Teorema lui Vitale

În matematică , teorema Vitale sau inegalitatea aleatorie a lui Brunn-Minkowski este o teoremă datorată lui Richard Vitale care generalizează inegalitatea clasică a lui Brunn-Minkowski , care se aplică subseturilor compacte ale unui spațiu euclidian n - dimensional R ⁿ , cu seturi compacte aleatorii .

Declarația inegalității

Fie X un set compact aleatoriu în R ⁿ , adică să presupunem că avem o funcție Borel măsurabilă de la un spațiu de probabilitate (Ω, Σ, Pr) la spațiul subseturilor compacte ne- goale ale lui R ⁿ prevăzute cu metrica Hausdorff . Un vector aleatoriu V : Ω → R ⁿ se numește o selecție a lui X dacă Pr ( V ∈ X ) = 1. Dacă K este un subset compact ne-gol al lui R ⁿ , să

\|K\|=\max \left\{\left.\|v\|_{\mathbb {R} ^{n}}\right|v\in K\right\}

{\ displaystyle \ | K \ | = \ max \ left \ {\ left. \ | v \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ right | v \ în K \ right \}}

{\ displaystyle \ | K \ | = \ max \ left \ {\ left. \ | v \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ right | v \ în K \ right \}}

și definiți așteptarea E [ X ] a lui X ca

\mathrm {E} [X]=\{\mathrm {E} [V]|V{\mbox{ è una selezione di }}X{\mbox{ e }}\mathrm {E} \|V\|<+\infty \}.

{\ displaystyle \ mathrm {E} [X] = \ {\ mathrm {E} [V] | V {\ mbox {este o selecție de}} X {\ mbox {e}} \ mathrm {E} \ | V \ | <+ \ infty \}.}

{\ displaystyle \ mathrm {E} [X] = \ {\ mathrm {E} [V] | V {\ mbox {este o selecție de}} X {\ mbox {e}} \ mathrm {E} \ | V \ | <+ \ infty \}.}

Observăm că E [ X ] este un subset al lui R ⁿ . În această notație, teorema lui Vitale sau inegalitatea aleatorie a lui Brunn-Minkowski afirmă că, pentru orice set compact aleatoriu X cu E [ X ] <+ ∞,

\left(\mathrm {vol} \left(\mathrm {E} [X]\right)\right)^{1/n}\geq \mathrm {E} \left[\mathrm {vol} (X)^{1/n}\right],

{\ displaystyle \ left (\ mathrm {vol} \ left (\ mathrm {E} [X] \ right) \ right) ^ {1 / n} \ geq \ mathrm {E} \ left [\ mathrm {vol} ( X) ^ {1 / n} \ dreapta],}

{\ displaystyle \ left (\ mathrm {vol} \ left (\ mathrm {E} [X] \ right) \ right) ^ {1 / n} \ geq \ mathrm {E} \ left [\ mathrm {vol} ( X) ^ {1 / n} \ dreapta],}

unde vol indică măsura n- dimensională Lebesgue .

Relația cu inegalitatea Brunn-Minkowski

Dacă X ia valorile (seturi compacte non-goale) K și L cu probabilitatea 1 - λ și respectiv λ , atunci teorema lui Vitale sau inegalitatea aleatorie Brunn-Minkowski este pur și simplu teorema originală Brunn-Minkowski sau inegalitatea Brunn- Minkowski, pentru seturi compacte.

Bibliografie

Richard J. Gardner, Inegalitatea Brunn-Minkowski ( PDF ), în Bull. Amer. Matematica. Soc. (NS) , voi. 39, nr. 3, 2002, pp. 355–405 (electronic), DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 .
Richard A. Vitale, Inegalitatea Brunn-Minkowski pentru seturi aleatorii , în J. Multivariate Anal. , vol. 33, 1990, pp. 286–293, DOI : 10.1016 / 0047-259X (90) 90052-J .

Elemente conexe

Teorema lui Brunn-Minkowski

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică