Similitudinea lui Prandtl-Glauert

Simila Prandtl-Glauert sau transformarea Prandtl-Glauert (care poate fi extinsă ca o comparație Prandtl-Glauert-Ackeret ) este o funcție aproximativă care permite compararea fluxurilor subsonice (pentru teoria lui Ackeret și supersonică) cu numere diferite de către Mach .

Expresia matematică

Într-un flux subsonic, compresibilitatea fluidului (adesea preocupată de aer ) devine mult mai influentă pe măsură ce crește numărul Mach. Valorile caracteristice ale unui flux incompresibil și non-vâscos, găsite de exemplu prin intermediul teoriei potențiale , pot fi înmulțite cu un factor corectiv pentru a lua în considerare efectele compresibilității. Transformarea Prandtl-Glauert este unul dintre acești factori corecți.

Acest factor corectiv este derivat din liniarizarea ecuațiilor potențiale asociate cu un flux compresibil și nevâscos. Presiunile liniarizate în acest tip de fluxuri s-au dovedit a fi aceleași cu cele găsite în fluxurile incompresibile înmulțite cu un factor de corecție. Factorul de corecție Prandtl-Glauert este:

c_{p}={\frac {c_{p0}}{\sqrt {1-{\mathrm {Ma_{\infty }^{2}} }}}}

{\ displaystyle c_ {p} = {\ frac {c_ {p0}} {\ sqrt {1 - {\ mathrm {Ma _ {\ infty} ^ {2}}}}}}}

c _ {{p}} = {\ frac {c _ {{p0}}} {{\ sqrt {1 - {{\ mathrm {Ma _ {\ infty} ^ {2}}}}}}}}

unde este

c _p este coeficientul de presiune al debitului compresibil ;
c _p0 este coeficientul de presiune al debitului incompresibil ;
M este numărul Mach.

Acest factor de compresie funcționează bine până la numere Mach mai mici de 0,7.

Rețineți că, datorită faptului că factorul de corecție este derivat din ecuații liniarizate, presiunea calculată este întotdeauna mai mică decât valorile reale ale presiunii din interiorul fluidului.

În cazul lui Mach supersonic, aceeași procedură de liniarizare duce la o comparație Ackeret:

c_{p}={\frac {c_{p0}}{\sqrt {\mathrm {Ma_{\infty }^{2}} -1}}}\,.

{\ displaystyle c_ {p} = {\ frac {c_ {p0}} {\ sqrt {\ mathrm {Ma _ {\ infty} ^ {2}} -1}}} \,.}

c _ {{p}} = {\ frac {c _ {{p0}}} {{\ sqrt {{\ mathrm {Ma _ {\ infty} ^ {2}}} - 1}}}} \,.

Coeficienți aerodinamici

Deoarece coeficienții aerodinamici de ridicare și tracțiune sunt pur și simplu integrali ai coeficientului de presiune, comparația Prandtl-Glauert este la fel de valabilă.

Pe de altă parte, factorul de corecție nu este valabil pentru solicitări de forfecare sau alte zone de curgere în care efectele vâscozității nu mai sunt neglijabile. Acest factor de corecție modifică, de asemenea, comportamentul curbei coeficientului de ridicare, deoarece unghiul de atac variază pentru structurile aerodinamice.

Istorie

Ludwig Prandtl s-a ocupat mult de această similitudine în cursurile sale universitare, dar primul care a publicat-o a fost Hermann Glauert în 1928. ^[1]

Odată cu introducerea acestei relații, a fost posibil să se proiecteze avioane capabile să zboare la viteze subsonice mai mari. ^[2]

Singularitate

Atunci când se tinde la viteza sunetului (Mach = 1) similitudinea implică o singularitate (valoarea coeficientului crește până când tinde spre infinit), chiar dacă comportamentul fizic este evident diferit (în fizică nu există infinități). De fapt, în acest caz, simplificările introduse odată cu liniarizarea ecuațiilor potențiale nu mai sunt valabile, deoarece termenii neliniari nu mai sunt neglijabili. Perturbările aerodinamice și termodinamice, cu toate acestea, sunt cu atât mai puternic amplificate cu cât se apropie de viteza sunetului , ducând în cele din urmă la boomul sonic și la modificări de fază foarte vizibile asociate cu tranziția supersonică .

Notă

^(EN) Glauert Hermann, The Effect of Compressibility on the lift of a airfoil. Proc. Roy. Soc. Londra. vol. CXVIII, 1928, p. 113–119. .
^ ( DE ) H.-U. Meier, Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung , Ludwig Prandtl memorial lecture, GAMM 2005, 28 martie - 1 aprilie 2005, Universität Luxemburg, Kapitel 1 .

Elemente conexe

Portalul aviației

Portalul de fizică

[1] (EN) Glauert Hermann, The Effect of Compressibility on the lift of a airfoil. Proc. Roy. Soc. Londra. vol. CXVIII, 1928, p. 113–119. .

[2] ( DE ) H.-U. Meier, Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung , Ludwig Prandtl memorial lecture, GAMM 2005, 28 martie - 1 aprilie 2005, Universität Luxemburg, Kapitel 1 .

[1]

[2]