Teorema lui Milman

În matematică , în special, în geometria convexă asimptotică, teorema Milman sau inegalitatea inversă Brunn-Minkowski , este un rezultat datorat Vitali Milman ^[1] care corespunde unei inegalități inverse față de faimoasa inegalitate Brunn-Minkowski pentru corpurile convexe. în spațiul euclidian n - dimensional R ⁿ . În practică, limitează volumul superior al sumei Minkowski a două corpuri în ceea ce privește volumele corpurilor în sine.

Introducere

Fie K și L corpuri convexe în R ⁿ . Inegalitatea Brunn-Minkowski afirmă că

\mathrm {vol} (K+L)^{1/n}\geq \mathrm {vol} (K)^{1/n}+\mathrm {vol} (L)^{1/n}~,

{\ displaystyle \ mathrm {vol} (K + L) ^ {1 / n} \ geq \ mathrm {vol} (K) ^ {1 / n} + \ mathrm {vol} (L) ^ {1 / n} ~,}

{\ displaystyle \ mathrm {vol} (K + L) ^ {1 / n} \ geq \ mathrm {vol} (K) ^ {1 / n} + \ mathrm {vol} (L) ^ {1 / n} ~,}

unde vol indică măsura Lebesgue n- dimensională și + din partea stângă indică suma Minkowski.

În general, nu este posibilă o legătură inversă, deoarece corpurile convexe K și L ale unității de volum pot fi găsite astfel încât volumul sumei lor Minkowski să fie în mod arbitrar mare. Teorema lui Milman afirmă că este posibil să se înlocuiască unul dintre corpuri cu imaginea sa prin intermediul unei transformări liniare care să păstreze volumul ales corespunzător, astfel încât partea stângă a inegalității Brunn-Minkowski să fie mărginită de o constantă multiplă a părții drepte.

Rezultatul este una dintre principalele teoreme structurale din teoria locală a spațiilor Banach . ^[2]

Declarația inegalității

Există o constantă C , independentă de n , astfel încât, pentru fiecare pereche de corpuri convexe, care prezintă o simetrie centrală, K și L în R ⁿ , este posibil să se găsească transformări liniare care să păstreze volumul φ și ψ din R ⁿ în sine, astfel încât pentru orice pereche de numere reale s , t > 0 avem

\mathrm {vol} (s\,\varphi K+t\,\psi L)^{1/n}\leq C\left(s\,\mathrm {vol} (\varphi K)^{1/n}+t\,\mathrm {vol} (\psi L)^{1/n}\right)~.

{\ displaystyle \ mathrm {vol} (s \, \ varphi K + t \, \ psi L) ^ {1 / n} \ leq C \ left (s \, \ mathrm {vol} (\ varphi K) ^ { 1 / n} + t \, \ mathrm {vol} (\ psi L) ^ {1 / n} \ right) ~.}

{\ displaystyle \ mathrm {vol} (s \, \ varphi K + t \, \ psi L) ^ {1 / n} \ leq C \ left (s \, \ mathrm {vol} (\ varphi K) ^ { 1 / n} + t \, \ mathrm {vol} (\ psi L) ^ {1 / n} \ right) ~.}

Una dintre transformări ar putea fi aleasă pentru a fi identitate. ^[2]

Notă

^ Șablon: Harvtxt
^ ^a ^b Șablon: Harvtxt

Bibliografie

Vitali D. Milman, Inégalité de Brunn-Minkowski invers și applications à la theorie locale des espaces normés. [O formă inversă a inegalității Brunn-Minkowski, cu aplicații la teoria locală a spațiilor normate] , în CR Acad. Schi. Paris Sér. I Matematica. , vol. 302, n. 1, 1986, pp. 25-28, MR 0827101 .
Gilles Pisier, Volumul corpurilor convexe și geometria spațiului Banach , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 94, Cambridge, Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36465-5 , MR 1036275 .

Elemente conexe

Teorema lui Brunn-Minkowski

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Șablon: Harvtxt

[Pisier_1989-2] Șablon: Harvtxt

[1]

[2]