Distribuția cantorului

În teoria probabilității , distribuția Cantor este o distribuție de probabilitate a cărei funcție de distribuție este funcția Cantor . Este o distribuție singulară sau continuă singulară: nu este nici absolut continuă, nici discretă .

Dacă luăm în considerare construcția setului Cantor , rezumată în imaginea de mai jos:

C_{0}=[0,1]

{\ displaystyle C_ {0} = [0,1]}

{\ displaystyle C_ {0} = [0,1]}

C_{1}=[0,1/3]\bigcup [2/3,1]

{\ displaystyle C_ {1} = [0,1 / 3] \ bigcup [2 / 3,1]}

{\ displaystyle C_ {1} = [0,1 / 3] \ bigcup [2 / 3,1]}

C_{2}=[0,1/9]\bigcup [2/9,1/3]\bigcup [2/3,7/9]\bigcup [8/9,1]

{\ displaystyle C_ {2} = [0,1 / 9] \ bigcup [2 / 9,1 / 3] \ bigcup [2 / 3,7 / 9] \ bigcup [8 / 9,1]}

{\ displaystyle C_ {2} = [0,1 / 9] \ bigcup [2 / 9,1 / 3] \ bigcup [2 / 3,7 / 9] \ bigcup [8 / 9,1]}

C_{3}=[0,1/27]\bigcup [2/27,1/9]\bigcup [2/9,7/27]\bigcup [8/27,1/3]

{\ displaystyle C_ {3} = [0,1 / 27] \ bigcup [2 / 27,1 / 9] \ bigcup [2 / 9,7 / 27] \ bigcup [8 / 27,1 / 3]}

{\ displaystyle C_ {3} = [0,1 / 27] \ bigcup [2 / 27,1 / 9] \ bigcup [2 / 9,7 / 27] \ bigcup [8 / 27,1 / 3]}

\bigcup [2/3,19/27]\bigcup [20/27,7/9]\bigcup [8/9,25/27]\bigcup [26/27,1]

{\ displaystyle \ bigcup [2 / 3,19 / 27] \ bigcup [20 / 27,7 / 9] \ bigcup [8 / 9,25 / 27] \ bigcup [26 / 27,1]}

{\ displaystyle \ bigcup [2 / 3,19 / 27] \ bigcup [20 / 27,7 / 9] \ bigcup [8 / 9,25 / 27] \ bigcup [26 / 27,1]}

\vdots

{\ displaystyle \ vdots}

\ vdots

avem că o variabilă aleatorie cu distribuția Cantor este singura astfel încât, pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , este distribuită uniform pe întregul ansamblu $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ , adică pe fiecare linie a imaginii sub probabilitatea unui singur interval este $1/2^{n}$ ${\ displaystyle 1/2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle 1/2 ^ {n}}$ .

Momente

$E(X)={1 \over 2}$ ${\ displaystyle E (X) = {1 \ peste 2}}$ ${\ displaystyle E (X) = {1 \ peste 2}}$

Varianța se obține din legea varianței totale : dacă luăm în considerare Y ca indicator al evenimentului „capete într-o aruncare de monede”

\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))

{\ displaystyle \ operatorname {var} (X) = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (X \ mid Y)) + \ operatorname {var} (\ operatorname {E} (X \ mid Y))}

{\ displaystyle \ operatorname {var} (X) = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (X \ mid Y)) + \ operatorname {var} (\ operatorname {E} (X \ mid Y))}

={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}P(1/6)=1/2\\P(5/6)=1/2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}.

{\ displaystyle = {\ frac {1} {9}} \ operatorname {var} (X) + \ operatorname {var} \ left \ {{\ begin {matrix} P (1/6) = 1/2 \\ P (5/6) = 1/2 \ end {matrix}} \ right \} = {\ frac {1} {9}} \ operatorname {var} (X) + {\ frac {1} {9}} .}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {9}} \ operatorname {var} (X) + \ operatorname {var} \ left \ {{\ begin {matrix} P (1/6) = 1/2 \\ P (5/6) = 1/2 \ end {matrix}} \ right \} = {\ frac {1} {9}} \ operatorname {var} (X) + {\ frac {1} {9}} .}

Din care primim

$\operatorname {var} (X)={1 \over 8}$ ${\ displaystyle \ operatorname {var} (X) = {1 \ peste 8}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {var} (X) = {1 \ peste 8}}$

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică