Inegalitatea Prékopa-Leindler

În matematică , inegalitatea Prékopa-Leindler este o inegalitate integrală strâns legată de inegalitatea inversă a lui Young, inegalitatea Brunn-Minkowski și alte câteva inegalități importante și clasice în analiză . Rezultatul poartă numele matematicienilor maghiari András Prékopa și László Leindler .

Declarația inegalității

Fie 0 < λ <1 și f , g , h : R ⁿ → [0, + ∞) să fie două funcții măsurabile cu valori reale non- negative definite pe un spațiu euclidian n -dimensional R ⁿ . Să presupunem că aceste funcții satisfac

h\left((1-\lambda )x+\lambda y\right)\geq f(x)^{1-\lambda }g(y)^{\lambda }

{\ displaystyle h \ left ((1- \ lambda) x + \ lambda y \ right) \ geq f (x) ^ {1- \ lambda} g (y) ^ {\ lambda}}

{\ displaystyle h \ left ((1- \ lambda) x + \ lambda y \ right) \ geq f (x) ^ {1- \ lambda} g (y) ^ {\ lambda}}

(ecuația 1)

pentru fiecare x și y aparținând lui R ⁿ . Atunci

\|h\|_{1}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{1-\lambda }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\,\mathrm {d} x\right)^{\lambda }=:\|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.\,

{\ displaystyle \ | h \ | _ {1}: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} h (x) \, \ mathrm {d} x \ geq \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {1- \ lambda} \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g ( x) \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ lambda} =: \ | f \ | _ {1} ^ {1- \ lambda} \ | g \ | _ {1} ^ {\ lambda} . \,}

{\ displaystyle \ | h \ | _ {1}: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} h (x) \, \ mathrm {d} x \ geq \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {1- \ lambda} \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g ( x) \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ lambda} =: \ | f \ | _ {1} ^ {1- \ lambda} \ | g \ | _ {1} ^ {\ lambda} . \,}

Forma esențială a inegalității

Amintiți-vă că limita superioară esențială a unei funcții măsurabile f : R ⁿ → R este definită de

\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x)=\inf \left\{t\in [-\infty ,+\infty ]\mid f(x)\leq t{\text{ per quasi tutti }}x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.

{\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {ess \, sup}} _ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}} f (x) = \ inf \ left \ {t \ in [- \ infty, + \ infty] \ mid f (x) \ leq t {\ text {pentru aproape toată lumea}} x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ right \}.}

{\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {ess \, sup}} _ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}} f (x) = \ inf \ left \ {t \ in [- \ infty, + \ infty] \ mid f (x) \ leq t {\ text {pentru aproape toată lumea}} x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ right \}.}

Această notație permite să enunțăm următoarea formă esențială a inegalității Prékopa-Leindler: fie 0 < λ <1 și fie f , g ∈ L ¹ ( R ⁿ ; [0, + ∞)) două funcții nenegative absolut integrabile . Este

s(x)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{y\in \mathbb {R} ^{n}}f\left({\frac {x-y}{1-\lambda }}\right)^{1-\lambda }g\left({\frac {y}{\lambda }}\right)^{\lambda }.

{\ displaystyle s (x) = \ mathop {\ mathrm {ess \, sup}} _ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}} f \ left ({\ frac {xy} {1- \ lambda }} \ right) ^ {1- \ lambda} g \ left ({\ frac {y} {\ lambda}} \ right) ^ {\ lambda}.}

{\ displaystyle s (x) = \ mathop {\ mathrm {ess \, sup}} _ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}} f \ left ({\ frac {xy} {1- \ lambda }} \ right) ^ {1- \ lambda} g \ left ({\ frac {y} {\ lambda}} \ right) ^ {\ lambda}.}

Atunci s este măsurabil și

\|s\|_{1}\geq \|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.

{\ displaystyle \ | s \ | _ {1} \ geq \ | f \ | _ {1} ^ {1- \ lambda} \ | g \ | _ {1} ^ {\ lambda}.}

{\ displaystyle \ | s \ | _ {1} \ geq \ | f \ | _ {1} ^ {1- \ lambda} \ | g \ | _ {1} ^ {\ lambda}.}

Formularul bazat pe limita superioară esențială a fost prezentat în. ^[1] Utilizarea acestuia poate schimba partea stângă a inegalității. De exemplu, o funcție g care ia valoarea 1 în exact un punct nu va produce de obicei o parte din stânga egală cu zero în forma non-superioară, dar va produce întotdeauna o parte din stânga egală cu zero în forma bazat pe limita superioară esențială.

Relația cu inegalitatea Brunn-Minkowski

Se poate arăta că inegalitatea obișnuită Prékopa-Leindler implică inegalitatea Brunn-Minkowski în următoarea formă: dacă 0 < λ <1 și A și B sunt subseturi limitate măsurabile ale lui R ⁿ astfel încât suma Minkowski (1 - λ ) A + λ B este, de asemenea, măsurabil, atunci

\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)\geq \mu (A)^{1-\lambda }\mu (B)^{\lambda },

{\ displaystyle \ mu \ left ((1- \ lambda) A + \ lambda B \ right) \ geq \ mu (A) ^ {1- \ lambda} \ mu (B) ^ {\ lambda},}

{\ displaystyle \ mu \ left ((1- \ lambda) A + \ lambda B \ right) \ geq \ mu (A) ^ {1- \ lambda} \ mu (B) ^ {\ lambda},}

unde μ denotă măsura n- dimensională Lebesgue . Astfel, inegalitatea Prékopa-Leindler poate fi folosit și ^[2] pentru a demonstra inegalitatea Brunn-Minkowski în forma sa cea mai cunoscută: dacă 0 <λ <1 și A și B sunt non goale mărginite subseturi măsurabile ale R ⁿ astfel încât ( 1 - λ ) A + λ B este, de asemenea, măsurabilă, atunci

\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)^{1/n}\geq (1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}.

{\ displaystyle \ mu \ left ((1- \ lambda) A + \ lambda B \ right) ^ {1 / n} \ geq (1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}.}

{\ displaystyle \ mu \ left ((1- \ lambda) A + \ lambda B \ right) ^ {1 / n} \ geq (1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}.}

Aplicații în probabilitate și statistici

Inegalitatea Prékopa-Leindler este utilă în teoria distribuțiilor logaritmice concavă , deoarece poate fi utilizată pentru a arăta că concavitatea logaritmică este conservată prin marginalizare și prin suma independentă a variabilelor aleatorii distribuite logaritmic concave. Să presupunem că H ( x , y ) este o distribuție logaritmic concavă pentru ( x , y ) ∈ R ^m × R ⁿ , astfel încât din definiție avem

$H\left((1-\lambda )(x_{1},y_{1})+\lambda (x_{2},y_{2})\right)\geq H(x_{1},y_{1})^{1-\lambda }H(x_{2},y_{2})^{\lambda }$ ${\ displaystyle H \ left ((1- \ lambda) (x_ {1}, y_ {1}) + \ lambda (x_ {2}, y_ {2}) \ right) \ geq H (x_ {1}, y_ {1}) ^ {1- \ lambda} H (x_ {2}, y_ {2}) ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle H \ left ((1- \ lambda) (x_ {1}, y_ {1}) + \ lambda (x_ {2}, y_ {2}) \ right) \ geq H (x_ {1}, y_ {1}) ^ {1- \ lambda} H (x_ {2}, y_ {2}) ^ {\ lambda}}$ (ecuația 2),

în timp ce M ( y ) denotă distribuția marginală obținută prin integrarea pe x :

M(y)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}H(x,y)\,dx.

{\ displaystyle M (y) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {m}} H (x, y) \, dx.}

{\ displaystyle M (y) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {m}} H (x, y) \, dx.}

Fie y ₁ , y ₂ ∈ R ⁿ și 0 < λ <1. Atunci ecuația 2 îndeplinește condiția corespunzătoare ecuației 1 cu h ( x ) = H ( x , (1 - λ ) y ₁ + λy ₂ ), f ( x ) = H ( x , y ₁ ) și g ( x ) = H ( x , y ₂ ), deci se aplică inegalitatea Prékopa-Leindler. Acest lucru poate fi scris în termeni de M ca.

M((1-\lambda )y_{1}+\lambda y_{2})\geq M(y_{1})^{1-\lambda }M(y_{2})^{\lambda },

{\ displaystyle M ((1- \ lambda) y_ {1} + \ lambda y_ {2}) \ geq M (y_ {1}) ^ {1- \ lambda} M (y_ {2}) ^ {\ lambda },}

{\ displaystyle M ((1- \ lambda) y_ {1} + \ lambda y_ {2}) \ geq M (y_ {1}) ^ {1- \ lambda} M (y_ {2}) ^ {\ lambda },}

care este definiția concavității logaritmice pentru M.

Pentru a vedea cum aceasta implică conservarea convexității logaritmice în sume independente, să presupunem că X și Y sunt variabile aleatorii independente cu distribuție logaritmic concavă. Deoarece produsul a două funcții logaritmic concave este logaritmic concav, distribuția comună a ( X , Y ) este, de asemenea, logaritmic concavă. Concavitatea logaritmică este păstrată prin modificări afine de coordonate, astfel încât distribuția ( X + Y , X - Y ) este, de asemenea, logaritmic concavă. Deoarece distribuția lui X + Y este marginală pe distribuția comună a ( X + Y , X - Y ), concluzionăm că X + Y are o distribuție logaritmic concavă.

Notă

^ Herm Jan Brascamp și Elliott H. Lieb , Despre extensiile teoremelor Brunn - Minkowski și Prekopa - Leindler, incluzând inegalități pentru funcțiile concave log și cu o aplicație la ecuația de difuzie , în Journal of Functional Analysis , vol. 22, n. 4, 1976, pp. 366–389, DOI : 10.1016 / 0022-1236 (76) 90004-5 .
^ Gardner, Richard J. (2002). „Inegalitatea Brunn - Minkowski”. Taur. Amer. Matematica. Soc. (NS) 39 (3): pp. 355–405 (electronic). doi: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

Bibliografie

Richard J. Gardner, Inegalitatea Brunn - Minkowski ( PDF ), în Bull. Amer. Matematica. Soc. (NS) , voi. 39, nr. 3, 2002, pp. 355–405 (electronic), DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 , ISSN 0273-0979 ( WC ACNP ) .
András Prékopa, Măsuri concavă logaritmică cu aplicație la programarea stocastică ( PDF ), în Acta Sci. Math. , vol. 32, 1971, pp. 301-316.
András Prékopa, Despre măsuri și funcții concav logaritmice ( PDF ), în Acta Sci. Math. , vol. 34, 1973, pp. 335-343.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Herm Jan Brascamp și Elliott H. Lieb , Despre extensiile teoremelor Brunn - Minkowski și Prekopa - Leindler, incluzând inegalități pentru funcțiile concave log și cu o aplicație la ecuația de difuzie , în Journal of Functional Analysis , vol. 22, n. 4, 1976, pp. 366–389, DOI : 10.1016 / 0022-1236 (76) 90004-5 .

[2] Gardner, Richard J. (2002). „Inegalitatea Brunn - Minkowski”. Taur. Amer. Matematica. Soc. (NS) 39 (3): pp. 355–405 (electronic). doi: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

[1]

[2]