^{'}$ ${\ displaystyle x '}$ $X '$ și poate trece sub semnul integral.

Luând transformata Fourier a ambelor părți ale $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ avem asta ${\tilde {G}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$ (care este transformarea $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ) trebuie să satisfacă:

{\tilde {G}}=-{\frac {1}{k^{\mu }k_{\mu }}}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} = - {\ frac {1} {k ^ {\ mu} k _ {\ mu}}}}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} = - {\ frac {1} {k ^ {\ mu} k _ {\ mu}}}}

și aplicarea antitransformei Fourier (de asemenea impunătoare $G(x-x')=0$ ${\ displaystyle G (x-x ') = 0}$ ${\ displaystyle G (x-x ') = 0}$ pentru momente de timp $t<t'$ ${\ displaystyle t <t '}$ $t <t '$ ):

G(x-x')={\frac {\delta (t-t'-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}{c}})}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}

{\ displaystyle G (x-x ') = {\ frac {\ delta (t-t' - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |} {c}})} {4 \ pi | \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}}}

{\ displaystyle G (x-x ') = {\ frac {\ delta (t-t' - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |} {c}})} {4 \ pi | \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}}}

În cele din urmă, quadripotentilul devine:

A^{\mu }(\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{4}x'{\frac {j^{\mu }(x')\delta (t-t'-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}{c}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} {\frac {j^{\mu }(\mathbf {x'} ,t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}{c}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}.

{\ displaystyle A ^ {\ mu} (\ mathbf {x}, t) = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int d ^ {4} x '{\ frac { j ^ {\ mu} (x ') \ delta (tt' - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |} {c}})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int d ^ {3} \ mathbf {x'} {\ frac {j ^ {\ mu} (\ mathbf {x '}, t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} |} {c}}) {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} | }}.}

{\ displaystyle A ^ {\ mu} (\ mathbf {x}, t) = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int d ^ {4} x '{\ frac { j ^ {\ mu} (x ') \ delta (tt' - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |} {c}})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int d ^ {3} \ mathbf {x'} {\ frac {j ^ {\ mu} (\ mathbf {x '}, t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} |} {c}}) {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} | }}.}

Astfel, potențialul $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {{\ mu}}$ , în clipa de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , va fi determinată de curentul cvadruplu, în momentul respectiv $t'=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}{c}})$ ${\ displaystyle t '= t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} |} {c}})}$ ${\ displaystyle t '= t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} |} {c}})}$ , deoarece interacțiunea electromagnetică se propagă cu o viteză finită egală cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ (de aici și numele de potențial retardat).

Este posibil să scrieți un tensor de câmp electromagnetic dublu $F^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ $F ^ {{\ mu \ nu}}$ definite folosind cele patru potențiale A :

$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}}$

În acest tensor componentele spațiale sunt date de câmpul magnetic, cele temporale de câmpul electric. Cele patru ecuații Maxwell pot fi rescrise folosind acest tensor și dualul său.

Cele două ecuații vectoriale neomogene se rezumă la:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {4 \ pi} {c}} j ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {4 \ pi} {c}} j ^ {\ nu}}$

în timp ce ecuațiile omogene Maxwell sunt scrise:

$\partial _{\mu }^{*}F^{\mu \nu }=0$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} ^ {*} F ^ {\ mu \ nu} = 0}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} ^ {*} F ^ {\ mu \ nu} = 0}$

unde este $*F^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle * F ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle * F ^ {\ mu \ nu}}$ reprezintă dualul tensorului câmpului electromagnetic.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre electrodinamica clasică

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85042135 · GND (DE) 4014251-6

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica