Sistem invariant în timp

Un sistem invariant în timp sau sistem staționar , uneori prescurtat în TIV (din acronimul englezesc Time-Invariant System ), este un sistem dinamic în care ieșirea nu depinde în mod explicit de timp. Sistemele invariante în timp sunt descrise matematic prin ecuații autonome și prin funcția de transfer și se caracterizează prin faptul că, dacă o intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ produce ieșirea $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ apoi pentru fiecare intrare deplasată $x(t+\delta )$ ${\ displaystyle x (t + \ delta)}$ ${\ displaystyle x (t + \ delta)}$ există o ieșire deplasată de același factor $y(t+\delta )$ ${\ displaystyle y (t + \ delta)}$ ${\ displaystyle y (t + \ delta)}$ .

Sistemele liniare sunt printre cele mai studiate sisteme staționare.

Definiție

Luați în considerare operatorul de traducere $\mathbb {T} _{r}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$ care se mișcă $x=x(t)$ ${\ displaystyle x = x (t)}$ $x = x (t)$ a unui factor $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . De exemplu, dacă $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ acțiunea de $\mathbb {T} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {1}}$ Și:

{\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}x=x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)\qquad \forall \,t\in \mathbb {R}

{\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = \ mathbb {T} _ {1} x = x (t + 1) = \, \! \ delta (t + 1) * x (t) \ qquad \ forall \, t \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = \ mathbb {T} _ {1} x = x (t + 1) = \, \! \ delta (t + 1) * x (t) \ qquad \ forall \, t \ in \ mathbb {R}}

Dacă reprezentați sistemul printr-un operator $\mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ mathbb {H}}$ , sistemul este invariant în timp dacă $\mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ mathbb {H}}$ comută cu operatorul de traducere: