Distanța Hausdorff

În geometrie , distanța Hausdorff este o definiție particulară a distanței introdusă de Felix Hausdorff pentru a măsura distanța dintre două subseturi ale unui spațiu metric .

Definiție

Componente pentru calcularea distanței Hausdorff între liniile X verzi și Y albastre.

Având în vedere un spațiu metric $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și două subseturi $A,B\subseteq X$ ${\ displaystyle A, B \ subseteq X}$ ${\ displaystyle A, B \ subseteq X}$ să definim o cantitate preliminară: se numește distanța unui punct față de set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cantitatea

d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y)

{\ displaystyle d (x, A): = \ inf _ {y \ in A} d (x, y)}

{\ displaystyle d (x, A): = \ inf _ {y \ in A} d (x, y)}

.

Excesul de A peste B este definit ca cantitate

e(A,B):=\sup _{x\in A}d(x,B)

{\ displaystyle e (A, B): = \ sup _ {x \ in A} d (x, B)}

{\ displaystyle e (A, B): = \ sup _ {x \ in A} d (x, B)}

.

Prin urmare, definim distanța dintre Hausdorff $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cantitatea

d(A,B):={\mbox{max}}\{e(A,B),e(B,A)\}

{\ displaystyle d (A, B): = {\ mbox {max}} \ {e (A, B), e (B, A) \}}

{\ displaystyle d (A, B): = {\ mbox {max}} \ {e (A, B), e (B, A) \}}

Proprietate

Distanța Hausdorff este o funcție $d:P(X)\times P(X)\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle d: P (X) \ times P (X) \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle d: P (X) \ times P (X) \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ . Acesta îndeplinește următoarele proprietăți:

de sine $A=B$ ${\ displaystyle A = B}$ ${\ displaystyle A = B}$ asa de $d(A,B)=0$ ${\ displaystyle d (A, B) = 0}$ ${\ displaystyle d (A, B) = 0}$
$d(A,B)=d(B,A)$ ${\ displaystyle d (A, B) = d (B, A)}$ ${\ displaystyle d (A, B) = d (B, A)}$
$d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)$ ${\ displaystyle d (A, B) \ leq d (A, C) + d (C, B)}$ ${\ displaystyle d (A, B) \ leq d (A, C) + d (C, B)}$

Aceste proprietăți îl fac pseudometric pe setul de părți ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . De asemenea, satisface ultima proprietate a unei valori metrice (adică $d(A,B)=0$ ${\ displaystyle d (A, B) = 0}$ ${\ displaystyle d (A, B) = 0}$ implica $A=B$ ${\ displaystyle A = B}$ ${\ displaystyle A = B}$ ) de sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt închise .

Câmpuri de aplicații

Distanța Hausdorff permite definirea unui concept de continuitate pentru multifuncții , adică pentru funcții $F:A\to P(B)$ ${\ displaystyle F: A \ to P (B)}$ ${\ displaystyle F: A \ to P (B)}$ . Dacă te înarmezi $P(B)$ ${\ displaystyle P (B)}$ ${\ displaystyle P (B)}$ a distanței lui Hausdorff ed $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este cel puțin un spațiu topologic , este firesc să spunem $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ continuați în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de sine

pentru fiecare

\epsilon >0

{\ displaystyle \ epsilon> 0}

\ epsilon> 0

există un cartier de

x_{0}

{\ displaystyle x_ {0}}

x_0

astfel încât pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

în aceea din jurul ei este

d(F(x),F(x_{0}))<\epsilon

{\ displaystyle d (F (x), F (x_ {0})) <\ epsilon}

{\ displaystyle d (F (x), F (x_ {0})) <\ epsilon}

.

În afara matematicii , distanța lui Hausdorff găsește utilizare în diverse domenii de cercetare, inclusiv viziunea pe computer și bioinformatica . Adesea se aplică diferite valori pentru a găsi o estimare fiabilă a erorii.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4159236-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică