Teorema lui Brunn-Minkowski

În matematică , teorema Brunn-Minkowski (sau inegalitatea Brunn-Minkowski ) este o inegalitate care raportează volume (sau, mai general, măsuri Lebesgue ) de subseturi compacte ale unui spațiu euclidian . Versiunea originală a teoremei Brunn-Minkowski ( Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) aplicată seturilor convexe ; generalizarea la seturi compacte neconvexe la care ne referim aici se datorează LA Lyusternik (1935).

Enunțarea teoremei

Fie n ≥ 1 în timp ce μ reprezintă măsura Lebesgue în R ⁿ . Fie A și B două subseturi compacte ne-goale ale lui R ⁿ . Atunci are loc următoarea inegalitate :

[\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},

{\ displaystyle [\ mu (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A)] ^ {1 / n} + [\ mu (B)] ^ {1 / n},}

{\ displaystyle [\ mu (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A)] ^ {1 / n} + [\ mu (B)] ^ {1 / n},}

unde A + B denotă suma Minkowski :

A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.

{\ displaystyle A + B: = \ {\, a + b \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid a \ in A, \ b \ in B \, \}.}

{\ displaystyle A + B: = \ {\, a + b \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid a \ in A, \ b \ in B \, \}.}

Observații

Dovada teoremei lui Brunn-Minkowski stabilește că funcția

A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}

{\ displaystyle A \ mapsto [\ mu (A)] ^ {1 / n}}

{\ displaystyle A \ mapsto [\ mu (A)] ^ {1 / n}}

este concav în sensul că, pentru fiecare pereche de subseturi compacte ne-goale A și B ale lui R ⁿ și pentru 0 ≤ t ≤ 1, avem

\left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.

{\ displaystyle \ left [\ mu (tA + (1-t) B) \ right] ^ {1 / n} \ geq t [\ mu (A)] ^ {1 / n} + (1-t) [ \ mu (B)] ^ {1 / n}.}

{\ displaystyle \ left [\ mu (tA + (1-t) B) \ right] ^ {1 / n} \ geq t [\ mu (A)] ^ {1 / n} + (1-t) [ \ mu (B)] ^ {1 / n}.}

Pentru două mulțimi convexe A și B , inegalitatea teoremei este strictă pentru 0 < t <1, cu excepția cazului în care A și B sunt omotetice , adică egale în transformări și transformări la scară.

Elemente conexe

Isoperimetrie (inegalitate isoperimetrică )
Teorema lui Milman (inegalitatea inversă Brunn-Minkowski)
Formula Minkowski-Steiner
Inegalitatea Prékopa-Leindler
Teorema lui Vitale (inegalitatea aleatorie a lui Brunn-Minkowski)

Notă

Brunn, H. , Über Ovale und Eiflächen , în Disertație inaugurală, München , 1887.
Werner Fenchel și Bonnesen, Tommy, Theorie der konvexen Körper , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 3, Berlin, 1. Verlag von Julius Springer, 1934.
Werner Fenchel și Bonnesen, Tommy, Teoria corpurilor convexe , Moscova, Idaho, L. Boron, C. Christenson și B. Smith. BCS Associates, 1987.
Bernard Dacorogna, Introducere în calculul variațiilor , Londra, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-508-2 .
Heinrich Guggenheimer (1977) Geometrie aplicabilă , pagina 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
Lazar A. Lyusternik , Die Brunn - Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen , în Comptes Rendus (Doklady) de académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) , III, 1935, pp. 55–58.
Hermann Minkowski , Geometrie der Zahlen , Leipzig, Teubner, 1896.
Imre Z. Ruzsa , The Brunn - Minkowski inequality and nonconvex sets , în Geometriae Dedicata , vol. 67, nr. 3, 1997, pp. 337-348, DOI : 10.1023 / A: 1004958110076 , MR 1475877 .
Rolf Schneider, Corpuri convexe: teoria Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică