Ecuația lui Sylvester

Ecuația Sylvester , întâlnită adesea în teoria controlului , este o ecuație matricială de formă

AX+XB=C,

{\ displaystyle AX + XB = C,}

{\ displaystyle AX + XB = C,}

unde este $LA, B., X, C.$ ${\ displaystyle A, B, X, C}$ ${\ displaystyle A, B, X, C}$ sunt matrici de dimensiune $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ . $LA, B., C.$ ${\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ sunt cunoscute. Problema este de a găsi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Ecuația Sylvester este un caz special al ecuației Lyapunov continue (când matricea A este Hermitiană ).

Existența și unicitatea soluției

Utilizarea produsului Kronecker și a operatorului de vectorizare $\operatorname {vec}$ ${\ displaystyle \ operatorname {vec}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {vec}}$ , puteți rescrie ecuația în formular

(I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,

{\ displaystyle (I_ {n} \ otimes A + B ^ {T} \ otimes I_ {n}) \ operatorname {vec} X = \ operatorname {vec} C,}

{\ displaystyle (I_ {n} \ otimes A + B ^ {T} \ otimes I_ {n}) \ operatorname {vec} X = \ operatorname {vec} C,}

unde este $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ este matricea identității dimensiunii $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ . În această formă, ecuația lui Sylvester poate fi privită ca un sistem liniar de dimensiuni $n^{2}\times n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2} \ times n ^ {2}}$ ${\ displaystyle n ^ {2} \ times n ^ {2}}$ . ^[1]

De sine $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în $A=ULU^{-1}$ ${\ displaystyle A = ULU ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle A = ULU ^ {- 1}}$ Și $B^{T}=VMV^{-1}$ ${\ displaystyle B ^ {T} = VMV ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle B ^ {T} = VMV ^ {- 1}}$ sunt formele canonice ale Iordaniei respectiv ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B^{T}$ ${\ displaystyle B ^ {T}}$ ${\ displaystyle B ^ {T}}$ , Și $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ Și $\mu _{j}$ ${\ displaystyle \ mu _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {j}}$ sunt respectiv valorile lor proprii , se poate scrie

I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n}=(V\otimes U)(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})(V\otimes U)^{-1}.

{\ displaystyle I_ {n} \ otimes A + B ^ {T} \ otimes I_ {n} = (V \ otimes U) (I_ {n} \ otimes L + M \ otimes I_ {n}) (V \ otimes U) ^ {- 1}.}

{\ displaystyle I_ {n} \ otimes A + B ^ {T} \ otimes I_ {n} = (V \ otimes U) (I_ {n} \ otimes L + M \ otimes I_ {n}) (V \ otimes U) ^ {- 1}.}

De cand $(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})$ ${\ displaystyle (I_ {n} \ otimes L + M \ otimes I_ {n})}$ ${\ displaystyle (I_ {n} \ otimes L + M \ otimes I_ {n})}$ este o matrice triunghiulară superioară cu $\lambda _{i}+\mu _{j}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} + \ mu _ {j}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} + \ mu _ {j}}$ pe diagonală, matricea din stânga ecuației este singulară dacă și numai dacă există $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ Și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ astfel încât $\lambda _{i}=-\mu _{j}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} = - \ mu _ {j}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} = - \ mu _ {j}}$ .

Astfel, sa dovedit că ecuația lui Sylvester are o soluție unică dacă și numai dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $-B$ ${\ displaystyle -B}$ ${\ displaystyle -B}$ nu au în comun valori proprii. Puteți dovedi, de asemenea, că dacă matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este de la Hurwitz , soluția ecuației Sylvester, dacă există, este matricea gramiană a controlabilității .

Soluții numerice

Un algoritm clasic pentru soluția numerică a ecuației Sylvester este algoritmul Bartels-Stewart, care constă în transformarea matricelor $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în descompunerea lor Schur folosind un algoritm QR și apoi rezolvați sistemul triunghiular obținut prin substituirea înapoi . Acest algoritm, al cărui cost de calcul este O $(n^{3})$ ${\ displaystyle (n ^ {3})}$ ${\ displaystyle (n ^ {3})}$ operațiile aritmetice, este folosită, printre multe altele, de LAPACK și funcția lyap în GNU Octave .

Notă

^ Cu toate acestea, acest instrument este util numai în scopuri demonstrative. O soluție numerică bazată pe această metodă este costisitoare din punct de vedere al calculului și poate fi condiționată prost

Bibliografie

J. Sylvester, Sur equations en matrices $px=xq$ ${\ displaystyle px = xq}$ ${\ displaystyle px = xq}$ , CR Acad. Sci. Paris , 99 (1884), pp. 67 - 71, pp. 115 - 116.
RH Bartels și GW Stewart, Soluția ecuației matricei $AX+XB=C$ ${\ displaystyle AX + XB = C}$ ${\ displaystyle AX + XB = C}$ , Comm. ACM , 15 (1972), pp. 820 - 826.
R. Bhatia și P. Rosenthal, Cum și de ce să rezolvăm ecuația operatorului $AX-XB=Y$ ${\ displaystyle AX-XB = Y}$ ${\ displaystyle AX-XB = Y}$ ?, Bull. London Math. Soc. , 29 (1997), pp. 1 - 21.
S.-G. Lee și Q.-P. Vu, Soluții simultane de ecuații Sylvester și matrice idempotente care separă spectrul comun, Algebra liniară și aplicațiile sale , 435 (2011), pp. 2097 - 2109.

Elemente conexe

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh2014002593

Portal de verificări automate

Portal de inginerie

[1] Cu toate acestea, acest instrument este util numai în scopuri demonstrative. O soluție numerică bazată pe această metodă este costisitoare din punct de vedere al calculului și poate fi condiționată prost

[1]