Teoria Hamilton-Jacobi

În mecanica analitică , teoria Hamilton-Jacobi , al cărei nume se datorează lui William Rowan Hamilton și Carl Jacobi , este o teorie care, exploatând rezultatele calculului variațional , este utilizată la determinarea constantelor de mișcare ale unui sistem dinamic .

În special, această teorie studiază soluția ecuațiilor lui Hamilton , căutând o funcție generatoare adecvată care să determine o transformare canonică astfel încât, în noile coordonate , hamiltonienul sistemului să fie zero.

Ecuația Hamilton - Jacobi

Ecuația Hamilton-Jacobi este o „ ecuație diferențială parțială nu este liniară de ordinul întâi, care are forma: ^[1]

{\mathcal {H}}+{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}=0

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} = 0}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} = 0}

Functia:

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}\left(q_{i},{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}}},t\right)_{i=1,\dots ,n}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} \ left (q_ {i}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}}, t \ right) _ {i = 1, \ dots, n}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} \ left (q_ {i}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}}, t \ right) _ {i = 1, \ dots, n}}

este Hamiltonianul clasic al sistemului, în timp ce:

{\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(q_{i},t)_{i=1,\dots ,n}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {S}} (q_ {i}, t) _ {i = 1, \ dots, n}}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {S}} (q_ {i}, t) _ {i = 1, \ dots, n}}

se numește funcția principală a lui Hamilton , care, dacă nu este o constantă arbitrară, este echivalentă cu acțiunea . Funcții $\mathbf {q} =(q_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ sunt coordonatele generalizate care definesc spațiul de configurare al sistemului, în timp ce $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este parametrul de timp.

Această ecuație este obținută din mecanica hamiltoniană prin tratare ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ ca funcție generatoare a unei transformări canonice a hamiltonianului clasic:

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q_{i},p_{i},t)_{i=1,\dots ,n}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} (q_ {i}, p_ {i}, t) _ {i = 1, \ dots, n}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} (q_ {i}, p_ {i}, t) _ {i = 1, \ dots, n}}

.

Momentele liniare conjugate sunt definite ca:

p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\iff \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ iff \ mathbf {p} = {\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}}}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ iff \ mathbf {p} = {\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}}}

unde este $\mathbf {p} =(p_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ .

Funcția principală a lui Hamilton conține $2N+1$ ${\ displaystyle 2N + 1}$ ${\ displaystyle 2N + 1}$ constante de determinat, dintre care $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ obținută prin integrare $\partial {\mathcal {S}}/\partial t$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {S}} / \ partial t}$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {S}} / \ partial t}$ iar restul notat cu $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n}}$ , prin urmare, avem că cantitățile:

\beta _{k}={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \alpha _{k}}}\quad k=1,2\cdots n

{\ displaystyle \ beta _ {k} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ alpha _ {k}}} \ quad k = 1,2 \ cdots n}

{\ displaystyle \ beta _ {k} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ alpha _ {k}}} \ quad k = 1,2 \ cdots n}

sunt constante de mișcare . ^[2]

Derivare

Același subiect în detaliu: Transformarea canonică și ecuațiile lui Hamilton .

O transformare canonică definită printr-o funcție generatoare $G(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ ${\ displaystyle G (\ mathbf {q}, \ mathbf {P}, t)}$ ${\ displaystyle G (\ mathbf {q}, \ mathbf {P}, t)}$ duce la următoarele relații:

\mathbf {p} ={\partial G \over \partial \mathbf {q} }\qquad \mathbf {Q} ={\partial G \over \partial \mathbf {P} }\qquad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G \over \partial t}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ partial G \ over \ partial \ mathbf {q}} \ qquad \ mathbf {Q} = {\ partial G \ over \ partial \ mathbf {P}} \ qquad K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ partial G \ over \ partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ partial G \ over \ partial \ mathbf {q}} \ qquad \ mathbf {Q} = {\ partial G \ over \ partial \ mathbf {P}} \ qquad K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ partial G \ over \ partial t}}

Ecuațiile lui Hamilton exprimate prin intermediul variabilelor canonice $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ mathbf {P}$ Și $\mathbf {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ $\ mathbf {Q}$ au forma:

{d\mathbf {P}  \over dt}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} }\qquad {d\mathbf {Q}  \over dt}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }

{\ displaystyle {d \ mathbf {P} \ over dt} = - {\ partial K \ over \ partial \ mathbf {Q}} \ qquad {d \ mathbf {Q} \ over dt} = + {\ partial K \ peste \ partial \ mathbf {P}}}

{\ displaystyle {d \ mathbf {P} \ over dt} = - {\ partial K \ over \ partial \ mathbf {Q}} \ qquad {d \ mathbf {Q} \ over dt} = + {\ partial K \ peste \ partial \ mathbf {P}}}

Ecuațiile Hamilton - Jacobi sunt obținute prin alegerea unei funcții generatoare $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ ${\ displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, \ mathbf {P}, t)}$ ${\ displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, \ mathbf {P}, t)}$ care anulează funcția $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . În consecință, derivatele trebuie să fie zero și ecuațiile lui Hamilton au forma:

{d\mathbf {P}  \over dt}={d\mathbf {Q}  \over dt}=0

{\ displaystyle {d \ mathbf {P} \ over dt} = {d \ mathbf {Q} \ over dt} = 0}

{\ displaystyle {d \ mathbf {P} \ over dt} = {d \ mathbf {Q} \ over dt} = 0}

Coordonatele generalizate introduse și momentele respective sunt constante ale mișcării. Impunând că funcția generatoare este principala funcție Hamilton adăugată la o constantă arbitrară:

G(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+A

{\ displaystyle G (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ alpha}}, t) = {\ mathcal {S}} (\ mathbf {q}, t) + A}

{\ displaystyle G (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ alpha}}, t) = {\ mathcal {S}} (\ mathbf {q}, t) + A}

ajungem la ecuațiile Hamilton - Jacobi, deoarece:

\mathbf {p} ={\frac {\partial G}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial G} {\ partial \ mathbf {q}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ mathbf {q} }}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial G} {\ partial \ mathbf {q}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ mathbf {q} }}}

de la care:

{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G \over \partial t}=0

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ partial G \ over \ partial t} = 0}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ partial G \ over \ partial t} = 0}

Așadar:

{\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial {\mathcal {S}} \over \partial t}=0

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ left (\ mathbf {q}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ mathbf {q}}}, t \ right) + { \ partial {\ mathcal {S}} \ over \ partial t} = 0}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ left (\ mathbf {q}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ mathbf {q}}}, t \ right) + { \ partial {\ mathcal {S}} \ over \ partial t} = 0}

În mod echivalent, funcția principală a lui Hamilton este definită după cum urmează:

{\mathcal {S}}\left((q,t)|_{t_{1},t_{2}}\right)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}(\tau ){\frac {dq_{i}(\tau )}{d\tau }}-{\mathcal {H}}(q(\tau ),p(\tau ),\tau )\right)\ d\tau

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left ((q, t) | _ {t_ {1}, t_ {2}} \ right) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2} } \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (\ tau) {\ frac {dq_ {i} (\ tau)} {d \ tau}} - {\ mathcal {H} } (q (\ tau), p (\ tau), \ tau) \ right) \ d \ tau}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left ((q, t) | _ {t_ {1}, t_ {2}} \ right) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2} } \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (\ tau) {\ frac {dq_ {i} (\ tau)} {d \ tau}} - {\ mathcal {H} } (q (\ tau), p (\ tau), \ tau) \ right) \ d \ tau}

Soluția acestei integrale este posibilă prin cunoașterea ecuației de mișcare a sistemului. Dacă doriți să calculați integralul luând în considerare o deplasare virtuală a coordonatelor $\delta q$ ${\ displaystyle \ delta q}$ ${\ displaystyle \ delta q}$ pentru o variație virtuală a timpului $\delta t$ ${\ displaystyle \ delta t}$ $\ delta t$ , aceasta corespunde unei variații:

\delta {\mathcal {S}}\left((q,t)|_{t_{1},t_{2}}\right)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}(t_{2})\delta q_{i}(t_{2})-{\mathcal {H}}(q(t_{2}),p(t_{2}),t_{2})\ \delta t_{2}-\sum _{i=1}^{n}p_{i}(t_{1})\delta q_{i}(t_{1})+{\mathcal {H}}(q(t_{1}),p(t_{1}),t_{1})\ \delta t_{1}=0

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} \ left ((q, t) | _ {t_ {1}, t_ {2}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (t_ {2}) \ delta q_ {i} (t_ {2}) - {\ mathcal {H}} (q (t_ {2}), p (t_ {2}), t_ {2} ) \ \ delta t_ {2} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (t_ {1}) \ delta q_ {i} (t_ {1}) + {\ mathcal {H} } (q (t_ {1}), p (t_ {1}), t_ {1}) \ \ delta t_ {1} = 0}

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} \ left ((q, t) | _ {t_ {1}, t_ {2}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (t_ {2}) \ delta q_ {i} (t_ {2}) - {\ mathcal {H}} (q (t_ {2}), p (t_ {2}), t_ {2} ) \ \ delta t_ {2} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (t_ {1}) \ delta q_ {i} (t_ {1}) + {\ mathcal {H} } (q (t_ {1}), p (t_ {1}), t_ {1}) \ \ delta t_ {1} = 0}

Conform principiului variațional al lui Hamilton , această variație trebuie să fie zero pentru ca acțiunea să fie staționară. Știind că ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ este o funcție a $(q_{i}(t_{1}),t_{1}),(q_{i}(t_{2}),t_{2})$ ${\ displaystyle (q_ {i} (t_ {1}), t_ {1}), (q_ {i} (t_ {2}), t_ {2})}$ ${\ displaystyle (q_ {i} (t_ {1}), t_ {1}), (q_ {i} (t_ {2}), t_ {2})}$ și, prin urmare, variația sa este, de asemenea, egală cu:

\delta {\mathcal {S}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}(t_{2})}}\delta q_{i}(t_{2})+{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t_{2}}}\delta t_{2}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}(t_{1})}}\delta q_{i}(t_{1})+{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t_{1}}}\delta t_{1}=0

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i} (t_ {2 })}} \ delta q_ {i} (t_ {2}) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t_ {2}}} \ delta t_ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i} (t_ {1})}} \ delta q_ {i} (t_ {1}) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t_ {1}}} \ delta t_ {1} = 0}

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i} (t_ {2 })}} \ delta q_ {i} (t_ {2}) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t_ {2}}} \ delta t_ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i} (t_ {1})}} \ delta q_ {i} (t_ {1}) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t_ {1}}} \ delta t_ {1} = 0}

Cele două expresii dintre două momente de timp pot fi echivalate termen cu termen $t,t_{0}$ ${\ displaystyle t, t_ {0}}$ ${\ displaystyle t, t_ {0}}$ , obținând ecuațiile Hamilton-Jacobi:

{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}}}=p_{i}\qquad {\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}(t_{0})}}=-p_{i}(t_{0})

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} = p_ {i} \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i} (t_ {0})}} = - p_ {i} (t_ {0})}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} = p_ {i} \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i} (t_ {0})}} = - p_ {i} (t_ {0})}

{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}=-{\mathcal {H}}(q_{i}(t),p_{i}(t),t)\qquad {\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t_{0}}}={\mathcal {H}}(q_{i}(t_{0}),p_{i}(t_{0}),t_{0})

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} = - {\ mathcal {H}} (q_ {i} (t), p_ {i} (t), t ) \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t_ {0}}} = {\ mathcal {H}} (q_ {i} (t_ {0}), p_ {i} (t_ {0}), t_ {0})}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} = - {\ mathcal {H}} (q_ {i} (t), p_ {i} (t), t ) \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t_ {0}}} = {\ mathcal {H}} (q_ {i} (t_ {0}), p_ {i} (t_ {0}), t_ {0})}

Funcția principală a lui Hamilton

Același subiect în detaliu: Acțiune (fizică) .

Forma diferențială 1 asociată cu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și:

\mathrm {d} {\mathcal {S}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

și, prin urmare, derivatul total este dat de:

{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {S}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}={\mathcal {L}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {S}}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} = \ sum _ {i} p_ { i} {\ dot {q}} _ {i} - {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {L}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {S}}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} = \ sum _ {i} p_ { i} {\ dot {q}} _ {i} - {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {L}}}

Prin urmare, avem:

{\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t}

Înțelegi asta $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este acțiunea clasică plus o constantă de determinat. De sine ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ nu depinde în mod explicit de timp:

{\mathcal {P}}={\mathcal {S}}+{\mathcal {H}}\cdot t=\int ({\mathcal {L}}+{\mathcal {H}})\,\mathrm {d} t=\int \mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ mathcal {S}} + {\ mathcal {H}} \ cdot t = \ int ({\ mathcal {L}} + {\ mathcal {H}}) \ , \ mathrm {d} t = \ int \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q}}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ mathcal {S}} + {\ mathcal {H}} \ cdot t = \ int ({\ mathcal {L}} + {\ mathcal {H}}) \ , \ mathrm {d} t = \ int \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q}}

și dacă da ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ este echivalent cu acțiunea redusă.

Funcția caracteristică a lui Hamilton

Dacă hamiltonianul nu depinde în mod explicit de timp, ecuația Hamilton-Jacobi poate fi împărțită în două părți:

{\mathcal {H}}\left(q_{i},{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}=0

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ left (q_ {i}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} = 0}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ left (q_ {i}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}} = 0}

În prima parte există doar dependența de variabilă $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , în timp ce în a doua există doar dependență de timp. Soluția are apoi forma:

{\mathcal {S}}\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)=W\left(q_{i},{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{1}}}t

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left (q_ {i}, {\ frac {\ partial S} {\ partial q_ {i}}}, t \ right) = W \ left (q_ {i}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {1}}} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left (q_ {i}, {\ frac {\ partial S} {\ partial q_ {i}}}, t \ right) = W \ left (q_ {i}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {1}}} t}

unde este:

p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{i}}}=c_{i}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} = c_ {i}}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {i}}} = c_ {i}}

cu $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ $Acolo}$ constant. Functia $W(q_{i},c_{i},t)$ ${\ displaystyle W (q_ {i}, c_ {i}, t)}$ ${\ displaystyle W (q_ {i}, c_ {i}, t)}$ se numește funcția caracteristică Hamilton .

Derivata parțială :

{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial q_{1}}}=c_{1}={\mathcal {H}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {1}}} = c_ {1} = {\ mathcal {H}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial q_ {1}}} = c_ {1} = {\ mathcal {H}}}

este egal cu hamiltonienul ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . În acest caz, ecuațiile mișcării devin:

{\begin{aligned}&{\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}=c_{i}\\&{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {Q}} _ {i} = {\ frac {\ partial K} {\ partial P_ {i}}} = c_ {i} \\ & {\ dot {P}} _ {i} = - {\ frac {\ partial K} {\ partial Q_ {i}}} = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {Q}} _ {i} = {\ frac {\ partial K} {\ partial P_ {i}}} = c_ {i} \\ & {\ dot {P}} _ {i} = - {\ frac {\ partial K} {\ partial Q_ {i}}} = 0 \ end {align}}}

ale căror soluții nu sunt constante:

Q_{i}=c_{i}t+d_{i}\qquad P_{i}=e_{i}

{\ displaystyle Q_ {i} = c_ {i} t + d_ {i} \ qquad P_ {i} = e_ {i}}

{\ displaystyle Q_ {i} = c_ {i} t + d_ {i} \ qquad P_ {i} = e_ {i}}

cu $d_{i},e_{i}$ ${\ displaystyle d_ {i}, e_ {i}}$ ${\ displaystyle d_ {i}, e_ {i}}$ condiții inițiale.

Variabile unghi de acțiune și mișcări periodice

Într-un sistem mecanic, prezența mișcărilor periodice poate fi verificată pentru coordonatele luate individual. O condiție restrictivă (dar destul de convenabilă) pentru ca acest lucru să se întâmple este aceea că, în timpul mișcării, coordonatele nu se „deranjează” reciproc, deci se presupune că ecuațiile lui Hamilton nu sunt cuplate, iar Hamiltonianul poate fi exprimat ca o sumă de termeni funcții ale o singură pereche de coordonate și momente:

{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}{\mathcal {H}}_{i}(q_{i},p_{i})

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) = \ sum _ {i} {\ mathcal {H}} _ {i} (q_ {i}, p_ {i })}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) = \ sum _ {i} {\ mathcal {H}} _ {i} (q_ {i}, p_ {i })}

care în acest caz poate fi exprimat cu funcția caracteristică a lui Hamilton, care la rândul său trebuie să fie separabilă într-o sumă analogă:

W(\mathbf {q} ,\nabla _{\mathbf {q} }S)=\sum _{i}W_{i}(q_{i},S_{q_{i}})

{\ displaystyle W (\ mathbf {q}, \ nabla _ {\ mathbf {q}} S) = \ sum _ {i} W_ {i} (q_ {i}, S_ {q_ {i}})}

{\ displaystyle W (\ mathbf {q}, \ nabla _ {\ mathbf {q}} S) = \ sum _ {i} W_ {i} (q_ {i}, S_ {q_ {i}})}

de aceea rezultă:

{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\nabla _{\mathbf {q} }S)=\sum _{i}{\mathcal {H}}_{i}(q_{i},S_{q_{i}})=c_{1}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ nabla _ {\ mathbf {q}} S) = \ sum _ {i} {\ mathcal {H}} _ {i} (q_ { i}, S_ {q_ {i}}) = c_ {1}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ nabla _ {\ mathbf {q}} S) = \ sum _ {i} {\ mathcal {H}} _ {i} (q_ { i}, S_ {q_ {i}}) = c_ {1}}

În consecință, problema se reduce la studiul coordonatelor unice. Dacă prezintă mișcări periodice de rotație sau librație (în primul caz avem $p_{i}(q_{i})$ ${\ displaystyle p_ {i} (q_ {i})}$ ${\ displaystyle p_ {i} (q_ {i})}$ periodic, în timp ce în al doilea avem că într-un anumit interval de timp curba $(q_{i}(t),p_{i}(t))$ ${\ displaystyle (q_ {i} (t), p_ {i} (t))}$ ${\ displaystyle (q_ {i} (t), p_ {i} (t))}$ trebuie închise) variabilele de acțiune pot fi definite:

J_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma _{i}}p_{i}\mathrm {d} q_{i}

{\ displaystyle J_ {i} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {\ gamma _ {i}} p_ {i} \ mathrm {d} q_ {i}}

{\ displaystyle J_ {i} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {\ gamma _ {i}} p_ {i} \ mathrm {d} q_ {i}}

a cărei independență este verificarea imediată. Aceste noi variabile sunt constante și pot fi asumate ca momente noi, astfel încât noile coordonate, numite variabile de unghi , pot fi obținute din funcția caracteristică:

\mathbf {w} =\nabla _{\mathbf {J} }W

{\ displaystyle \ mathbf {w} = \ nabla _ {\ mathbf {J}} W}

{\ displaystyle \ mathbf {w} = \ nabla _ {\ mathbf {J}} W}

și din ecuațiile lui Hamilton:

{\dot {\mathbf {w} }}=\nabla _{\mathbf {J} }{\mathcal {H}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {w}}} = \ nabla _ {\ mathbf {J}} {\ mathcal {H}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {w}}} = \ nabla _ {\ mathbf {J}} {\ mathcal {H}}}

Se observă că aceste ecuații admit integrarea imediată. Fiind coordonatele ciclice, al doilea membru va fi o anumită funcție (constantă) a $J_{i}$ ${\ displaystyle J_ {i}}$ $J_ {i}$ , prin urmare:

w_{i}=\omega _{i}(J_{i})t+\beta _{i}

{\ displaystyle w_ {i} = \ omega _ {i} (J_ {i}) t + \ beta _ {i}}

{\ displaystyle w_ {i} = \ omega _ {i} (J_ {i}) t + \ beta _ {i}}

Din definiția variabilelor unghiulare putem considera variația variabilei atunci când fiecare coordonată $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ descrie o perioadă completă:

\Delta _{T}w_{i}(t)=\sum _{j}\oint _{\gamma _{i}}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}\mathrm {d} q_{j}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} w_ {i} (t) = \ sum _ {j} \ oint _ {\ gamma _ {i}} {\ frac {\ partial w_ {i}} {\ partial q_ { j}}} \ mathrm {d} q_ {j}}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} w_ {i} (t) = \ sum _ {j} \ oint _ {\ gamma _ {i}} {\ frac {\ partial w_ {i}} {\ partial q_ { j}}} \ mathrm {d} q_ {j}}

este clar că din independența variabilelor postulate deasupra termenilor $j\neq i$ ${\ displaystyle j \ neq i}$ ${\ displaystyle j \ neq i}$ sunt nule, deci rămâne doar o integral, iar din definiția variabilelor unghiulare rezultă imediat că:

\Delta _{T}w_{i}(t)=\oint _{\gamma _{i}}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}={\frac {\partial }{\partial J_{i}}}\oint p_{i}\mathrm {d} q_{i}=2\pi

{\ displaystyle \ Delta _ {T} w_ {i} (t) = \ oint _ {\ gamma _ {i}} {\ frac {\ partial w_ {i}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial J_ {i}}} \ oint p_ {i} \ mathrm {d} q_ {i} = 2 \ pi}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} w_ {i} (t) = \ oint _ {\ gamma _ {i}} {\ frac {\ partial w_ {i}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial J_ {i}}} \ oint p_ {i} \ mathrm {d} q_ {i} = 2 \ pi}

relația se menține (prima egalitate nu este evidentă):

\Delta _{T}w_{i}(t)=w_{i}(t+T_{i})-w_{i}(t)=\omega _{i}(J_{i})T_{i}=2\pi

{\ displaystyle \ Delta _ {T} w_ {i} (t) = w_ {i} (t + T_ {i}) - w_ {i} (t) = \ omega _ {i} (J_ {i}) T_ {i} = 2 \ pi}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} w_ {i} (t) = w_ {i} (t + T_ {i}) - w_ {i} (t) = \ omega _ {i} (J_ {i}) T_ {i} = 2 \ pi}

si $\omega _{i}$ ${\ displaystyle \ omega _ {i}}$ $\ omega_i$ ele nu reprezintă altceva decât pulsațiile mișcărilor periodice, deoarece:

\omega _{i}={\frac {2\pi }{T_{i}}}

{\ displaystyle \ omega _ {i} = {\ frac {2 \ pi} {T_ {i}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {i} = {\ frac {2 \ pi} {T_ {i}}}}

În realitate, discursul poate fi generalizat și extins la condiții mai puțin restrictive, prin definirea variabilelor de acțiune într-un mod „mai puțin generos” (care ar coincide cu ceea ce s-a discutat în momentul în care ne aflăm în cazul separabil), și cu aceste elemente am ajunge să vorbim despre tauri invarianți , care se numără printre diferiții protagoniști ai teoriei Kolmogorov-Arnold-Moser .

Notă

^ Mekanică analitică, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ Herbert Goldstein, Mecanica clasică, ed. A II-a. (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1981), p. 440.

Bibliografie

G. Benettin, Note pentru cursul de mecanică analitică ( PDF ), Padova, 2014 (arhivat din original la 29 noiembrie 2014) . 3.5 Ecuația Hamilton - Jacobi
(EN) William R. Hamilton , Despre o metodă generală de exprimare a căilor de lumină și a planetelor, de coeficienții unei funcții caracteristice în Dublin University Review, 1833, pp. 795-826.
( EN ) W. Hamilton, Despre aplicarea la dinamica unei metode matematice generale aplicate anterior opticii , în British Association Report , 1834, pp. 513-518.
( EN ) H. Goldstein, Mecanica clasică , Addison Wesley, 2002, ISBN 0-201-65702-3 .
( EN ) Alexander Fetter și John D. Walecka, Theoretical Mechanics of Particles and Continua , Dover Books, 2003, ISBN 0-486-43261-0 .
( EN ) LD Landau și LM Lifshitz , Mecanică , Amsterdam, Elsevier, 1975.
( EN ) JJ Sakurai ,Modern Quantum Mechanics , Benjamin / Cummings Publishing, 1985, ISBN 0-8053-7501-5 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) James J. Binney, Mecanica clasică (note de curs) (PDF), Universitatea din Oxford . Adus pe 27 octombrie 2010 .
( EN ) Tong, David, Dinamica clasică (note de curs Cambridge)

Portalul de matematică

Portal mecanic

[1] ^ Mekanică analitică, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[2] Herbert Goldstein, Mecanica clasică, ed. A II-a. (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1981), p. 440.

[1]

[2]