Subdiferențial

Subdiferențialul este un concept matematic utilizat în studiul funcțiilor convexe .

O funcție convexă (în albastru) și două linii de susținere (în roșu)

Este $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ o funcție convexă nu neapărat diferențiată ; subdiferențialul lui f în x ₀ este definit ca:

\partial f(x_{0})={\bigl \{}g\in \mathbb {R} ^{n}:f(x)\geq f(x_{0})+\langle g,x-x_{0}\rangle {\bigr \}}

{\ displaystyle \ partial f (x_ {0}) = {\ bigl \ {} g \ in \ mathbb {R} ^ {n}: f (x) \ geq f (x_ {0}) + \ langle g, x-x_ {0} \ rangle {\ bigr \}}}

{\ displaystyle \ partial f (x_ {0}) = {\ bigl \ {} g \ in \ mathbb {R} ^ {n}: f (x) \ geq f (x_ {0}) + \ langle g, x-x_ {0} \ rangle {\ bigr \}}}

Se spune că $g\in \partial f(x_{0})$ ${\ displaystyle g \ in \ partial f (x_ {0})}$ $g \ in \ partial f (x_ {0})$ este un subgradient în x ₀ .

Prin urmare, un subgradient identifică un hiperplan care susține graficul funcției și invers. De exemplu, în R un subgradient este coeficientul unghiular al tangentei la grafic la x ₀ (sau derivata funcției care îl definește), așa cum se arată în figură; în mod similar în R ⁿ un subgradient este gradientul unui hiperplan de susținere.

Subdiferențialul astfel definit este o generalizare directă a cazului diferențiat, de fapt, dacă f este diferențial, subdiferențialul conține doar gradientul funcției. De asemenea, în acest caz, partea dreaptă a inegalității care definește un subgradient este o aproximare Taylor trunchiată la primul ordin. Cu toate acestea, prin generalizarea unor proprietăți se pierd; de fapt, subdiferențialul nu mai este un operator diferențial, ci un set.

Subdiferențialul are câteva proprietăți utile:

dacă funcția este convexă (continuă) atunci în fiecare punct există un subgradient,
dacă 0 este un subgradient al lui f în x, atunci x este un minim global de f ,
dacă x este un minim global de f, atunci 0 este un subgradient al lui f în x,
$\partial f(x)$ ${\ displaystyle \ partial f (x)}$ $\ partial f (x)$ este un set convex.

Cu toate acestea, subgradele nu sunt în general unice. În special, atunci când funcția nu este diferențiată, pot exista mai multe hipereplante de sprijin la graficul funcției (așa cum se arată în figură). Prin urmare, chiar și un punct minim poate avea un subgradient diferit de zero.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică