Efect geodezic

O reprezentare a efectului geodezic

Efectul geodezic (cunoscut și sub numele de precesiune geodezică , precesiune de Sitter sau efect de Sitter ) reprezintă efectul curburii spațiu-timp , prezis de relativitatea generală , asupra unui vector purtat cu un corp orbitant. De exemplu, vectorul ar putea fi impulsul unghiular al unui giroscop care orbitează Pământul, ca în experimentul Gravity Probe B. Efectul geodezic a fost prezis pentru prima dată de Willem de Sitter în 1916, care a furnizat corecții relativiste pentru mișcarea sistemului Pământ-Lună. Opera lui De Sitter a fost extinsă în 1918 de Jan Schouten și în 1920 de Adriaan Fokker . ^[1]

Poate fi aplicat și unei precesiuni seculare particulare de orbite astronomice, echivalentă cu rotația vectorului Laplace-Runge-Lenz . ^[2]

Termenul de efect geodezic are două semnificații ușor diferite, în funcție de faptul dacă corpul în mișcare se rotește sau nu. Corpurile care nu se rotesc se mișcă în geodezie, unde corpurile care se rotesc se mișcă pe orbite ușor diferite. ^[3]

Diferența dintre precesiunea de Sitter și precesiunea Lense-Thirring ( glisare cadru ) este că prima se datorează pur și simplu prezenței unei mase centrale, în timp ce cea din urmă este cauzată de rotația acesteia din urmă. Precesiunea generală este calculată prin combinarea precesiei de Sitter cu precesiunea Lens-Thirring.

Precesiunea de Sitter constă în efectul cinematic numit precesiune Thomas combinat cu un efect geometric cauzat de spațiu-timp curbat gravitațional. ^[4]

Confirmare experimentală

Efectul geodezic a fost verificat cu o precizie mai bună de 0,5% de către Gravity Probe B , un experiment care măsoară înclinația axei de rotație a giroscopilor care orbitează Pământul. ^[5] Primele rezultate au fost făcute publice pe 14 aprilie 2007 la reuniunea Societății de Fizică din SUA . ^[6]

Formule

Pentru a obține precesiunea, presupunem că sistemul se află într-o metrică rotativă Schwarzschild . Metrica care nu se rotește este

{\boldsymbol {ds}}^{2}=(1-{\frac {2m}{r}})dt^{2}-(1-{\frac {2m}{r}})^{-1}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi '^{2}),

{\ displaystyle {\ boldsymbol {ds}} ^ {2} = (1 - {\ frac {2m} {r}}) dt ^ {2} - (1 - {\ frac {2m} {r}}) ^ {-1} dr ^ {2} -r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi '^ {2}),}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {ds}} ^ {2} = (1 - {\ frac {2m} {r}}) dt ^ {2} - (1 - {\ frac {2m} {r}}) ^ {-1} dr ^ {2} -r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi '^ {2}),}

unde c = 1.

Introducem un sistem de coordonate rotativ, cu o viteză unghiulară $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , astfel încât un satelit pe o orbită circulară în planul θ = π / 2 să rămână în repaus. Acest lucru ne dă

d\phi =d\phi '-\omega dt{\frac {}{}}.

{\ displaystyle d \ phi = d \ phi '- \ omega dt {\ frac {} {}}.}

{\ displaystyle d \ phi = d \ phi '- \ omega dt {\ frac {} {}}.}

În acest sistem de coordonate, un observator în poziție radial r observă un vector poziționat în r care se rotește cu frecvența unghiulară ω. Totuși, acest observator vede un vector poziționat într-o altă valoare a lui r ca rotire cu o rată diferită, datorită dilatării timpului relativist. Prin transformarea metricei Schwarzschild în sistem rotativ și presupunând că $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este o constantă, găsim

{\boldsymbol {ds}}^{2}=(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2})(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}}}d\phi )^{2}-(1-{\frac {2m}{r}})^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}}}d\phi ^{2}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {ds}} ^ {2} = (1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}) (dt - {\ frac { r ^ {2} \ beta \ omega} {1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}}} d \ phi) ^ {2} - (1 - {\ frac {2m} {r}}) ^ {- 1} dr ^ {2} - {\ frac {r ^ {2} \ beta -2mr \ beta} {1 - {\ frac {2m} {r }} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}}} d \ phi ^ {2}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {ds}} ^ {2} = (1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}) (dt - {\ frac { r ^ {2} \ beta \ omega} {1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}}} d \ phi) ^ {2} - (1 - {\ frac {2m} {r}}) ^ {- 1} dr ^ {2} - {\ frac {r ^ {2} \ beta -2mr \ beta} {1 - {\ frac {2m} {r }} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}}} d \ phi ^ {2}}

cu $\beta =\sin(\theta )^{2}$ ${\ displaystyle \ beta = \ sin (\ theta) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ beta = \ sin (\ theta) ^ {2}}$ . Pentru un corp care orbitează în plan θ = π / 2, vom avea β = 1, iar linia universală a corpului va păstra constant coordonatele spațiale constante. Acum, metrica este sub forma canonică

{\boldsymbol {ds}}^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}dx^{i}dx^{j}.

{\ displaystyle {\ boldsymbol {ds}} ^ {2} = e ^ {2 \ Phi} \ left (dt-w_ {i} dx ^ {i} \ right) ^ {2} -k_ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}.}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {ds}} ^ {2} = e ^ {2 \ Phi} \ left (dt-w_ {i} dx ^ {i} \ right) ^ {2} -k_ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}.}

Din această formă canonică, se poate determina cu ușurință rata de rotație a unui giroscop în timp util

\Omega ={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} e ^ {\ Phi} [k ^ {ik} k ^ {jl} (\ omega _ {i, j} - \ omega _ {j, i}) (\ omega _ {k, l} - \ omega _ {l, k})] ^ {1/2} = {\ frac {{\ sqrt {\ beta}} \ omega (r- 3m)} {r-2m- \ beta \ omega ^ {2} r ^ {3}}} = {\ sqrt {\ beta}} \ omega.}

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} e ^ {\ Phi} [k ^ {ik} k ^ {jl} (\ omega _ {i, j} - \ omega _ {j, i}) (\ omega _ {k, l} - \ omega _ {l, k})] ^ {1/2} = {\ frac {{\ sqrt {\ beta}} \ omega (r- 3m)} {r-2m- \ beta \ omega ^ {2} r ^ {3}}} = {\ sqrt {\ beta}} \ omega.}

unde această din urmă egalitate este adevărată numai pentru observatorii în cădere liberă pentru care nu există accelerare și, prin urmare $\Phi ,_{i}=0$ ${\ displaystyle \ Phi, _ {i} = 0}$ ${\ displaystyle \ Phi, _ {i} = 0}$ . Asta duce la

\Phi ,_{i}={\frac {{\frac {2m}{r^{2}}}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.

{\ displaystyle \ Phi, _ {i} = {\ frac {{\ frac {2m} {r ^ {2}}} - 2r \ beta \ omega ^ {2}} {2 (1 - {\ frac {2m } {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2})}} = 0.}

{\ displaystyle \ Phi, _ {i} = {\ frac {{\ frac {2m} {r ^ {2}}} - 2r \ beta \ omega ^ {2}} {2 (1 - {\ frac {2m } {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2})}} = 0.}

De aici, îl obținem $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ ,

\omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.

{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {m} {r ^ {3} \ beta}}.}

{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {m} {r ^ {3} \ beta}}.}

Aceasta este în esență legea Kepler a perioadelor , care este relativistic exactă atunci când este exprimată în termeni de coordonate de timp t ale acestui sistem de coordonate rotativ particular. În sistemul rotativ, satelitul rămâne în repaus, dar un observator la bord observă vectorul momentului unghiular al giroscopului în precesiune la viteza ( viteza ) ω. Acest observator vede, de asemenea, stele îndepărtate rotindu-se, dar cu o viteză ușor diferită din cauza dilatării timpului. Să presupunem că τ este momentul adecvat al giroscopului. Asa de

\Delta \tau =(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2})^{1/2}dt=(1-{\frac {3m}{r}})^{1/2}dt.

{\ displaystyle \ Delta \ tau = (1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}) ^ {1/2} dt = (1 - {\ frac {3m} {r}}) ^ {1/2} dt.}

{\ displaystyle \ Delta \ tau = (1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}) ^ {1/2} dt = (1 - {\ frac {3m} {r}}) ^ {1/2} dt.}

Termenul -2 m / r este interpretat ca dilatație gravitațională a timpului , în timp ce - m / r suplimentar se datorează rotației acestui cadru de referință. Să presupunem că α 'este precesiunea acumulată în sistemul rotativ. De cand $\alpha '=\Omega \Delta \tau$ ${\ displaystyle \ alpha '= \ Omega \ Delta \ tau}$ ${\ displaystyle \ alpha '= \ Omega \ Delta \ tau}$ , precesiunea în timpul unei orbite, în raport cu stelele îndepărtate, este dată de:

\alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}(1-{\frac {3m}{r}})^{1/2}-1{\Bigg )}.

{\ displaystyle \ alpha = \ alpha '+2 \ pi = -2 \ pi {\ sqrt {\ beta}} {\ Bigg (} (1 - {\ frac {3m} {r}}) ^ {1/2 } -1 {\ Bigg)}.}

{\ displaystyle \ alpha = \ alpha '+2 \ pi = -2 \ pi {\ sqrt {\ beta}} {\ Bigg (} (1 - {\ frac {3m} {r}}) ^ {1/2 } -1 {\ Bigg)}.}

Cu o primă serie de ordine Taylor , găsim

\alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).

{\ displaystyle \ alpha \ approx {\ frac {3 \ pi m} {r}} {\ sqrt {\ beta}} = {\ frac {3 \ pi m} {r}} \ sin (\ theta).}

{\ displaystyle \ alpha \ approx {\ frac {3 \ pi m} {r}} {\ sqrt {\ beta}} = {\ frac {3 \ pi m} {r}} \ sin (\ theta).}

Notă

^ (EN) Jean Eisenstaedt, Anne J. Kox, Studies in the History of General Relativity , Birkhäuser, 1988, p. 42, ISBN 0-8176-3479-7 .
^ (EN) W. de Sitter Despre teoria gravitației a lui Einstein și consecințele sale astronomice, în luni. Nu. Roy. Astron. Soc., Voi. 77, 1916, pp. 155–184.
^ Rindler, p. 254
^ Rindler, p. 234
^ (EN) Everitt, CWF, Parkinson, BW, Gravity Probe B Science Results-NASA Final Report (PDF) on einstein.stanford.edu, 2009. Accesat la 2 mai 2009.
^ (EN) Stanford News (PDF) pe einstein.stanford.edu. Adus la 11 mai 2010 .

Bibliografie

( EN ) Wolfgang Rindler (2006) Relativitate: specială, generală și cosmologică (Ediția a II-a), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8

Elemente conexe

Efect de antrenare (glisare cadru)

linkuri externe

( EN ) Site-ul web Gravity Probe B , pe gravityprobeb.com .
( EN ) Precesiunea în spațiul curbat „Efectul geodezic” , pe science.nasa.gov . Adus la 11 mai 2010 (arhivat din original la 10 mai 2008) .
(EN) Efect geodezic pe sciencepal.blogspot.com.

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

[Eisenstaedt-1] (EN) Jean Eisenstaedt, Anne J. Kox, Studies in the History of General Relativity , Birkhäuser, 1988, p. 42, ISBN 0-8176-3479-7 .

[2] (EN) W. de Sitter Despre teoria gravitației a lui Einstein și consecințele sale astronomice, în luni. Nu. Roy. Astron. Soc., Voi. 77, 1916, pp. 155–184.

[3] Rindler, p. 254

[4] Rindler, p. 234

[5] (EN) Everitt, CWF, Parkinson, BW, Gravity Probe B Science Results-NASA Final Report (PDF) on einstein.stanford.edu, 2009. Accesat la 2 mai 2009.

[6] (EN) Stanford News (PDF) pe einstein.stanford.edu. Adus la 11 mai 2010 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Relativitatea generală
Ecuații de câmp Einstein · Formulare matematică · Resurse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$ $G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T _ {\ mu \ nu}$
Concepte fundamentale	Relativitate specială · Principiul echivalenței · Linia universului · Geometrie Riemann
Fenomene	Problema Kepler · Obiective · Waves · -cadru glisarea · efect geodezic · Event Horizon · Singularity · Black Hole
Ecuații	Gravitația liniarizată · Formalism post-newtonian · Ecuații de câmp ale lui Einstein · Ecuații Friedmann · Formalism ADM · BSSN formalism
Teorii avansate	Kaluza-Klein · Gravitatea cuantică
Soluții	Schwarzschild · Reissner-Nordström · Gödel · Kerr · Kerr-Newman · Kasner · Taub-NUT · Milne · Robertson-Walker · Waves pp
Oamenii de știință	Einstein · Minkowski · Eddington · Lemaître · Schwarzschild · Robertson · Kerr · Friedman · Chandrasekhar · Hawking