Formula Minkowski-Steiner

În matematică , formula Minkowski-Steiner este o formulă care raportează suprafața și volumul subseturilor compacte ale spațiului euclidian . Mai precis, definește suprafața ca „derivată” a unui volum închis definit corespunzător.

Formula Minkowski-Steiner este utilizată, împreună cu teorema lui Brunn-Minkowski , pentru a demonstra inegalitatea izoperimetrică . Poartă numele lui Hermann Minkowski și Jakob Steiner .

Afirmația formulei Minkowski-Steiner

Este $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ , și așa să fie $A\subsetneq \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle A \ subsetneq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle A \ subsetneq \ mathbb {R} ^ {n}}$ un tot compact. Indicăm cu $\mu (A)$ ${\ displaystyle \ mu (A)}$ ${\ displaystyle \ mu (A)}$ măsura (volumul) Lebesgue a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Definim cantitatea $\lambda (\partial A)$ ${\ displaystyle \ lambda (\ partial A)}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ partial A)}$ prin intermediul formulei Minkowski-Steiner

\lambda (\partial A):=\liminf _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu (A)}{\delta }},

{\ displaystyle \ lambda (\ partial A): = \ liminf _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ mu \ left (A + {\ overline {B _ {\ delta}}} \ right) - \ mu (A)} {\ delta}},}

{\ displaystyle \ lambda (\ partial A): = \ liminf _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ mu \ left (A + {\ overline {B _ {\ delta}}} \ right) - \ mu (A)} {\ delta}},}

unde este

{\overline {B_{\delta }}}:=\left\{x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\left||x|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\leq \delta \right.\right\}

{\ displaystyle {\ overline {B _ {\ delta}}}: = \ left \ {x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ left | | x |: = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2}}} \ leq \ delta \ right. \ right \}}

{\ displaystyle {\ overline {B _ {\ delta}}}: = \ left \ {x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ left | | x |: = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2}}} \ leq \ delta \ right. \ right \}}

denotă bila închisă de rază $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ Și

A+{\overline {B_{\delta }}}:=\left\{a+b\in \mathbb {R} ^{n}\left|a\in A,b\in {\overline {B_{\delta }}}\right.\right\}

{\ displaystyle A + {\ overline {B _ {\ delta}}}: = \ left \ {a + b \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ left | a \ in A, b \ in {\ overline {B _ {\ delta}}} \ right. \ Right \}}

{\ displaystyle A + {\ overline {B _ {\ delta}}}: = \ left \ {a + b \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ left | a \ in A, b \ in {\ overline {B _ {\ delta}}} \ right. \ Right \}}

este suma lui Minkowski $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și ${\overline {B_{\delta }}}$ ${\ displaystyle {\ overline {B _ {\ delta}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {B _ {\ delta}}}}$ , astfel încât

A+{\overline {B_{\delta }}}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}{\mathrel {|}}\ {\mathopen {|}}x-a{\mathclose {|}}\leq \delta {\mbox{ per qualche }}a\in A\right\}.

{\ displaystyle A + {\ overline {B _ {\ delta}}} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ mathrel {|}} \ {\ mathopen {|}} xa {\ mathclose {|}} \ leq \ delta {\ mbox {pentru unele}} a \ în A \ right \}.}

{\ displaystyle A + {\ overline {B _ {\ delta}}} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ mathrel {|}} \ {\ mathopen {|}} xa {\ mathclose {|}} \ leq \ delta {\ mbox {pentru unele}} a \ în A \ right \}.}

Observații

Măsurarea suprafeței

Pentru seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ „suficient de regulat”, cantitatea $\lambda (\partial A)$ ${\ displaystyle \ lambda (\ partial A)}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ partial A)}$ corespunde de fapt măsurii $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -dimensional de frontieră $\partial A$ ${\ displaystyle \ partial A}$ ${\ displaystyle \ partial A}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Consultați Federer (1969) pentru o discuție completă despre această problemă.

Seturi convexe

Când întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un set convex , marginea inferioară scrisă mai sus este o legătură adevărată și se poate arăta că

\mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)=\mu (A)+\lambda (\partial A)\delta +\sum _{i=2}^{n-1}\lambda _{i}(A)\delta ^{i}+\omega _{n}\delta ^{n},

{\ displaystyle \ mu \ left (A + {\ overline {B _ {\ delta}}} \ right) = \ mu (A) + \ lambda (\ partial A) \ delta + \ sum _ {i = 2} ^ {n-1} \ lambda _ {i} (A) \ delta ^ {i} + \ omega _ {n} \ delta ^ {n},}

{\ displaystyle \ mu \ left (A + {\ overline {B _ {\ delta}}} \ right) = \ mu (A) + \ lambda (\ partial A) \ delta + \ sum _ {i = 2} ^ {n-1} \ lambda _ {i} (A) \ delta ^ {i} + \ omega _ {n} \ delta ^ {n},}

unde i $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ sunt funcții continue ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (vezi quermassintegral ) e $\omega _{n}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ denotă măsura (volumul) sferei unitare în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ :

\omega _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\Gamma (n/2)}},

{\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2 + 1)}} = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {n \ Gamma (n / 2)}},}

{\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2 + 1)}} = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {n \ Gamma (n / 2)}},}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ denotă funcția Gamma .

Exemplu: volumul și suprafața unei sfere

Luând $A={\overline {B_{R}}}$ ${\ displaystyle A = {\ overline {B_ {R}}}}$ ${\ displaystyle A = {\ overline {B_ {R}}}}$ obținem următoarea formulă binecunoscută valabilă pentru suprafața sferei de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , $S_{R}:=\partial B_{R}$ ${\ displaystyle S_ {R}: = \ partial B_ {R}}$ ${\ displaystyle S_ {R}: = \ partial B_ {R}}$ :

\lambda (S_{R})=\lim _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left({\overline {B_{R}}}+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu \left({\overline {B_{R}}}\right)}{\delta }}

{\ displaystyle \ lambda (S_ {R}) = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ mu \ left ({\ overline {B_ {R}}} + {\ overline {B _ {\ delta}}} \ right) - \ mu \ left ({\ overline {B_ {R}}} \ right)} {\ delta}}}

{\ displaystyle \ lambda (S_ {R}) = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ mu \ left ({\ overline {B_ {R}}} + {\ overline {B _ {\ delta}}} \ right) - \ mu \ left ({\ overline {B_ {R}}} \ right)} {\ delta}}}

=\lim _{\delta \to 0}{\frac {[(R+\delta )^{n}-R^{n}]\omega _{n}}{\delta }}

{\ displaystyle = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {[(R + \ delta) ^ {n} -R ^ {n}] \ omega _ {n}} {\ delta}}}

{\ displaystyle = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {[(R + \ delta) ^ {n} -R ^ {n}] \ omega _ {n}} {\ delta}}}

={\frac {d}{dR}}\left(R^{n}\omega _{n}\right)=nR^{n-1}\omega _{n},

{\ displaystyle = {\ frac {d} {dR}} \ left (R ^ {n} \ omega _ {n} \ right) = nR ^ {n-1} \ omega _ {n},}

{\ displaystyle = {\ frac {d} {dR}} \ left (R ^ {n} \ omega _ {n} \ right) = nR ^ {n-1} \ omega _ {n},}

unde este $\omega _{n}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ este așa cum s-a indicat mai sus.

Bibliografie

Dacorogna, Bernard, Introducere în calculul variațiilor , Londra, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-508-2 .
Federer, Herbert, Geometric Measure Theory , New-York, Springer-Verlag, 1969.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică