Calculul pi

Intrare principală: Pi .

Există mai multe metode pentru calcularea π ( pi ).

Metode standard

Cauti

π poate fi obținut pornind de la un cerc de rază și zonă cunoscute, fiind aria dată de formula:

A=\pi r^{2}\,\!,

{\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} \, \!,}

{\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} \, \!,}

care vă permite să calculați explicit π:

\pi =A/r^{2}.

{\ displaystyle \ pi = A / r ^ {2}.}

{\ displaystyle \ pi = A / r ^ {2}.}

Dacă se trasează un cerc de rază r cu centrul său în punctul (0,0), orice punct a cărui distanță de la origine este mai mică sau egală cu r va fi în interiorul cercului. Teorema lui Pitagora dă pătratul distanței oricărui punct ( x , y ) de la origine:

d^{2}=x^{2}+y^{2}.

{\ displaystyle d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}.}

{\ displaystyle d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}.}

„Blocul de desen” matematic este construit prin gândirea pătratelor laturii unității centrate în jurul fiecărui punct ( x , y ), unde x și y sunt numerele între -r și r . Pătratele ale căror centre sunt în sau pe circumferință pot fi numărate verificând pentru fiecare dacă

x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq r ^ {2}.}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq r ^ {2}.}

Numărul de puncte care îndeplinesc condiția se apropie apoi de aria cercului, care poate fi utilizată pentru a calcula o aproximare a $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

Formula poate fi scrisă ca:

\pi \approx {\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\Big (}1{\hbox{ se }}x^{2}+y^{2}\leq r^{2},\;0{\hbox{ altrimenti}}{\Big )}.

{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ sum _ {x = -r} ^ {r} \; \ sum _ {y = -r} ^ {r} { \ Big (} 1 {\ hbox {if}} x ^ {2} + y ^ {2} \ leq r ^ {2}, \; 0 {\ hbox {altfel}} {\ Big)}.}

{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ sum _ {x = -r} ^ {r} \; \ sum _ {y = -r} ^ {r} { \ Big (} 1 {\ hbox {if}} x ^ {2} + y ^ {2} \ leq r ^ {2}, \; 0 {\ hbox {altfel}} {\ Big)}.}

Cu alte cuvinte, începem prin alegerea unei valori a lui r ; luăm în considerare toate punctele ( x , y ) pentru care atât x cât și y sunt întregi între −r și r . Începând de la zero, se adaugă unul pentru fiecare punct a cărui distanță de la origine (0,0) este mai mică sau egală cu r . La final, împărțim suma astfel obținută - reprezentând aria cercului de rază r - la întregul r ² pentru a găsi o aproximare a lui π. Se obțin aproximări mai bune pentru valori mai mari decât r .

De exemplu, dacă r este 5, atunci punctele luate în considerare sunt:

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1.4)	(2.4)	(3.4)	(4.4)	(5.4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1.3)	(2.3)	(3.3)	(4.3)	(5.3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1.2)	(2.2)	(3.2)	(4.2)	(5.2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1.1)	(2.1)	(3.1)	(4.1)	(5.1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2.0)	(3.0)	(4.0)	(5,0)
(−5, −1)	(−4, −1)	(−3, −1)	(−2, −1)	(−1, −1)	(0, −1)	(1, −1)	(2, −1)	(3, −1)	(4, −1)	(5, −1)
(−5, −2)	(−4, −2)	(−3, −2)	(−2, −2)	(−1, −2)	(0, −2)	(1, −2)	(2, −2)	(3, −2)	(4, −2)	(5, −2)
(−5, −3)	(−4, −3)	(−3, −3)	(−2, −3)	(−1, −3)	(0, −3)	(1, −3)	(2, −3)	(3, −3)	(4, −3)	(5, −3)
(−5, −4)	(−4, −4)	(−3, −4)	(−2, −4)	(−1, −4)	(0, −4)	(1, −4)	(2, −4)	(3, −4)	(4, −4)	(5, −4)
(−5, −5)	(−4, −5)	(−3, −5)	(−2, −5)	(−1, −5)	(0, −5)	(1, −5)	(2, −5)	(3, −5)	(4, −5)	(5, −5)

Cele 12 puncte (0, ± 5), (± 5,0), (± 3, ± 4), (± 4, ± 3) sunt exact pe circumferință și există 69 de puncte complet în interior , deci aria aproximativă este de 81 , iar π deține 3,24 în această aproximare. Rezultatele pentru diferite rs sunt prezentate în tabelul următor:

r	Zonă	Aproximarea lui π
2	13	3.25
3	29	3.22222
4	49	3,0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3.1425
100	31417	3.1417
1000	3141549	3.141549

În mod similar, algoritmii mai complecși de mai jos implică calcule repetate de un fel și conduc la aproximări mai bune pe măsură ce crește numărul de calcule.

Fracții continuate

În afară de reprezentarea în termeni de fracții continue [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...], care nu prezintă un model recunoscut, π are multe reprezentări ca o fracție continuă generalizată , inclusiv următoarele:

\pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {9}{6+{\cfrac {25}{6+{\cfrac {49}{6+{\cfrac {81}{6+{\cfrac {121}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ pi = 3 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {9} {6 + {\ cfrac {25} {6 + {\ cfrac {49} {6 + {\ cfrac {81} {6 + {\ cfrac {121} {\ ddots \,}}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ pi = 3 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {9} {6 + {\ cfrac {25} {6 + {\ cfrac {49} {6 + {\ cfrac {81} {6 + {\ cfrac {121} {\ ddots \,}}}}}}}}}}}}}}

{\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+{\cfrac {49}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {\ pi}} = 1 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {4} {5 + {\ cfrac {9} {7 + {\ cfrac {16} {9 + {\ cfrac {25} {11 + {\ cfrac {36} {13 + {\ cfrac {49} {\ ddots}}}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {\ pi}} = 1 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {4} {5 + {\ cfrac {9} {7 + {\ cfrac {16} {9 + {\ cfrac {25} {11 + {\ cfrac {36} {13 + {\ cfrac {49} {\ ddots}}}}}}}}}}}}}}}

(Alte reprezentări pot fi găsite pe site-ul The Wolfram Functions ^[1] .)

Trigonometrie

Seria Gregory-Leibniz

{\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}+\cdots

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots + {\ frac {(-1) ^ {i}} {2i + 1}} + \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots + {\ frac {(-1) ^ {i}} {2i + 1}} + \ cdots}

este seria de putere a arctan (x) în cazul particular $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ ; rata sa de convergență este prea lentă pentru a fi de interes practic. Cu toate acestea, seria converge mult mai repede pentru valori mici de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ; apoi ajungem la formule unde $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ se obține ca suma tangențelor raționale, ca cea a lui John Machin :

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}

Formule pentru $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ de acest tip sunt cunoscute sub numele de formule de tip Machin.

Având în vedere un triunghi echilateral și observând că

\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={}^{1}\!\!/\!{}_{2}

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) = {} ^ {1} \! \! / \! {} _ {2}}

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) = {} ^ {1} \! \! / \! {} _ {2}}

se constată că:

\pi =3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{n!^{2}(2n+1)2^{4n}}}=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+...

{\ displaystyle \ pi = 3 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {n! ^ {2} (2n + 1) 2 ^ {4n}}} = 3 + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {9} {640}} + {\ frac {15} {7168}} + ...}

{\ displaystyle \ pi = 3 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {n! ^ {2} (2n + 1) 2 ^ {4n}}} = 3 + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {9} {640}} + {\ frac {15} {7168}} + ...}

Algoritmul Salamin-Brent

Algoritmul Salamin-Brent a fost descoperit independent de Richard Brent și Eugene Salamin în 1975 . Vă permite să calculați $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ până la N cifre semnificative într-un timp proporțional cu N log (N) log (log (N)), mult mai rapid decât formulele trigonometrice.

Metode de extragere a cifrelor

Formula BBP (baza 16)

Formula BBP (Bailey-Borwein-Plouffe) de calculat $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ a fost descoperit în 1995 de Simon Plouffe. Formula se calculează $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ în baza 16 fără a fi necesară calcularea cifrelor anterioare („extragerea cifrelor”). ^[2]

\pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}

{\ displaystyle \ pi = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4} {8n + 1}} - {\ frac {2} {8n + 4}} - {\ frac {1} {8n + 5}} - {\ frac {1} {8n + 6}} \ right) \ left ({\ frac {1} {16}} \ right) ^ {n}}

{\ displaystyle \ pi = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4} {8n + 1}} - {\ frac {2} {8n + 4}} - {\ frac {1} {8n + 5}} - {\ frac {1} {8n + 6}} \ right) \ left ({\ frac {1} {16}} \ right) ^ {n}}

Îmbunătățirea Bellard (baza 64)

O formulă alternativă de calcul $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ în baza 64 a fost derivat de la Fabrice Bellard ; această metodă vă permite să calculați cifrele cu 43% mai repede. ^[3]

\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {1} {2 ^ {6}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ { 10n}}} \ left (- {\ frac {2 ^ {5}} {4n + 1}} - {\ frac {1} {4n + 3}} + {\ frac {2 ^ {8}} {10n +1}} - {\ frac {2 ^ {6}} {10n + 3}} - {\ frac {2 ^ {2}} {10n + 5}} - {\ frac {2 ^ {2}} { 10n + 7}} + {\ frac {1} {10n + 9}} \ right)}

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {1} {2 ^ {6}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ { 10n}}} \ left (- {\ frac {2 ^ {5}} {4n + 1}} - {\ frac {1} {4n + 3}} + {\ frac {2 ^ {8}} {10n +1}} - {\ frac {2 ^ {6}} {10n + 3}} - {\ frac {2 ^ {2}} {10n + 5}} - {\ frac {2 ^ {2}} { 10n + 7}} + {\ frac {1} {10n + 9}} \ right)}

Extinderea la o bază arbitrară

În 1996 , Simon Plouffe a obținut un algoritm pentru calcularea cifrelor $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ într-o bază arbitrară într-un timp O ( n ³ log (n) ³ ). ^[4]

Îmbunătățire folosind formula lui Gosper

În 1997 , Fabrice Bellard a îmbunătățit formula lui Plouffe pentru extragerea cifrelor în mod arbitrar, reducând timpul de calcul la O ( n ² ). ^[5]

Proiecte

Pi Hex

Proiectul Pi Hex, finalizat în 2000 , a calculat cifre binare de $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ pe o rețea distribuită care folosește câteva sute de computere.

Fundal pi

Inspirat de Pi Hex și Project Pi, Background Pi ^[6] încearcă să calculeze secvențial zecimale. O nouă versiune este în curs de dezvoltare, care se ocupă de mai multe proiecte cu o interfață mai prietenoasă decât BOINC .

Notă

^(RO) Site-ul Wolfram Functions
^(EN) MathWorld: Formula BBP http://mathworld.wolfram.com/BBPFormula.html
^(EN) Site Bellard: Copie arhivată pe fabrice.bellard.free.fr. Adus la 27 octombrie 2007 (arhivat din original la 12 septembrie 2007) .
^(EN) Simon Plouffe, Despre calculul cifrei zecimale n a diferitelor numere transcendentale, în noiembrie 1996
^(EN) al site-ului Bellard: http://bellard.org/pi/pi_bin.pdf
^(EN) Background Pi

Alte proiecte

Wikibooks conține texte sau manuale privind calculul pi

linkuri externe

Dovadă că Pi este irațional , la hhr-m.userweb.mwn.de .
Multe formule pentru π, de pe site-ul web Wolfram Mathematics , la mathworld.wolfram.com .
Proiectul PiHex , pe oldweb.cecm.sfu.ca . Adus la 26 noiembrie 2007 (arhivat din original la 13 octombrie 2007) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Wolfram-1] (RO) Site-ul Wolfram Functions

[2] (EN) MathWorld: Formula BBP http://mathworld.wolfram.com/BBPFormula.html

[3] (EN) Site Bellard: Copie arhivată pe fabrice.bellard.free.fr. Adus la 27 octombrie 2007 (arhivat din original la 12 septembrie 2007) .

[4] (EN) Simon Plouffe, Despre calculul cifrei zecimale n a diferitelor numere transcendentale, în noiembrie 1996

[5] (EN) al site-ului Bellard: http://bellard.org/pi/pi_bin.pdf

[6] (EN) Background Pi

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]