Timp de întoarcere

În statistici, timpul de returnare sau perioada de returnare a unui eveniment este timpul mediu dintre apariția a două evenimente succesive ale unei entități egale sau mai mari decât o valoare de intensitate atribuită sau, în mod similar, este timpul mediu în care valoarea intensității atribuite este egală sau depășită cel puțin o dată.

Pentru comoditate, timpul de răspuns este adesea utilizat în diverse domenii tehnice, inclusiv inginerie hidraulică , hidrologie , geologie , vulcanologie și seismologie , înlocuind conceptul de probabilitate de eșec asociat cu un anumit eveniment natural.

De fapt, majoritatea cantităților care guvernează fenomenele naturale sunt aleatorii și, prin urmare, pot fi descrise prin variabile aleatoare continue care urmează să fie studiate cu metode probabilistice.

Prin intermediul acestor metode este posibilă identificarea distribuției de probabilitate care reprezintă cel mai bine fenomenul natural, astfel încât să putem asocia frecvența relativă cu care apare la fiecare valoare pe care o poate asuma cantitatea.

Definiție

Luând în considerare o serie de observații făcute pe o dimensiune naturală x (variabilă aleatorie continuă); probabilitatea ca un eveniment ^[1] X să fie mai mare decât o valoare predeterminată x _T într-o anumită perioadă de timp este egală cu:

p=p\left(X\geq x_{T}\right)

{\ displaystyle p = p \ left (X \ geq x_ {T} \ right)}

{\ displaystyle p = p \ left (X \ geq x_ {T} \ right)}

Timpul mediu de revenire T asociat cu X exprimă numărul mediu de observații necesare pentru ca un eveniment dat să se repete.

T este egal cu inversul probabilității $p=\left(T={\frac {1}{p}}\right)$ ${\ displaystyle p = \ left (T = {\ frac {1} {p}} \ right)}$ ${\ displaystyle p = \ left (T = {\ frac {1} {p}} \ right)}$ , aceasta înseamnă că setarea unui timp de întoarcere este echivalentă cu setarea unei valori de probabilitate:

p={\frac {1}{T}}

{\ displaystyle p = {\ frac {1} {T}}}

{\ displaystyle p = {\ frac {1} {T}}}

.

Dacă variabila aleatorie este un maxim anual, timpul de recuperare T se măsoară în ani.

De exemplu, dacă examinez maximele anuale ale debitelor de inundații, valoarea Q ₁₀₀ , care corespunde unui timp de revenire T = 100 de ani, are o probabilitate de apariție egală cu 1% într-un an; aceasta înseamnă că, într-un an dat, există o șansă de 1% ca acest eveniment să se întâmple de fapt.

În timp ce apariția într-un an dat a unei inundații de râu Q ₁₀ care are o T = 10 ani este de 10 ori mai probabilă (10% șanse).

Prin urmare, un timp de întoarcere mai lung indică un eveniment mai rar, mai puțin probabil.

Probabilitatea apariției unui eveniment extrem pe o perioadă de N ani este egală cu:

p=\left({\frac {1}{T}}\right)^{N}

{\ displaystyle p = \ left ({\ frac {1} {T}} \ right) ^ {N}}

{\ displaystyle p = \ left ({\ frac {1} {T}} \ right) ^ {N}}

Determinarea exactă a timpului de întoarcere a unui eveniment catastrofal poate fi dificilă dacă frecvența acestor evenimente naturale depășește durata de viață a omului sau cu atât mai mult dacă nu există nicio înregistrare istorică .

Hidraulica și hidrologia râurilor studiază sisteme complexe, cum ar fi precipitațiile sau debitele în râuri, grație înregistrărilor seriilor temporale pluviometrice sau ale debitelor.

Corespondența unu-la-unu care există între timpul de întoarcere și probabilitate ne permite să legăm această cantitate de variabilele definite ca risc , daune , vulnerabilitate ^[2] .

Elemente statistice

Următoarele sunt valabile și în cazul variabilelor aleatorii discrete, dar în domeniul ingineresc / științific este mai semnificativ să vorbim despre variabile continue.

O variabilă aleatorie (sau stocastică) x este definită ca o variabilă continuă care poate lua oricare dintre valorile unui set finit sau infinit; o densitate de probabilitate este asociată cu fiecare dintre valorile sale;
probabilitatea este definită ca măsura posibilității de apariție a unui eveniment specific căruia i se asociază o valoare a unei variabile aleatorii x . Probabilitatea este un număr între 0 (imposibilitatea producerii evenimentului) și 1 (certitudine că evenimentul va avea loc);
populația unei variabile aleatorii este definită ca ansamblul tuturor valorilor pe care le poate asuma;
un eșantion de mărimea N este definit ca un set de N valori extrase din populație.

Să luăm în considerare o variabilă aleatorie x care poate presupune toate valorile incluse în mulțimea finită E = (a, b) - populația de x .

Probabilitatea unei variabile aleatoare continue x este descrisă de o funcție de densitate de probabilitate f (x) - în hidrologie, de exemplu, distribuția Gumbel sau EV1 este frecvent utilizată în timp ce în ingineria seismică NTC-urile din 2008 se referă la distribuția Poisson .

Prin urmare, probabilitatea p ca variabila x ∈ (x ₁ , x ₂ ) este dată de:

p({x_{1}}\leq x\leq {x_{2}})=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx

{\ displaystyle p ({x_ {1}} \ leq x \ leq {x_ {2}}) = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) \, dx}

{\ displaystyle p ({x_ {1}} \ leq x \ leq {x_ {2}}) = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) \, dx}

Este clar că probabilitatea ca variabila x să ia orice valoare x ∈ E este egală cu 1, adică certitudinea:

p({a}\leq x\leq {b})=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=1=p_{C}

{\ displaystyle p ({a} \ leq x \ leq {b}) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = 1 = p_ {C}}

{\ displaystyle p ({a} \ leq x \ leq {b}) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = 1 = p_ {C}}

Să luăm în considerare o succesiune de N măsurători efectuate pe variabila x independent una de alta - eșantion de mărimea N de x .

Fixăm o valoare fixă m a variabilei continue x m Probabilitatea ca valoarea măsurată a lui x să fie mai mică sau egală cu m este dată de:

p(x\leq {m})=\int _{a}^{m}f(x)\,dx=p_{NS}

{\ displaystyle p (x \ leq {m}) = \ int _ {a} ^ {m} f (x) \, dx = p_ {NS}}

{\ displaystyle p (x \ leq {m}) = \ int _ {a} ^ {m} f (x) \, dx = p_ {NS}}

Această funcție este definită ca distribuția cumulativă a probabilității variabilei aleatorii și se mai numește și probabilitatea de a nu depăși p _NS ≤1.

Prin urmare, probabilitatea de a depăși m este dată de valoarea complementară:

p(x>m)=\int _{m}^{b}f(x)\,dx=p_{C}-p_{NS}=1-p_{NS}=p_{S}

{\ displaystyle p (x> m) = \ int _ {m} ^ {b} f (x) \, dx = p_ {C} -p_ {NS} = 1-p_ {NS} = p_ {S}}

{\ displaystyle p (x> m) = \ int _ {m} ^ {b} f (x) \, dx = p_ {C} -p_ {NS} = 1-p_ {NS} = p_ {S}}

perioada de timp care trebuie așteptată pentru ca o valoare dată m a variabilei stochastice x să fie depășită sau egală în medie o dată, adică numărul mediu de măsurători necesare, se numește timpul de revenire și valoarea sa este inversa lui p _S :

T={\frac {1}{p_{S}}}={\frac {1}{1-p_{NS}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {p_ {S}}} = {\ frac {1} {1-p_ {NS}}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {p_ {S}}} = {\ frac {1} {1-p_ {NS}}}}

prin urmare $p_{NS}=1-{\frac {1}{T}}$ ${\ displaystyle p_ {NS} = 1 - {\ frac {1} {T}}}$ ${\ displaystyle p_ {NS} = 1 - {\ frac {1} {T}}}$
care reprezintă probabilitatea (în procente) ca evenimentul să nu aibă loc în medie cu referire la un an; cu referire la N ani, probabilitatea non-depășirii devine:

(p_{NS})^{N}=(1-{\frac {1}{T}})^{N}

{\ displaystyle (p_ {NS}) ^ {N} = (1 - {\ frac {1} {T}}) ^ {N}}

{\ displaystyle (p_ {NS}) ^ {N} = (1 - {\ frac {1} {T}}) ^ {N}}

.

În cele din urmă, riscul de depășire asociat cu o anumită valoare m = x _T , cu T ani de timp de returnare, este definit ca probabilitatea ca această valoare să fie depășită sau egalizată cel puțin o dată într-un număr N de ani:

R=1-(p_{NS})^{N}=1-(1-{\frac {1}{T}})^{N}

{\ displaystyle R = 1- (p_ {NS}) ^ {N} = 1- (1 - {\ frac {1} {T}}) ^ {N}}

{\ displaystyle R = 1- (p_ {NS}) ^ {N} = 1- (1 - {\ frac {1} {T}}) ^ {N}}

Dacă presupunem N = T, R crește asimptotic pe măsură ce T crește rapid, tindând spre valoarea 0,632.

Prin urmare, probabilitatea ca x _T (cu T mare) să fie depășită într-o perioadă de T ani este de aproximativ 2/3.

Conceptul de probabilitate de eșec este adesea înlocuit cu cel al timpului de recuperare.

Risc de depășire

În ingineria hidraulică, pentru proiectarea unor lucrări strâns legate de evenimente atmosferice, cum ar fi canalizarea de ploaie, canale, baraje, lucrări maritime, alegerea timpului de întoarcere a evenimentului este un parametru fundamental.

Alegerea timpului de întoarcere depinde de diverși factori, cum ar fi:

extinderea bazinului de drenaj;
importanța lucrării;
riscul depășirii.

În ceea ce privește acesta din urmă, este evident că trebuie selectat și evenimentul critic (de exemplu, precipitațiile critice care dau naștere la debitul maxim într-un curs de apă), pe baza căruia trebuie dimensionată lucrarea hidraulică. evaluarea daunelor pe care depășirea ei le poate provoca lucrurilor și / sau oamenilor.

Riscul este clasificat după cum urmează, în funcție de daune:

R1 = risc moderat - evenimentul natural poate provoca daune sociale și economice bunurilor marginale de mediu și culturale;
R2 - risc moderat - evenimentul natural poate provoca daune minore clădirilor, infrastructurilor și bunurilor de mediu și culturale care nu afectează siguranța oamenilor, utilizabilitatea clădirilor și funcționalitatea activităților socio-economice;

R3 - risc ridicat - problemele naturale ale evenimentelor pentru siguranța oamenilor, deteriorarea funcțională a clădirilor, cu consecința inutilizării acestora, infrastructurile și bunurile de mediu și culturale, cu întreruperea funcțiilor socio-economice;

R4 - risc foarte ridicat - sunt posibile pierderi de vieți omenești și vătămări grave ale persoanelor, daune grave clădirilor, infrastructurilor și bunurilor de mediu și culturale și distrugerea funcționalității activităților socio-economice.

Să luăm în considerare o lucrare hidraulică dimensionată pentru un eveniment meteorologic x (T) de T ani de timp de întoarcere.

Riscul R [x (t)], adică probabilitatea, ca evenimentul x (T) să fie depășit cel puțin o dată în timpul vieții tehnice a lucrării în sine poate fi exprimat după cum urmează:

R[x(T)]=1-(1-{\frac {1}{T}})^{N}

{\ displaystyle R [x (T)] = 1- (1 - {\ frac {1} {T}}) ^ {N}}

{\ displaystyle R [x (T)] = 1- (1 - {\ frac {1} {T}}) ^ {N}}

cu N egal cu viața utilă a operei.

În acest moment, este necesar să alegeți T în mod corespunzător, astfel încât riscul să fie proporțional cu daunele posibile cauzate de evenimente mai mari decât cele ale proiectului, dar, de asemenea, având în vedere că evenimentul rezultat al proiectului trebuie să determine o dimensionare acceptabilă din punct de vedere tehnic și economic a lucrării hidraulice. . De fapt, în majoritatea cazurilor, este neeconomic să construim o lucrare capabilă să facă față celui mai extrem eveniment posibil pentru care se preferă să o dimensionăm, asigurând că pe durata vieții sale utile poate fi ineficientă, deoarece daunele rezultate sunt considerate tolerabile.

Pentru cele de mai sus, deși este convenabil din punct de vedere economic și tehnic să se prevadă că un canal de ploaie este periodic insuficient, deoarece avariile inundațiilor pot fi considerate tolerabile, nu se poate accepta același lucru pentru lucrările de deversare ale unui baraj pentru care depășirea pragul proiectului ar putea provoca daune considerabile și riscul pierderii de vieți omenești. Prin urmare, T pentru un canal de ploaie poate fi mai mic decât durata preconizată a lucrării proiectate, în timp ce pentru un baraj trebuie să fie mult mai mare. Acest lucru implică faptul că perioada de rambursare poate varia de la câțiva la peste o mie de ani.

Având în vedere că, conform literaturii tehnice, o lucrare hidraulică are o durată de viață utilă variind de la aproximativ 30-40 de ani (canalizare pluvială) până la 100 ani (lucrări de baraj), în mod tradițional canalizarea pluvială (cu risc scăzut) este dimensionată cu T = 5 ani, terasamente fluviale cu T = 100-1000 ani, pilonii podului fluvial cu T = 100-500 ani și structuri de deversare ale barajelor cu T = 1000-3000 ani ^[3] .

Exemplu de calcul

Considerăm un debit x _{T a} cărui probabilitate de a nu depăși, de obicei evaluată după adaptarea unei distribuții adecvate de probabilitate, este egală cu 90%, adică:

p(X\leq x_{T})=0,9

{\ displaystyle p (X \ leq x_ {T}) = 0,9}

{\ displaystyle p (X \ leq x_ {T}) = 0,9}

.

calculul timpului relativ de revenire asociat cu $x_{T}$ ${\ displaystyle x_ {T}}$ ${\ displaystyle x_ {T}}$ este valabil:

T[{\rm {{anni}]={\frac {1}{1-{\it {p(X\leq x_{T})}}}}=10}}

{\ displaystyle T [{\ rm {{years}] = {\ frac {1} {1 - {\ it {p (X \ leq x_ {T})}}}} = 10}}}

{\ displaystyle T [{\ rm {{years}] = {\ frac {1} {1 - {\ it {p (X \ leq x_ {T})}}}} = 10}}}

În schimb, dacă vrem să evaluăm riscul de depășire, pentru o viață utilă a muncii egală cu $N=$ ${\ displaystyle N =}$ ${\ displaystyle N =}$ 50 de ani, obții

R[x(T)]=1-(1-{\frac {1}{T}})^{N}=1-(1-{\frac {1}{10}})^{50}=0,9948

{\ displaystyle R [x (T)] = 1- (1 - {\ frac {1} {T}}) ^ {N} = 1- (1 - {\ frac {1} {10}}) ^ { 50} = 0,9948}

{\ displaystyle R [x (T)] = 1- (1 - {\ frac {1} {T}}) ^ {N} = 1- (1 - {\ frac {1} {10}}) ^ { 50} = 0,9948}

Exemple

Erupția Pliniană a Vezuviului : așteptată la fiecare 45 de ani.

Notă

^ Prin eveniment, înțelegem orice valoare a variabilei aleatorii care este mai mare sau mai mică decât o valoare predeterminată. În specificul tehnic, evenimentul este atunci când apare o valoare a fenomenului care face ca lucrările de inginerie să fie inadecvate. Prin urmare, de exemplu, în domeniul alimentării cu apă, debitele mai mici decât valoarea proiectului sunt semnificative, în timp ce în cazul lucrărilor hidraulice pentru apărarea inundațiilor, valorile debitului mai mari decât valoarea proiectului devin importante.
^ gradul de pierdere produs pe un anumit element expus riscului rezultat din apariția unui fenomen natural de o anumită intensitate
^ Manual de inginerie civilă - ESAC Roma

Elemente conexe

linkuri externe

( EN )Timp de întoarcere , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de geologie	Portal de inginerie
Portalul de matematică	Portalul Științelor Pământului

[1] Prin eveniment, înțelegem orice valoare a variabilei aleatorii care este mai mare sau mai mică decât o valoare predeterminată. În specificul tehnic, evenimentul este atunci când apare o valoare a fenomenului care face ca lucrările de inginerie să fie inadecvate. Prin urmare, de exemplu, în domeniul alimentării cu apă, debitele mai mici decât valoarea proiectului sunt semnificative, în timp ce în cazul lucrărilor hidraulice pentru apărarea inundațiilor, valorile debitului mai mari decât valoarea proiectului devin importante.

[2] radul de pierdere produs pe un anumit element expus riscului rezultat din apariția unui fenomen natural de o anumită intensitate

[3] Manual de inginerie civilă - ESAC Roma

[1]

[2]

[3]