Simetrie centrală în planul complex

În geometrie , având în vedere numărul complex $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0} = x_ {0} + iy_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {0} = x_ {0} + iy_ {0}}$ Și $C_{0}=P(z_{0})$ ${\ displaystyle C_ {0} = P (z_ {0})}$ ${\ displaystyle C_ {0} = P (z_ {0})}$ , de coordonate $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ , punctul corespunzător $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ , simetria centrală a centrului $C_{0}$ ${\ displaystyle C_ {0}}$ $C_ {0}$ , sau rotație în jurul $C_{0}$ ${\ displaystyle C_ {0}}$ $C_ {0}$ de unghi $\alpha =\pi$ ${\ displaystyle \ alpha = \ pi}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ pi}$ , este transformarea

{\begin{matrix}S_{C_{0}}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=2z_{0}-z\end{matrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {C_ {0}}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = 2z_ {0} - z \ end {matrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {C_ {0}}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = 2z_ {0} - z \ end {matrix}}.}

Proprietate

Amintindu-ne că simetria centrului $C_{0}$ ${\ displaystyle C_ {0}}$ $C_ {0}$ nu este altceva decât rotația centrului $C_{0}$ ${\ displaystyle C_ {0}}$ $C_ {0}$ și colț $\alpha =\pi$ ${\ displaystyle \ alpha = \ pi}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ pi}$ , acesta este $a=-1$ ${\ displaystyle a = -1}$ ${\ displaystyle a = -1}$ , este dat de $z'=az+(1-a)z_{0}$ ${\ displaystyle z '= az + (1-a) z_ {0}}$ ${\ displaystyle z '= az + (1-a) z_ {0}}$ , avem asta $z'=-1z+(1-(-1))z_{0}=2z_{0}-z$ ${\ displaystyle z '= - 1z + (1 - (- 1)) z_ {0} = 2z_ {0} -z}$ ${\ displaystyle z '= - 1z + (1 - (- 1)) z_ {0} = 2z_ {0} -z}$ .

Trecerea în coordonate carteziene dacă $z=x+iy$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ , $z'=x'+iy'$ ${\ displaystyle z '= x' + iy '}$ ${\ displaystyle z '= x' + iy '}$ Și $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0} = x_ {0} + iy_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {0} = x_ {0} + iy_ {0}}$ , asa de $z'=x'+iy'=2(x_{0}+iy_{0})-(x+iy)=(2x_{0}-x)+i(2y_{0}-y)$ ${\ displaystyle z '= x' + iy '= 2 (x_ {0} + iy_ {0}) - (x + iy) = (2x_ {0} -x) + i (2y_ {0} -y)}$ ${\ displaystyle z '= x' + iy '= 2 (x_ {0} + iy_ {0}) - (x + iy) = (2x_ {0} -x) + i (2y_ {0} -y)}$ , din care obținem:

\left\{{\begin{matrix}x'=2x_{0}-x\\y'=2y_{0}-y\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= 2x_ {0} -x \\ y' = 2y_ {0} -y \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= 2x_ {0} -x \\ y' = 2y_ {0} -y \ end {matrix}} \ right.}

care reprezintă exact ecuațiile simetriei centrale în planul central $C_{0}(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle C_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle C_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ .

Exemplu

Scrierea complexă a simetriei centrale $S_{C_{0}}$ ${\ displaystyle S_ {C_ {0}}}$ ${\ displaystyle S_ {C_ {0}}}$ de centru $z_{0}=2+3i$ ${\ displaystyle z_ {0} = 2 + 3i}$ ${\ displaystyle z_ {0} = 2 + 3i}$ este dat de $z'=2z_{0}-z=2(2+3i)-z=-z+4+6i$ ${\ displaystyle z '= 2z_ {0} -z = 2 (2 + 3i) -z = -z + 4 + 6i}$ ${\ displaystyle z '= 2z_ {0} -z = 2 (2 + 3i) -z = -z + 4 + 6i}$ .

Caz special

Simetria $S_{0}$ ${\ displaystyle S_ {0}}$ $S_0$ de centru originea $O(0,0)$ ${\ displaystyle O (0,0)}$ $O (0,0)$ a axelor coincide cu rotația în planul de centru al originii și al unghiului $\alpha =\pi$ ${\ displaystyle \ alpha = \ pi}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ pi}$ .